2026-2027学年高二上学期数学开学自编模拟卷（宁夏适用）

**基本信息** 2026-2027学年高二数学秋季开学模拟卷，以分层抽样、频率分布直方图等统计问题结合《哪吒之魔童闹海》票房调查，折扇文化融入圆台计算，注重数学眼光观察现实、思维分析数据、语言表达应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|统计（分层抽样）、向量（夹角）、复数（象限）|基础概念辨析，如分位数计算| |多选题|3|向量（命题）、概率（互斥独立）、圆台（表面积）|折扇文化情境下圆台几何量计算| |填空题|3|向量共线、复数运算、四棱锥外接球|空间几何与代数结合，如外接球体积| |解答题|5|统计（票房频率分布）、立体几何（面面垂直）、三角函数（解析式）|《哪吒》票房调查考统计应用，立体几何证明与体积综合考查逻辑推理|

2026-2027学年高二数学秋季开学模拟试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 2．10个数据的75%分位数是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 3．已知向量满足与的夹角为，则（   ） A． B． C．3 D． 4．已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．18 6．在平行四边形中，为边的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、多选题 9．（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 10．已知事件，满足，，则（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 11．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（   ）    A．高为 B．体积为 C．表面积为 D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是 三、填空题 12．已知向量，，，若，则__________． 13．若复数满足（是虚数单位），则___________. 14．已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________． 四、解答题 15．已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间，最值和最值点． 16．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，．证明：平面平面； 18．如图，在直三棱柱中，D，E分别为的中点， (1)求证:平面; (2)求证:; (3)若，求三棱锥的体积． 19．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； (2)用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学秋季开学模拟试卷解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】C 【详解】因为工厂男职工女职工， 所以抽取的男职工人数人. 2．10个数据的75%分位数是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【详解】因为，所以第75%分位数是第个数，即 3．已知向量满足与的夹角为，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义即可求解. 【详解】. 4．已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则化简可得，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以. 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限. 5．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．18 【答案】D 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】原数据方差， 则新数据方差为. 6．在平行四边形中，为边的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平行四边形中，，为边的中点， 则, 因为为线段的中点， 所以．    7．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为：. 8．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 二、多选题 9．（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【详解】选项A，相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B，由，，得，B正确； 选项C，是与同向的单位向量，C正确； 选项D，当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误． 10．已知事件，满足，，则（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【分析】使用互斥事件概率公式，独立事件概率公式，和事件概率公式求解. 【详解】根据条件无法确定事件，的关系，不能得出，选项A错误； 如果，则，所以，选项B正确； 如果与互斥，那么，选项C正确； 如果与相互独立，那么与相互独立， 所以，选项D正确. 11．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（   ）    A．高为 B．体积为 C．表面积为 D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是 【答案】ACD 【分析】根据圆台的侧面展开图，求得圆台上下底面半径、母线长，然后可求得圆台的高、体积、表面积，从而可判断选项A、B、C，根据圆台内置可任意转动的正方体，可推断棱长最大时，正方体的外接球即为圆台内部最大的球，进而判断选项D. 【详解】对于A：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，， 所以，，又因为圆台的母线长， 所以圆台的高，故A正确；    对于B：，故B错误； 对于C：表面积，故C正确； 对于D：在圆台内放置一个 “可任意转动的正方体”等价于正方体外接球位于圆台内部最大的球的内部即可. 因为，所以圆台没有内切球，圆台内部最大的球为与圆台下底面及侧面相切的球，设球的半径为，如图，球心在轴上，则， 因为，而， 所以，即， 解得或（舍去）， 又因为在中，，所以. 设正方体的棱长为，则正方体外接球的半径满足：，所以， 则，所以.    三、填空题 12．已知向量，，，若，则__________． 【答案】 【分析】计算的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，，则. 又，则 . 即 ，整理得，解得. 13．若复数满足（是虚数单位），则___________. 【答案】 【详解】因为复数满足，则，故. 14．已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________． 【答案】/ 【分析】取中点为，证明为该四棱锥的外接球的球心，进而求出四棱锥外接球半径，利用球的体积公式求球的体积. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，，.    因为，，， 所以，，均为边长为1的等边三角形. 所以且、，. 又，为中点，所以. 平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又，所以即为二面角的平面角，为. 所以. 所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为. 所以四棱锥外接球的体积为. 四、解答题 15．已知，（，），函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间，最值和最值点． 【答案】(1) (2) 单调递减区间为 ；最大值为 ，最大值点为 ；最小值为 ，最小值点为 【分析】（1）由平面向量数量积的计算公式和三角恒等变换的“二倍角公式”、“辅助角公式”即可求出函数的解析式； （2）使用三角函数的“整体代换法”，将函数化归为，结合函数的图象和性质即可求出函数的单调递减区间、最值和最值点. 【详解】（1）， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，因为，所以，即函数的解析式为； （2）令，，则，， 所以函数的单调递减区间为， 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为； 所以函数的最大值为，最大值点为；最小值为，最小值点为. 16．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 【答案】(1)，众数为 (2)4人 (3) 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为计算可得的值，然后根据众数概念求解即可； （2）利用分层抽样的概念求解即可； （3）由平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知：众数为. （2）由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人） （3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ． 17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，．证明：平面平面； 【答案】因为底面是正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面． 【分析】由题意有，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论. 【详解】略 18．如图，在直三棱柱中，D，E分别为的中点， (1)求证:平面; (2)求证:; (3)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：在中，，分别为，的中点， 于是， 由直三棱柱可得：， 所以， 又平面，平面， 所以平面． (2)证明：在中，为的中点且， 可得， 由直三棱柱可得，平面， 又平面，， 因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以． (3)当，且，D，E分别为的中点， 所以是边长为1的正三角形， 由直三棱柱可得，平面，即为三棱锥的高 则 【分析】（1）依题且即可得从而得证； （2）由直三棱柱性质得到，再由即可得到平面从而得证； （3）求出的面积，然后利用锥体的等体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3） 19．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； (2)用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 【答案】(1)，分位数为 (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图面积之和为求出的值，根据累计频率确定分位数所在区间并列方程求解； （2）根据频率比确定分层抽样各组抽取人数，利用古典概型概率公式计算即可． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，， 解得， 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以分位数位于第组， 设分位数为，则，解得， 所以该校学生周平均课外阅读时间的分位数为； （2）由频率分布直方图可知， 组的频率为，组的频率为， 两组频率之比为， 利用分层抽样的方法从这两组中抽取人， 则从组中抽取人，记为， 从组中抽取人，记为， 从这人中随机选出人，样本空间，共个样本点， 其中人恰好在同一组的为，共个样本点， 所以所求概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $