第10讲 一元一次方程培优应用（压轴题型）（核心知识+3易错辨析+6典例精讲）讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦一元一次方程实际应用，系统梳理解题流程（审找等量关系、设未知数、列方程、解方程、验实际意义、答），并整合行程、工程、利润等高频等量关系，构建从基础方法到培优题型的学习支架。 资料以“核心知识+易错辨析+典例精讲”为特色，易错点通过对比表格明晰，6大题型含数轴动点、方案优化等实例，培养学生用数学眼光发现关系、用数学思维推理、用数学语言建模的素养，课中助教师精准教学，课后供学生查漏补缺。

第10讲 一元一次方程培优应用（压轴题型） （核心知识+3易错辨析+6典例精讲） 【知识点01】 一元一次方程实际应用解题流程 审（审题找等量关系）→ 设（合理设未知数，优先直接设，复杂题型可间接设）→ 列（根据等量关系列方程）→ 解（规范解方程）→ 验（检验解是否满足方程、符合实际意义）→ 答（完整书写答案，带单位） 【知识点02】高频应用题等量关系（培优核心） 行程问题：路程=速度×时间；包含相遇、追及、顺水逆水航行模型 工程问题：总工作量常设为1，工作量=工作效率×工作时间 利润问题：利润=售价－进价；利润率=；折扣=实际售价÷标价 配套问题：配套的两类物品数量成固定比例关系 方案选择问题：列方程求出费用相等的临界点，分段对比方案优劣 数字问题：两位数（为十位数字，为个位数字） 应用题忽略实际意义 解出人数、物品个数为小数或负数，直接作答 人数、件数、天数等必须为非负整数，不符合的解需舍去 航行问题速度混淆 错误认为顺水速度=静水速度－水流速度 核心公式：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度 利润率基数混淆 误将利润率算为 利润率固定以进价为基数：利润率= 培优核心陷阱：①应用题只解方程不检验，负数、小数、超范围解未舍去，不符合实际场景；②公式混淆（利润率、航行速度）是期末高频易错点。 【题型一】行程应用题 【例1】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水．某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示： 地点 王家庄 青山 绿水 时间 王家庄距翠湖的路程有多远？ 【答案】王家庄距离翠湖 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设王家庄距翠湖有，根据题意得到王家庄到青山及绿水的距离和时间，根据速度相等列方程求解即可． 【详解】解：设王家庄距翠湖有， 则王家庄到青山的距离为，时间为； 王家庄到绿水的距离为，时间为； ∴， 解得：． 答：王家庄距离翠湖． 【例2】．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）甲乙两地相距公里，一列慢车从甲地开出，每小时行公里，一列快车从乙地开出，每小时行公里，慢车先开小时，快车再开．两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？ 【答案】当快车开出小时后两车相遇． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．设快车开出小时后两车相遇，则慢车行驶了小时，根据慢车先开小时，快车再开．两车相向而行．共行驶公里列方程求解即可． 【详解】解：设快车开出小时后两车相遇，则慢车行驶了小时 答：当快车开出小时后两车相遇． 【例3】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数，，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒 (1)问甲、乙在数轴上表示有理数________的点相遇； (2)________秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位． (3)若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【答案】(1) (2)2或5 (3)秒或秒或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）先求出点A和点C的距离，再求出运动时间，进而求出相遇的点表示的数即可； （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位，根据题意分析出甲应在或之间，再分别表示出甲到三点的距离，进而建立方程求解即可； （3）先求出甲的新速度变为12个单位/秒，设运动时间为x秒，再分①当原点是与两点的中点时，②当是甲与原点两点的中点时，③当是与原点两点的中点时，三种情况根据数轴上两点中点计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：秒， ， ∴甲、乙在数轴上表示有理数的点相遇， 故答案为：； （2）解：设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位， ∵点距，两点的距离为，点距、两点的距离为，点距、的距离为， ∴甲应在或之间． ①当甲在之间时，则 解得； ②当甲在之间时：， 解得； 综上所述，2秒或5秒后，甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位； 故答案为：2或5； （3）∵甲的速度变为原来的3倍， ∴甲的新速度变为12个单位/秒， 设运动时间为x秒 ①当原点是与两点的中点时， 依题意得：， 解得， ②当是与原点两点的中点时， 依题意得：， 解得； ③当是与原点两点的中点时， 则依题意得：， 解得， 综上所述，秒或秒或秒后，原点、与三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是两张不同类型的火车票（开头表示动车，开头表示高铁） (1)根据信息可知：动车和高铁是___________（填“同向”或“相向”）而行，动车比高铁早发车___________小时； (2)已知动车的平均速度是，高铁的平均速度是，两列火车长度不计，中途均不停车，最终高铁比动车早到，求、两地之间的距离． 【答案】(1)同向， (2) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据车票中的信息即可得； （2）设、两地之间的距离为，根据高铁列车比动车早到、动车比高铁列车早发车1小时建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：根据车票中的信息可知，该列动车和高铁列车都是从地开往地，动车的发车时间是2026年1月10日，高铁列车的发车时间是2026年1月10日， ∴该列动车和高铁列车是同向而行，动车比高铁列车发车早1小时， 故答案为：同向，1； （2）解：设、两地之间的距离为， 由题意得：， 解得， 答：、两地之间的距离为． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）学校组织学生乘汽车去神居山保护区野营．行驶的路段分为平路和坡路两段，其中坡路的长度是平路的倍，已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为，汽车从学校到神居山保护区一共行驶了，求汽车在坡路上行驶的时间． 小明和小芳分别列出了以下两个不完整的方程： 小明：；小芳：． (1)小明所设未知数表示____________，小芳所设未知数表示____________； (2)请你选择其中一种方法求出该汽车在坡路上行驶的时间． 【答案】(1)汽车在坡路上行驶的时间；平路的路程 (2) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． (1)根据小明和小芳的方程可知，小明设的是汽车在坡路上行驶的时间为，小芳设的是平路的路程是； (2)利用小明的方法可以直接求出汽车在坡路上行驶的时间，利用小芳的方程求出坡路的路程，再根据在坡路上行驶的速度为，求出在坡路上行驶的时间． 【详解】（1）解：小明设的是汽车在坡路上行驶的时间为，则汽车在平路上行驶的时间为， 根据题意可得：； 小芳设的是平路的路程是，则坡路的路程是， 根据题意可得：； 故答案为：汽车在坡路上行驶的时间，平路的路程； （2）解：小明的方法、 设汽车在坡路上行驶的时间为，则汽车在平路上行驶的时间为， 根据题意可得：， 解得：， 答：汽车在坡路上行驶的时间为； 小芳的方法、 设平路的路程是，则坡路的路程是， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：汽车在坡路上行驶的时间为． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从相距600千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶3小时时甲车先到达配货站C地，此时两车相距60千米，甲车在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地；乙车行驶4小时时也到C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是 千米/小时，B、C两地的距离是 千米； (2)求甲车的速度及甲车从C地到达B地所用的时间； (3)乙车出发多长时间，两车相距240千米？ 【答案】(1)60；240 (2)甲车的速度为120千米/小时，甲车从C地到达B地所用的时间是2小时 (3)乙车出发2或小时，两车相距240千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系是关键． （1）设乙车的速度是x千米/小时，根据乙车行驶3小时，4小时的路程关系列方程求解即可； （2）设甲车的速度为y千米/小时，根据甲车行驶路程列式得，即可求解； （3）设乙车出发a小时，两车相距240千米，分类列方法求解即可． 【详解】（1）解：设乙车的速度是x千米/小时，可得；， 解得，， 千米， 答：乙车的速度是60千米/小时，B、C两地的距离是240千米， 故答案为：60；240； （2）解：因为千米， 设甲车的速度为y千米/小时，可得：， 解得，， 小时， 答：甲车的速度为120千米/小时，甲车从C地到达B地所用的时间是2小时； （3）解：设乙车出发a小时，两车相距240千米，列方程得 或， 解得或， 即乙车出发2或小时，两车相距240千米． 【题型二】工程应用题 【例4】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）某服装厂计划若干天完成一批服装的订单任务，如果每天生产服装25套，那么就会超过3天完成，如果每天生产服装28套，那么就会超额完成30套．问这批服装的订单是多少套？计划时间是多少天？ 【答案】这批生产服装的计划完成任务是套，计划时间是天． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了根据题目中的数量关系列方程和解方程．设计划时间是x天，根据两种不同生产速度下服装总数的关系来列方程求解． 【详解】解：设计划时间是x天． 根据服装总数不变可列方程： 解得： 则计划完成任务的服装套数为：（套） 答：这批服装的订单是套，计划时间是天． 【变式1】．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 【答案】(1)甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； (2)甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据“由甲工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元”建立方程求解即可得到，然后计算耗资即可； （）根据题意，有如下三种方案，方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资万元；方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元；方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月，分别计算出各自的耗资，再比较即可作出判断； 本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，建立适当方程求解，并结合题意进行方案设计是解题关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据题意： ， 解得， ∴， 答：甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； （2）解：根据题意，有如下三种方案： 方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资（万元）； 方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元； 方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月， 设甲、乙合作个月，剩下的由乙来完成， ， 解得， 此时耗资（万元）， 因为， 所以甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 【答案】(1)这批校服共有960件 (2)乙工厂共加工28天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设这批校服共有件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天得：，即可解得答案； （2）设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意可得方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设这批校服共有件， 由题意得：， 解得：， 答：这批校服共有960件； （2）解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意得： ， 解得， （天， 答：乙工厂共加工28天． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）用方程解决实际问题： 年月，某校在社会实践基地开展“三农”研学活动． (1)在雨花茶生产基地研学的有人，在艺莲苑研学的有人，现调来人支援，要使雨花茶生产基地研学的人是艺莲苑研学的人数的倍，应往雨花茶生产基地、艺莲苑两处各调去多少人？ (2)有甲、乙两个班的学生参加“刨红薯”的劳动，一块地的红薯由甲班单独刨完需要小时、由乙班单独刨完需要小时，乙班先干小时后，甲班才赶到田地，甲班随即加入劳动，请问甲班加入劳动后，两个班还需要多少小时才能全部刨完？ 【答案】(1)应往雨花茶生产基地调去人，往艺莲苑调去人； (2)． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）设应往雨花茶生产基地调去人，则往艺莲苑调去人，根据调配后雨花茶生产基地研学的人是艺莲苑研学的人数的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （）设两个班还需要小时才能全部刨完，利用甲班完成的工作量乙地完成的工作量共工作量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设应往雨花茶生产基地调去人，则往艺莲苑调去人， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：应往雨花茶生产基地调去人，往艺莲苑调去人； （2）解：设两个班还需要小时才能全部刨完， 根据题意得：， 解得：， 答：两个班还需要小时才能全部刨完． 【题型三】利润折扣应用题 【例5】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）一件羽绒服的标价为进价的倍，在促销活动中以6折出售，亏损16元，根据以上信息绘制流程图： (1)设这件羽绒服的进价为元，则流程图中的标价和售价分别为 元和 元．（用含的代数式表示） (2)这件羽绒服的进价是多少元？ 【答案】(1)；； (2)160元． 【知识点】列代数式、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式与一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据数量关系列代数式、根据盈亏关系列方程是解题的关键． （1）根据标价为进价的1.5倍，用进价乘以1.5即可得到标价；再根据以6折出售，用标价乘以0.6即可得到售价． （2）根据亏损16元的含义，即进价减去售价等于16元，列出一元一次方程并求解． 【详解】（1）解：由题意得 标价为元，售价元， 故答案为：；； （2）解：， ， ， 答：这件羽绒服的进价是160元． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某水果店用2700元购进香水梨、大枣两种水果共300千克．这两种水果的进价、标价如表所示： 品种 香水梨 大枣 进价（元/千克） 7 10 标价（元/千克） 10 14 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若香水梨按标价的八折出售，大枣也减价出售，则这两种水果全部售出后，在不损耗的前提下，想要获利，大枣每千克应降价多少元出售？ 【答案】(1)购进香水梨千克，购进大枣千克 (2)大枣每千克应降价元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． （1）设购进香水梨千克，则购进大枣千克，根据题意列方程，解方程求出的值即可； （2）设大枣每千克降价元出售，根据题意列方程：，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设购进香水梨千克，则购进大枣千克， 根据题意列方程：， 解得，， ∴购进大枣千克； 答：购进香水梨千克，购进大枣千克． （2）解：设大枣每千克降价元出售， 根据题意列方程：， 化简，得， 解得，； 答：大枣每千克应降价元． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏·期末）一家商场因换季将某种服装共50件打折销售，该服装的进价为每件200元，标价为每件360元． (1)每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润率是__________； (2)每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润是__________元； (3)商场打折销售时先将每件服装按标价的八折出售，售出部分后为尽快回笼资金，将剩余部分的服装每件按标价的五折出售，售完后共获利2240元，求按标价五折出售的服装的数量． 【答案】(1) (2)52 (3)按五折出售的服装数量为20件 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）依次算出七折的售价，单件利润，进而即可求解利润率； （2）由（1）即可求解； （3）设按五折出售的服装为件，则按八折出售的为件，再算出八折售价和相对应的单件利润；五折售价和相对应的单件利润，进而根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，七折售价：元， 单件利润：元， ∴利润率：， 故答案为：； （2）解：由（1）得，单件利润为52元， 故答案为：52； （3）解：设按五折出售的服装为件，则按八折出售的为件． 由题意得，八折售价：元，则单件利润：元； 五折售价：元，则单件利润：元， 根据总利润列方程： 解得， 答：按五折出售的服装数量为20件． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价80元，售价100元；乙种商品每件的售价为60元，利润率为50%（）． (1)每件甲种商品的利润率为_________，乙种商品每件的进价为_________元． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价恰好为3600元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 不超过900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中不超过1200元的部分打八折优惠，超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小宇一次性购买商品实际付款981元，求小宇所购商品优惠前的总金额为多少元？ 【答案】(1)，40 (2)30件 (3)1090或1230元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用； （1）根据利润率的计算方法列式求解即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据恰好总进价为3600元列方程求解即可； （3）设小宇所购商品优惠前的总金额为y元，分两种情况：①原购物总金额超过元，但不超过元时，②原购物总金额超过元时，分别根据实际付款981元列方程求解即可． 【详解】（1）解：每件甲种商品利润率为，每件乙种商品进价为（元）， 故答案为：；； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， 答：购进甲种商品30件； （3）解：设小宇所购商品优惠前的总金额为y元． ①当优惠前一次性购物总金额超过900元，但不超过1200元时， 根据题意得：， 解得：， ②当优惠前一次性购物总金额超过1200元时， 根据题意得：， 解得：． 答：小宇所购商品优惠前的总金额为1090或1230元． 【题型四】配套应用题 【例6】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【答案】(1)； (2)安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用) 【详解】（1）解：安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天， 那么x天共生产甲种零件个，天共生产乙种零件个； （2）解：根据题意得， 解得， ， 答：安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4个侧面；方法剪6个底面．现有80张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时张用方法，其余用方法． (1)请用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：方法、方法各裁剪几张？ 【答案】(1)； (2)用方法裁剪张，用方法裁剪张 【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意可以分别用代数式表示出裁剪出的侧面和底面个数； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，裁剪出的侧面个数是，裁剪出的底面个数是. 故答案为：；； （2）解：由题意可得 解得：， 则(张)， 答：用方法裁剪张，用方法裁剪张． 【变式2】．八年级二班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手组装飞机模型，每名学生一节课能组装机身个或机翼个． (1)八年级二班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责组装机身，男生负责组装机翼，每个机身匹配个机翼，那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套，最后决定让名男生去支援女生，使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套，求派去支援女生的男生人数等于多少？ 【答案】(1)男生人，女生人 (2) 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． (1)设八年级二班有女生人，则有男生人，根据八年级二班共有学生人，列方程求解； (2)根据每个机身匹配个机翼，列方程求解． 【详解】（1）解：设八年级二班有女生人，则有男生人， 根据题意得：， 解方程得：， ， 答：八年级二班有男生人，女生人； （2）解：根据题意得：组装机翼的有人，组装机身的有人， 列方程得：， 解方程得：． 答：派去支援女生的男生人数为人． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）今年，横跨6个月的江苏省城市足球联赛即“苏超”彻底火出了圈，尤其是“苏超冠军”泰州更是“一黑到底”．在南通队和泰州队的决赛中，靖江和泰兴的两地球迷共同为泰州队制作应援旗助威． 请根据素材1、素材2，探索并完成任务1、任务2． 问题：两地球迷人数、需调整人数各是多少? 素材1 靖江球迷人数比泰兴球迷人数多3人，两地球迷总人数为49人． 素材2 每位靖江球迷每天可制作8面主队应援旗，每位泰兴球迷每天可制作6面客队应援旗， 问题解决 任务1 确定两地球迷人数 两地制作应援旗球迷各有多少人? 任务2 确定调整人数，应援旗刚好配套 若应援旗需配套（一面主队旗配一面客队旗），需调整多少名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套? 【答案】任务1：泰兴23人，靖江26人；任务2：调整5人 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 任务1：设泰兴球迷人数为人，则靖江球迷人数为人，根据“两地球迷总人数为49人”列出一元一次方程，解方程即可得出结果； 任务2：设需调整名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：任务1：设泰兴球迷人数为人，则靖江球迷人数为人， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴泰兴球迷人数为人，靖江球迷人数为人； 任务2：设需调整名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套， 由题意可得：， 解得：， ∴需调整名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套． 【题型五】数字应用题 【例7】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方． (1)若，则A的值为_____； (2)的值为_______． 【答案】(1)7 (2) 【知识点】整式加减的应用、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及等式基本性质的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由第一列的和等于对角线的和相等列等式，代入求解即可， （2）由第三列的和等于对角线的和、第一列的和等于对角线的和相等列出方程，结合整式计算求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，， 若，则，解得， 故答案为：7； （2）解：，， 则 ，， 故， 故答案为：13． 【例8】．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵： (1)如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由； (3)十字框中五个数的和能等于295吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍 (2) 解：这五个数的和是框正中心的数的5倍，理由如下： 设框正中心的数是x，则另外四个数分别为，，，， ∴十字框中五个数的和是， ∴这五个数的和是框正中心的数的5倍； (3) 解：十字框中五个数的和不能等于295，理由如下： 假设十字框中五个数的和能等于295， 根据题意得：， 解得：， 又∵59在最右边一列，不能为框正中心的数， ∴假设不成立，即十字框中五个数的和不能等于295． 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整数混合运算，一元一次方程的应用； （1）把框住的数相加即可求解； （2）设中心的数为x，则其余4个数分别为，，，，相加即可得到规律； （3）由（2）得五个数的和为，令，根据解得情况即可求解． 解题的关键是熟练掌握整式加减混合运算法则，列出方程． 【详解】（1）解：∵，， ∴十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍； 【例9】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1) 证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． (2) 【知识点】列代数式、整式加减的应用、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）将连续的偶数，，，……，排成如表：如图，用十字框框住五个数，我们把中间的数叫十字数，如图中的叫做十字数． (1)若十字数是，十字框内五个数的和是多少？（用式子表示） (2)若将十字框上下左右移动，小明认为十字框内五个数的和可以等于，请你判断小明同学的观点是否正确，若正确请求出十字数，若不正确请说明理由． 【答案】(1) (2) 小明的观点不正确，理由如下： 根据题意得：， 解得：， 又不是偶数， 小明的观点不正确． 【知识点】列代数式、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，解本题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）由十字数是，可找出十字框内另外的四个数，将五个数相加，即可用含的代数式表示出十字框内五个数的和； （2）小明的观点不正确，由（1）的结论结合十字框内五个数的和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，由该值不为偶数，可得出小明的观点不正确． 【详解】（1）解：十字数是， 十字框内另外的四个数分别为，，，， 十字框内五个数的和是：； （2）略 【变式2】．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）在下表所示的某年1月份的日历中，用一个方框圈出任意个数． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 (1)若从左下角到右上角的三个数字之和为42，请问中间一天是1月几号？这9个日期的日期之和是多少？ (2)这张表中能圈出的9个数的最大和是多少？ 【答案】(1)14，126； (2)207 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设中间的数字为x，那么得到其余两个数分别为、，然后根据3个数字的和为42就可以列出方程求解，即可得到中间的一天和日期之和； （2）设中间的数为a，列出代数式，分析即可求解． 【详解】（1）解：设中间的数字为x，那么得到其余两个数分别为、， 依题意得 ∴， 所以其余两个数是：8，20， ∴9个数分别是6、7、8、13、14、15、20、21、22， ∴这9个数的和是126， 即中间一天是1月14号，这9个日期的日期之和是126； （2）设中间的数为a，其余的数为，，，，，，，， 依题意得：， 当a最大时，和最大， 由上表可知，中间数a最大为23， 即， 答：最大和为207． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．解题要点是要了解日历上相邻数之间的关系． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）探究洛书中的奥秘 中国古典文献中记载：上古时期大禹治水时，发现一只巨大神龟出现于洛水，背上有九种花点图案（如图1所示），分别代表这九个数，世人称之为洛书．观察图2中数字，发现其蕴藏着“横行、纵列、对角线上数字之和都等于15”这一神奇的数学规律，洛书有三行三列，所以也称为三阶幻方． (1)发现问题，探究规律： 问题：洛书的最中间的数字必须填5吗？ 探究：如果按图3填写，请用数字或含a的代数式表示P，Q，M，______，______，______； 推导：说明你的猜测的正确性． (2)初步应用，思维生长： 将这九个数填在图4中，使其具备与洛书相似的规律； (3)迁移应用，能力提升： 如图5，给定一个三阶幻方中的两个数：7与13，请补全一些正整数，使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于 【答案】(1)探究：；；； 推导：∵每一行或每一列或每条对角线上的三个数字的和都是15，且这9个数字之和为45 ∴（两条对角线上的数字之和加上中间一行和中间一列的数字之和等于这9个数字之和加上最中间的数字的3倍）， ∴， ∴中间的数字为5； (2) 如图所示，即为所求： (3) 填表如下： 【知识点】整式加减的应用、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键． （1）探究：求出这9个数字的和为45，则可得到每一行或每一列或每条对角线上的三个数字的和都是15，再根据整式的加减运算法则求解即可；推导：由于两条对角线上的数字之和加上中间一行和中间一列的数字之和等于这9个数字之和加上最中间的数字的3倍，则可得方程，解方程即可得到答案； （2）仿照（1）求出最中间的数字，再填表即可； （3）仿照（2）得出中心位置的数是37，再求出对应位置的数即可． 【详解】（1）解：探究：∵， ∴每一行或每一列或每条对角线上的三个数字的和都是， ∴3下面的数是，右边的数是， ∴，， ∴； 推导： 略 （2）解：∵， ∴每一行或每一列或每条对角线上的三个数字的和都是， 设最中间的数字为x， 则， 解得， （3）解：设最中间的数为m， ∵每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于， ∴， 解得， ∴37左边的数为，13下面的数为， ∴下面的数为，13上面的数为， ∴上面的数为，37下面的数为 【题型六】方案选择压轴题（培优难点·补充完整） 【例10】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）超市某品牌的牙膏定价20元/条，牙刷4元/支．现超市针对这种品牌提供两种优惠方案：A方案，买一条牙膏送一支牙刷；B方案，牙膏牙刷都按定价打9折．某客户要买15条牙膏和x支牙刷 (1)A方案付款需___________元，B方案付款需___________元（用含x的式子表达）． (2)请分析哪种方案更合算？ 【答案】(1)； (2)当时，A方案更合算；当时，两种方案一样合算；当时，B方案更合算 【知识点】列代数式、整式加减的应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出两种方案的费用的代数式是解题的关键． （1）根据所给方案计算即可； （2）根据（1）所求求出两种方案的费用的差值，并求出两种方案的费用的差值为0时x的值，再根据x的取值范围比较两种方案的费用的大小即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，A方案付款需元， B方案付款需元； （2）解： ， 当时， 解得， 当时，，则，故此时B方案的费用高，即A方案更合算， 当时，，则，故此时两种方案的费用一样，即两种方案一样合算， 当时，，则，故此时A方案的费用高，即B方案更合算， 答：当时，A方案更合算；当时，两种方案一样合算；当时，B方案更合算． 【变式1】．（23-24七年级上·江苏·期末）为筹备文艺会演，七（1）班计划在某店铺购买甲、乙两种演出道具，已知该店铺甲道具每件标价10元，乙道具每件标价2元，现有以下两个促销方案： 方案一：买一送一（每买一件甲道具，送一件乙道具） 方案二：全场九折（即全部商品按标价的九折销售） (1)若购买10件甲道具与30件乙道具，则两个方案所需的费用相差多少元？ (2)若购买甲道具的件数比乙道具少20件时，两个方案所需的费用相同，则此时购买两种道具各多少件？ 【答案】(1)两个方案相差4元； (2)购买甲道具5件，则购买乙道具25件． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）先求出两种方案的费用，再求差即可； （2）设购买甲道具x件，则购买乙道具件，根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：方案一费用：， 方案二费用：， 两个方案相差元， 答：两个方案相差4元； （2）解：设购买甲道具x件，则购买乙道具件， 根据题意可得：， 解得：， ， 答：购买甲道具5件，则购买乙道具25件． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 【答案】(1)元；元 (2)选择方案一费用最低； (3)120 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识． （1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； （3）根据题意得到，解方程即可． 【详解】（1）解：方案一：购买本读物的费用元； 方案二：购买本读物的费用元； （2）解：当时， 方案一：购买本读物的费用（元）； 方案二：购买本读物的费用（元）； ， 选择方案一费用最低； （3）解：由题意得， 解得， 故答案为：120． 1. 应用题核心：解题关键是找准等量关系，合理设未知数；求解后必须检验结果，舍去不符合实际意义的解（负数、小数人数等）。 2. 高频模型总结：熟练掌握行程、工程、利润、配套、数字五大基础应用题模型，保证解题零失误；培优压轴重点掌握方案选择临界点分类讨论法，突破期末难点。 解答题 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)每套太空漫步器的成本为200元，若要保证原售价打8折时利润率恰好为，每套原售价应为多少元？ 【答案】(1)20人生产支架，25人生产脚踏板恰好配套 (2)每套原售价应为300元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）设x人生产支架，则人生产脚踏板恰好配套，根据题意列方程，求解即可； （2）设每套原售价应为y元，根据利润率为列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设x人生产支架，则人生产脚踏板恰好配套， 由题意得 解得， ∴（人）， 答：20人生产支架，25人生产脚踏板恰好配套； （2）解：设每套原售价应为y元，由题意得 解得， 答：每套原售价应为300元． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用含的代数式分别表示裁剪出的侧面个数为_____，底面的个数为_____．（要求写出化简后的结果） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1) (2)60个 【分析】本题考查了用一元一次方程解决实际问题，列代数式，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键． （1）由张用方法，就有张用方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）根据裁剪出的侧面和底面恰好全部用完得出方程，解方程求出的值，求出侧面的总数就可以求出结论． 【详解】（1）解：侧面个数：个； 底面个数：个； 故答案为：． （2）解：由题意，得． 解得：． （个）． 答：若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）现有甲、乙两个工厂生产一批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用天完成．已知甲工厂每天生产件，乙工厂每天生产件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则要多少天完成？ 【答案】(1)件 (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出方程和算式是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天，根据甲、乙生产的纪念品总数相等列方程求解总件数； （2）根据合作生产的工作时间工作总量甲乙工作效率之和计算完成时间． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天， 根据题意得：， 解得， 这批纪念品的总数为（件）． 答：这批纪念品共有件． （2）解：甲、乙两工厂同时生产时，每天共生产（件）， 所需天数为（天）． 答：甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要天完成． 4．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地。现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下， 信息一： 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二： 甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为．该段时间内体育中心需要支付多少施工费用？ 【答案】(1)的值为600 (2)体育中心共支付施工费用元 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）根据“甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多”列出一元一次方程求解即可； （2）设甲工程队先单独施工天，则乙工程队先单独施工天，根据“两队共施工22天，且完成的施工面积为” 列出一元一次方程，求得甲工程队先单独施工天数，再结合每天的单价即可求解． 【详解】（1）解：由题意列方程，得， 解得：， 即：的值为600； （2）设甲工程队先单独施工天，则乙工程队先单独施工天， 由题意列方程，得， 解得：， 则体育中心共支付施工费用（元）， 答：体育中心共支付施工费用元． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【答案】(1)双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元 (2)应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元，根据买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要元列出方程解出x的值可得答案； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，分两种情况：若购买球珠直径的三色笔，与购买球珠直径的三色笔，列出方程，解方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元， 根据题意得：， 解得：， ， 双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，则购买双色圆珠笔数量为支， 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ∴这种情况不符合题意； 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ， 应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）泗洲商场经销甲、乙两种商品，平时甲种商品每件售价80元，每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元，售价60元．在“元旦”期间，同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的商品不优惠；②购物总金额超过300元，但不超过500元的商品打九折；③购物总金额超过500元的商品打八折． (1)甲种商品每件的进价为______元，若活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价用去2600元，求商场在平时可以盈利多少元？ (3)按“元旦”期间优惠条件，小明一次性购买了乙种商品，实际付款是432元，求商场实际利润是多少元？ 【答案】(1)50，360； (2)商场在平时可以盈利1400元； (3)商场实际利润是72或112元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用甲种商品每件的进价=甲种商品每件的售价-每件的利润，可求出甲种商品每件的进价，由，利用实际付款金额=一次性购物总金额，即可求出实际付款金额； （2）设该商场购进x件甲种商品，则购进件乙种商品，利用进货总价=进货单价购买数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）设小明一次性购买了y件乙种商品，根据实际付款是432元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：甲种商品每件的进价为元， ， 活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付元 故答案为：50；360． （2）解：设该商场购进x件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意得：， 解得：， 元 答：商场在平时可以盈利1400元． （3）解：设小明一次性购买了件乙种商品， 根据题意得：或， 解得：或， 当时，元 当时，元 答：商场实际利润是72或112元． 7．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段检测）甲、乙两地相距、复兴号高铁从甲地出发，平均每小时行；和谐号动车从乙地出发，平均每小时行． (1)若两车同时相向出发，多长时间相遇？ (2)若两车同时相向出发，出发后多长时间两车相距？ (3)若两车同时同向出发，和谐号动车在前复兴号高铁在后，问多久后两车相遇？ 【答案】(1)若两车同时相向出发，4小时后相遇 (2)若两车同时相向出发，出发后3小时或5小时两车相距 (3)两车同时同向出发，和谐号动车在前复兴号高铁在后，28小时后两车相遇 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． （1）设出发后x小时后相遇，根据复兴号高铁和和谐号动车的路程和等于甲、乙两地距离列一元一次方程，解方程求解即可； （2）设出发后t小时两车相距，分两车相遇前和两车相遇后两种情况，根据路程速度时间列出方程求解即可； （3）设m小时后两车相遇，根据两车相遇时，复兴号比和谐号多走的路程为甲乙两地的距离列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过x小时两车相遇， 由题意得，， 解得， 答：若两车同时相向出发，4小时后相遇； （2）解：设出发后t小时两车相距， 当两车相遇前，相距时，则，解得； 当两车相遇后，相距时，则，解得； 综上所述，若两车同时相向出发，出发后3小时或5小时两车相距； （3）解：设m小时后两车相遇， 由题意得，， 解得， ∴两车同时同向出发，和谐号动车在前复兴号高铁在后，28小时后两车相遇． 8．如图是某年某月月历． （1）如图，用一正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为x，则被正方形框的4个数之和用含x的式子表示出来是　　 ； （2）在表中用正方形框的四个数之和最小记为a1，最大记为a2，则a1+a2＝　　； （3）当（1）中被正方形框的4个数之和等于76时，求x的值？ （4）在（1）中能否用正方形框这样的4个数，使它们的和等于92？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由？ 【答案】（1）4x+16；（2）128；（3）x的值为15；（4）不能．理由见解析． 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）观察表格，根据表格中相邻各数间的关系，即可得出结论； （2）先求出四个数之和最小a1，和最大a2的值，再求和即可； （3）、（4）根据（1）中各数的表达式求出x的值即可． 【详解】解：（1）记左上角的一个数为x，则另三个数分别为：x＋1，x＋7，x＋8． 依题意得：x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝4x＋16． 故答案是：4x＋16． （2）∵当四个数是1，2，8，9时最小，a1＝1＋2＋8＋9＝20； 当四个数是23，24，30，31时最大，a2＝23＋24＋30＋31＝108， ∴a1＋a2＝20＋108＝128， 故答案为：128； （3）由题意得，x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝76， 解得x＝15， 答：当被框住的4个数之和等于76时，x的值为15； （4）不能． 由题意得，x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝92，解得x＝19， 故由此框住的四个数应是19，20，26，27，但是19，20不在同行的相邻位置，所以不能框住4个数的和等于92． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．（24-25七年级上·江苏·期末）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于元 不予优惠 低于元但不低于元 八折优惠 元或超过元 其中元部分给予八折优惠， 超过元部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物元，他实际付款 元．若王老师实际付款元，那么王老师一次性购物可能是 元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于元但不小于时，他实际付款 元，当大于或等于元时，他实际付款 元（用含的代数式表示并化简）； (3)如果王老师有两天去超市购物原价合计元，第一天购物的原价为元，用含的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【答案】(1)；或 (2)， (3)共付款元，节省元 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用等知识，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键； （1）按照优惠条件计算购物元，计算实际付款的钱数即可；设王老师一次性购物元，分两种情况：和，根据优惠办法求解即可得； （2）根据一次性购物的优惠办法列出代数式，利用整式的加减法则化简即可得； （3）计算出第一天和第二天购物实际付款，将代入求解即可 【详解】（1）解：（元）， 设王老师一次性购物可能是元， ①， 根据题意得，， 解得， ②， ； 综上所述：王老师一次性购物可能是：元或元． 故答案为：，或； （2）解：当小于元但不小于时，他实际付款元， 当大于或等于元时，他实际付款： （元）， 故答案为：，； （3）第一天购物实际付款：元， 第二天购物实际付款：（元）， 两天共付款：元， 当元时，元， 所以共节省：元． 答：两天购物王老师实际一共付款元，一共节省了元 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）．    【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3倍． 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍． 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n表示，其中“中心数”为e，将“幻方和”用字母s表示． 由题意可知：； 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的3倍． 【解决问题】 利用上述结论解决问题： (1)如图3，已知，，幻方的“中心数”，则n的值为 ； (2)如图4，A、B、C、D、E、F是含有字母t的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式F和整式A（用含t的式子表示）； ②若幻方的“中心数”，，且a、m均为常数，求a、m的值． 【答案】(1) (2)①；；②， 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据题意可得，据此可求出，再根据，求出即可； （2）①根据题意，，根据整式的加减计算法则求解即可； ②根据题意得出，，据此表示出，，再根据列出方程，进而得到、、的等式，再根据、均为常数求出、的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：； （2）解：①由题意得：； ； ②由题意得：， ， ， ，即， 化简得：， ∵、均为常数， 且， 解得：，． 11．（25-26七年级上·江苏常州·期末）在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟圈，乙每分钟圈，丙每分钟圈，他们同时出发，起点如图所示（甲、乙、丙分别从A点、B点、C点出发），沿环形赛场顺时针运动，则： (1)出发后第几分钟甲、丙第一次相遇； (2)出发后第几分钟乙、丙第一次相遇； (3)出发后第几分钟三人第一次相遇． 【答案】(1)1分钟 (2)3分钟 (3)7分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设出发后第x分钟甲、丙第一次相遇，根据甲、丙之间的速度之差×运动时间=甲、丙之间的路程之差，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设出发后第y分钟乙、丙第一次相遇，根据乙、丙之间的速度之差×运动时间=乙、丙之间的路程之差，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设出发后第z分钟甲、乙第一次相遇，根据甲、乙之间的速度之差×运动时间=甲、乙之间的路程之差，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出z值，再结合“甲、丙第一次相遇后每隔6分钟相遇一次”，即可得出三人第一次相遇的时间． 【详解】（1）解：设出发后第x分钟甲、丙第一次相遇， 依题意，得： 解得：． （2）解：设出发后第y分钟乙、丙第一次相遇， 依题意，得 解得：． （3）解：设出发后第z分钟甲、乙第一次相遇， 依题意，得 解得：． 则（分钟）， ∴甲、丙第一次相遇后每隔6分钟相遇一次． 则（分钟）， ∴出发后第7分钟甲丙再次相遇， ∴出发后第7分钟三人第一次相遇． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）把正偶数2、4、6、…、2026排成如表所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…； (1)数2026在第_____行第_____列； (2)按如图所示的方法用一个“T”形框框住相邻的四个数，设被框的四个数中最小的一个数为，是否存在这样的使得被框的四个数的和等于2008?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若在（2）中“T”形框框住的四个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于_____． 【答案】(1)，； (2)不存在使得被框的四个数的和等于2008； 由题意可得，设被框的四个数中最小的数为， 则被框的四个数分别为，，，， 则，解得， ∵，在最右边的一列中， ∴不符合题意， ∴不存在使得被框的四个数的和等于2008； (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程、列一元一次方程解应用题，掌握用代数式表示数阵中的数是关键． （1）由题意可得：为第个偶数，再根据列数为求解即可； （2）由题意可得，被框的四个数分别为，，，，可得，，求解最后检验即可； （3）由（2）可得四个数的和“S”为，根据题意可得，最小为2，最大为，代入求得“S”的最大值和最小值，求解即可． 【详解】（1）解：从开始，为第个偶数， ，即数2026在第行第列， 故答案为：，； （2）略 （3）解：由（2）可得四个数的和“S”为， 根据题意可得，最小为2，最大满足，解得，即最大为， 则四个数的和“S”的最小值为，最大值为，则差为， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 【答案】(1)，，16 (2)当t为15或25时，A、B之间的距离为5 (3)1 【分析】（1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出a和b，再由与的数量关系求出c； （2）分别用含t的代数式表示出点A和B对应的数，再由A、B之间的距离列绝对值方程并求解即可； （3）分别求出点Q在、、、上的速度，并将对应的数用含t的代数式表示出来，并标明t的取值范围；根据P、Q两点相遇时，点P和Q表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点M表示的数即可． 【详解】（1）解， ，， ，， ，即， ． 答：，，． （2）解：经过t秒后，点A对应的数为，点B对应的数为， ， 当时，得，即或， 解得或． 答：当t为15或25时，A、B之间的距离为5． （3）解：点P在数轴上对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； ①当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； ②当点M在上时，得，解（不符合题意，舍去）； ③当点M在上时，得，解得； ④当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； 当时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为． 答：点M表示的数为． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及绝对值和偶次方的非负性质．利用绝对值和偶次方的非负性质求出a和b，用含t的代数式正确表示点A和B对应的数是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一元一次方程培优应用（压轴题型） （核心知识+3易错辨析+6典例精讲） 【知识点01】 一元一次方程实际应用解题流程 审（审题找等量关系）→ 设（合理设未知数，优先直接设，复杂题型可间接设）→ 列（根据等量关系列方程）→ 解（规范解方程）→ 验（检验解是否满足方程、符合实际意义）→ 答（完整书写答案，带单位） 【知识点02】高频应用题等量关系（培优核心） 行程问题：路程=速度×时间；包含相遇、追及、顺水逆水航行模型 工程问题：总工作量常设为1，工作量=工作效率×工作时间 利润问题：利润=售价－进价；利润率=；折扣=实际售价÷标价 配套问题：配套的两类物品数量成固定比例关系 方案选择问题：列方程求出费用相等的临界点，分段对比方案优劣 数字问题：两位数（为十位数字，为个位数字） 应用题忽略实际意义 解出人数、物品个数为小数或负数，直接作答 人数、件数、天数等必须为非负整数，不符合的解需舍去 航行问题速度混淆 错误认为顺水速度=静水速度－水流速度 核心公式：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度 利润率基数混淆 误将利润率算为 利润率固定以进价为基数：利润率= 培优核心陷阱：①应用题只解方程不检验，负数、小数、超范围解未舍去，不符合实际场景；②公式混淆（利润率、航行速度）是期末高频易错点。 【题型一】行程应用题 【例1】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山，距绿水．某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示： 地点 王家庄 青山 绿水 时间 王家庄距翠湖的路程有多远？ 【例2】．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）甲乙两地相距公里，一列慢车从甲地开出，每小时行公里，一列快车从乙地开出，每小时行公里，慢车先开小时，快车再开．两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？ 【例3】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数，，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒 (1)问甲、乙在数轴上表示有理数________的点相遇； (2)________秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位． (3)若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是两张不同类型的火车票（开头表示动车，开头表示高铁） (1)根据信息可知：动车和高铁是___________（填“同向”或“相向”）而行，动车比高铁早发车___________小时； (2)已知动车的平均速度是，高铁的平均速度是，两列火车长度不计，中途均不停车，最终高铁比动车早到，求、两地之间的距离． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）学校组织学生乘汽车去神居山保护区野营．行驶的路段分为平路和坡路两段，其中坡路的长度是平路的倍，已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为，汽车从学校到神居山保护区一共行驶了，求汽车在坡路上行驶的时间． 小明和小芳分别列出了以下两个不完整的方程： 小明：；小芳：． (1)小明所设未知数表示____________，小芳所设未知数表示____________； (2)请你选择其中一种方法求出该汽车在坡路上行驶的时间． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从相距600千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶3小时时甲车先到达配货站C地，此时两车相距60千米，甲车在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地；乙车行驶4小时时也到C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是 千米/小时，B、C两地的距离是 千米； (2)求甲车的速度及甲车从C地到达B地所用的时间； (3)乙车出发多长时间，两车相距240千米？ 【题型二】工程应用题 【例4】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）某服装厂计划若干天完成一批服装的订单任务，如果每天生产服装25套，那么就会超过3天完成，如果每天生产服装28套，那么就会超额完成30套．问这批服装的订单是多少套？计划时间是多少天？ 【变式1】．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 【变式2】．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 【变式3】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）用方程解决实际问题： 年月，某校在社会实践基地开展“三农”研学活动． (1)在雨花茶生产基地研学的有人，在艺莲苑研学的有人，现调来人支援，要使雨花茶生产基地研学的人是艺莲苑研学的人数的倍，应往雨花茶生产基地、艺莲苑两处各调去多少人？ (2)有甲、乙两个班的学生参加“刨红薯”的劳动，一块地的红薯由甲班单独刨完需要小时、由乙班单独刨完需要小时，乙班先干小时后，甲班才赶到田地，甲班随即加入劳动，请问甲班加入劳动后，两个班还需要多少小时才能全部刨完？ 【题型三】利润折扣应用题 【例5】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）一件羽绒服的标价为进价的倍，在促销活动中以6折出售，亏损16元，根据以上信息绘制流程图： (1)设这件羽绒服的进价为元，则流程图中的标价和售价分别为 元和 元．（用含的代数式表示） (2)这件羽绒服的进价是多少元？ 【变式1】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某水果店用2700元购进香水梨、大枣两种水果共300千克．这两种水果的进价、标价如表所示： 品种 香水梨 大枣 进价（元/千克） 7 10 标价（元/千克） 10 14 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若香水梨按标价的八折出售，大枣也减价出售，则这两种水果全部售出后，在不损耗的前提下，想要获利，大枣每千克应降价多少元出售？ 【变式2】．（25-26七年级上·江苏·期末）一家商场因换季将某种服装共50件打折销售，该服装的进价为每件200元，标价为每件360元． (1)每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润率是__________； (2)每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润是__________元； (3)商场打折销售时先将每件服装按标价的八折出售，售出部分后为尽快回笼资金，将剩余部分的服装每件按标价的五折出售，售完后共获利2240元，求按标价五折出售的服装的数量． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价80元，售价100元；乙种商品每件的售价为60元，利润率为50%（）． (1)每件甲种商品的利润率为_________，乙种商品每件的进价为_________元． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价恰好为3600元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 不超过900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中不超过1200元的部分打八折优惠，超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小宇一次性购买商品实际付款981元，求小宇所购商品优惠前的总金额为多少元？ 【题型四】配套应用题 【例6】．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4个侧面；方法剪6个底面．现有80张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时张用方法，其余用方法． (1)请用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：方法、方法各裁剪几张？ 【变式2】．八年级二班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手组装飞机模型，每名学生一节课能组装机身个或机翼个． (1)八年级二班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责组装机身，男生负责组装机翼，每个机身匹配个机翼，那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套，最后决定让名男生去支援女生，使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套，求派去支援女生的男生人数等于多少？ 【变式3】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）今年，横跨6个月的江苏省城市足球联赛即“苏超”彻底火出了圈，尤其是“苏超冠军”泰州更是“一黑到底”．在南通队和泰州队的决赛中，靖江和泰兴的两地球迷共同为泰州队制作应援旗助威． 请根据素材1、素材2，探索并完成任务1、任务2． 问题：两地球迷人数、需调整人数各是多少? 素材1 靖江球迷人数比泰兴球迷人数多3人，两地球迷总人数为49人． 素材2 每位靖江球迷每天可制作8面主队应援旗，每位泰兴球迷每天可制作6面客队应援旗， 问题解决 任务1 确定两地球迷人数 两地制作应援旗球迷各有多少人? 任务2 确定调整人数，应援旗刚好配套 若应援旗需配套（一面主队旗配一面客队旗），需调整多少名靖江球迷去制作客队旗，才能刚好配套? 【题型五】数字应用题 【例7】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方． (1)若，则A的值为_____； (2)的值为_______． 【例8】．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵： (1)如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由； (3)十字框中五个数的和能等于295吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【例9】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）将连续的偶数，，，……，排成如表：如图，用十字框框住五个数，我们把中间的数叫十字数，如图中的叫做十字数． (1)若十字数是，十字框内五个数的和是多少？（用式子表示） (2)若将十字框上下左右移动，小明认为十字框内五个数的和可以等于，请你判断小明同学的观点是否正确，若正确请求出十字数，若不正确请说明理由． 【变式2】．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）在下表所示的某年1月份的日历中，用一个方框圈出任意个数． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 (1)若从左下角到右上角的三个数字之和为42，请问中间一天是1月几号？这9个日期的日期之和是多少？ (2)这张表中能圈出的9个数的最大和是多少？ 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）探究洛书中的奥秘 中国古典文献中记载：上古时期大禹治水时，发现一只巨大神龟出现于洛水，背上有九种花点图案（如图1所示），分别代表这九个数，世人称之为洛书．观察图2中数字，发现其蕴藏着“横行、纵列、对角线上数字之和都等于15”这一神奇的数学规律，洛书有三行三列，所以也称为三阶幻方． (1)发现问题，探究规律： 问题：洛书的最中间的数字必须填5吗？ 探究：如果按图3填写，请用数字或含a的代数式表示P，Q，M，______，______，______； 推导：说明你的猜测的正确性． (2)初步应用，思维生长： 将这九个数填在图4中，使其具备与洛书相似的规律； (3)迁移应用，能力提升： 如图5，给定一个三阶幻方中的两个数：7与13，请补全一些正整数，使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于 【题型六】方案选择压轴题（培优难点·补充完整） 【例10】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）超市某品牌的牙膏定价20元/条，牙刷4元/支．现超市针对这种品牌提供两种优惠方案：A方案，买一条牙膏送一支牙刷；B方案，牙膏牙刷都按定价打9折．某客户要买15条牙膏和x支牙刷 (1)A方案付款需___________元，B方案付款需___________元（用含x的式子表达）． (2)请分析哪种方案更合算？ 【变式1】．（23-24七年级上·江苏·期末）为筹备文艺会演，七（1）班计划在某店铺购买甲、乙两种演出道具，已知该店铺甲道具每件标价10元，乙道具每件标价2元，现有以下两个促销方案： 方案一：买一送一（每买一件甲道具，送一件乙道具） 方案二：全场九折（即全部商品按标价的九折销售） (1)若购买10件甲道具与30件乙道具，则两个方案所需的费用相差多少元？ (2)若购买甲道具的件数比乙道具少20件时，两个方案所需的费用相同，则此时购买两种道具各多少件？ 【变式2】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 1. 应用题核心：解题关键是找准等量关系，合理设未知数；求解后必须检验结果，舍去不符合实际意义的解（负数、小数人数等）。 2. 高频模型总结：熟练掌握行程、工程、利润、配套、数字五大基础应用题模型，保证解题零失误；培优压轴重点掌握方案选择临界点分类讨论法，突破期末难点。 解答题 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)每套太空漫步器的成本为200元，若要保证原售价打8折时利润率恰好为，每套原售价应为多少元？ 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用含的代数式分别表示裁剪出的侧面个数为_____，底面的个数为_____．（要求写出化简后的结果） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）现有甲、乙两个工厂生产一批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用天完成．已知甲工厂每天生产件，乙工厂每天生产件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则要多少天完成？ 4．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地。现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下， 信息一： 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二： 甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为．该段时间内体育中心需要支付多少施工费用？ 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）泗洲商场经销甲、乙两种商品，平时甲种商品每件售价80元，每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元，售价60元．在“元旦”期间，同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的商品不优惠；②购物总金额超过300元，但不超过500元的商品打九折；③购物总金额超过500元的商品打八折． (1)甲种商品每件的进价为______元，若活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价用去2600元，求商场在平时可以盈利多少元？ (3)按“元旦”期间优惠条件，小明一次性购买了乙种商品，实际付款是432元，求商场实际利润是多少元？ 7．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段检测）甲、乙两地相距、复兴号高铁从甲地出发，平均每小时行；和谐号动车从乙地出发，平均每小时行． (1)若两车同时相向出发，多长时间相遇？ (2)若两车同时相向出发，出发后多长时间两车相距？ (3)若两车同时同向出发，和谐号动车在前复兴号高铁在后，问多久后两车相遇？ 8．如图是某年某月月历． （1）如图，用一正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为x，则被正方形框的4个数之和用含x的式子表示出来是　　 ； （2）在表中用正方形框的四个数之和最小记为a1，最大记为a2，则a1+a2＝　　； （3）当（1）中被正方形框的4个数之和等于76时，求x的值？ （4）在（1）中能否用正方形框这样的4个数，使它们的和等于92？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由？ 9．（24-25七年级上·江苏·期末）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于元 不予优惠 低于元但不低于元 八折优惠 元或超过元 其中元部分给予八折优惠， 超过元部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物元，他实际付款 元．若王老师实际付款元，那么王老师一次性购物可能是 元； (2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于元但不小于时，他实际付款 元，当大于或等于元时，他实际付款 元（用含的代数式表示并化简）； (3)如果王老师有两天去超市购物原价合计元，第一天购物的原价为元，用含的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）．    【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3倍． 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍． 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n表示，其中“中心数”为e，将“幻方和”用字母s表示． 由题意可知：； 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的3倍． 【解决问题】 利用上述结论解决问题： (1)如图3，已知，，幻方的“中心数”，则n的值为 ； (2)如图4，A、B、C、D、E、F是含有字母t的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式F和整式A（用含t的式子表示）； ②若幻方的“中心数”，，且a、m均为常数，求a、m的值． 11．（25-26七年级上·江苏常州·期末）在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟圈，乙每分钟圈，丙每分钟圈，他们同时出发，起点如图所示（甲、乙、丙分别从A点、B点、C点出发），沿环形赛场顺时针运动，则： (1)出发后第几分钟甲、丙第一次相遇； (2)出发后第几分钟乙、丙第一次相遇； (3)出发后第几分钟三人第一次相遇． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）把正偶数2、4、6、…、2026排成如表所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…； (1)数2026在第_____行第_____列； (2)按如图所示的方法用一个“T”形框框住相邻的四个数，设被框的四个数中最小的一个数为，是否存在这样的使得被框的四个数的和等于2008?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若在（2）中“T”形框框住的四个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于_____． 13．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $