第08讲 勾股定理的简单应用（核心知识+6易错辨析+12典例精讲+课后作业）讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理的简单应用，系统梳理四大经典实际应用模型（梯子滑动、折叠、立体图形最短路径、航海/距离测量）及通用解题步骤（建模、定边、计算、作答），搭建从勾股定理基础到实际问题解决的学习支架。 该资料通过6个易错辨析强化推理意识，12类典例（如折叠问题设未知数列勾股方程）培养模型意识与几何直观，课中助力教师系统教学，课后分层作业帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第08讲 勾股定理的简单应用 （核心知识+6易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】四大经典实际应用模型 （1）梯子滑动模型 核心：梯子长度始终不变（斜边定值），墙面与地面互相垂直，构成直角三角形。通过滑动前后两次勾股计算，求出底部滑动距离或顶端下落距离。 （2）折叠模型 核心：折叠前后对应边相等、对应角相等。通常设未知边长为x，用含x的代数式表示直角三角形三边，利用勾股定理列方程求解。 （3）立体图形最短路径模型 核心：立体图形表面最短路径，需将立体侧面展开为平面图形，依据“两点之间线段最短”，构造直角三角形，用勾股定理计算最短距离。 （4）航海/距离测量模型 核心：将实际行走、航行的垂直距离转化为直角三角形直角边，所求直线距离为斜边，直接利用勾股定理求解。 【知识点02】通用解题步骤 ① 建模：将实际问题转化为直角三角形问题； ② 定边：准确区分直角边与斜边，不确定时分类讨论； ③ 计算：直接代入公式计算或设未知数列方程求解； ④ 作答：将计算结果还原为实际问题答案。 易错点1：乱用定理，非直角三角形使用勾股定理 ❌ 错误认知：任意三角形都能用计算边长。 ✅ 正确辨析：勾股定理是直角三角形专属定理，普通锐角、钝角三角形不适用。用逆定理判定时，必须用最短两边平方和与最长边平方对比。 易错点2：边长不明确，遗漏分类讨论 ❌ 错误认知：已知直角三角形两边为3、5，默认5为斜边，直接算出第三边为4。 ✅ 正确辨析：题目未说明边长类型时，必须分类讨论： 1. 5为斜边：第三边； 2. 5为直角边：第三边（斜边）。 易错点3：梯子滑动的等量误区 ❌ 错误认知：梯子顶端下滑几米，底部就向外滑动几米。 ✅ 正确辨析：梯子长度固定，但直角边的变化量不相等，必须分别计算滑动前后的底边长度，再求差值。 易错点4：立体图形不展开，直接求路径 ❌ 错误认知：直接用立体图形的高、棱长相加当作最短路径。 ✅ 正确辨析：立体表面最短路径必须先展平为平面，再用两点之间线段最短结合勾股定理计算。 易错点5：逆定理公式套用颠倒 ❌ 错误示例：三边5、12、13，错误写成。 ✅ 正确辨析：逆定理等式右侧必须是最长边的平方，判定标准唯一：短边²+短边²=最长边²。 易错点6：折叠问题不会构造方程 ❌ 错误认知：盲目找边长，无法利用折叠性质解题。 ✅ 正确辨析：抓住“折叠前后边长相等”的核心，设未知数，用代数式表示三边，在直角三角形中列勾股方程求解。 【题型一】勾股定理与网格问题 【例1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，则方格纸上的中边长为无理数的边数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】无理数、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理求格点间的距离，再判断否过化简二次根式，判断是否为无理数，解题的关键是熟悉勾股定理求线段长． 【详解】解：的顶点在格点上，每个小正方形的边长为， ；；． 都是无理数， 无理数的边数是． 故选：． 【变式1】．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．不妨设每个小正方形的边长为，则，，再根据全等三角形的性质解答即可得． 【详解】解：设每个小正方形的边长为， ∴， 由网格可知，， ∵， ∴，， 如图，观察四个点可知，点可能是图中的点， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．连接，构造等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得，，由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形方格纸中的每个小正方形的边长都是1． (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，； (3)在图③中找一个角，使，其中，为格点． 【答案】(1) 如图所示： 图中正方形即为所求； (2) 如图所示： 图中三角形即为所求； (3) 如图所示： 即为所求 【知识点】勾股定理与网格问题、格点作图题 【分析】本题考查网格中作图，熟记勾股定理定理求网格中的线段长是解决问题的关键． （1）以格点为顶点画一个面积为5的正方形，可以看作网格中的长方形的对角线构成的正方形即可得到答案； （2）边长为可以看作网格中的长方形的对角线，边长为可以看作网格中的长方形的对角线，再由边长为2即可构成满足条件的三角形； （3）由是由的长方形对角线和的长方形对角线构成，以点为顶点，由的长方形对角线和的长方形对角线构成即可得到答案． 【详解】（1）解：若正方形的面积为5，则该正方形的边长为，可以看作网格中的长方形的对角线； （2）解：边长为可以看作网格中的长方形的对角线，边长为可以看作网格中的长方形的对角线； （3）解：由是由的长方形对角线和的长方形对角线构成． 【题型二】勾股定理与折叠问题 【例2】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 变式3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ． 答：的长为． 【题型三】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【例3】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理得应用，设绳索长x尺，由题意并结合勾股定理即可列出方程，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设绳索长x尺， 由题意并结合勾股定理可得：， 故选：A． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是_______． 【答案】12米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 【详解】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得： ， 故． 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故答案为：12． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)旗杆的高度为； (2)小明需后退． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作，垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为； （2） 解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 【题型四】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【例4】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 由梯子、地面和建筑物构成直角三角形，梯子为斜边，底端距离为一条直角边，高度为另一条直角边，再利用勾股定理计算高度即可． 【详解】解：设梯子可以达到建筑物的高度为米． ∵梯子长，底端离建筑物， ∴由勾股定理，得，即， 解得：． 故选B． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了________m． 【答案】 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用．根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据求，根据求，根据计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中， ∴米， 已知米，， 则米， 在直角中，为直角边, ∴米， 米． 故答案为：． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为_________米． 【答案】3 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，米， ∴米， 故答案为：3． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【题型五】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【例5】．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，有两棵树，一颗高10米，另一棵高3米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【答案】25 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查正确运用勾股定理，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可． 【详解】解：过B作于D， ∴，， ∴（）， 在中，， ∴（）， 答：至少需要的彩旗带． 【变式2】．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题关键． 【变式3】．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)41； (2) 如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； (3)15． 【知识点】作已知线段的垂直平分线、用勾股定理构造图形解决问题、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为41千米， 故答案为：41； （2）解：略． （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点． 【题型六】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【例6】．（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 【答案】A 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键：根据题意，竹子原高10尺，折断后竹尖触地，离根3尺，设折断处高度为x尺，则折断部分长度为尺，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设折后竹尖离地面高度为x尺，则折断部分长度为尺， 由勾股定理得：， 即 ， 解得． 故折后竹尖离地面高度为4.55尺． 故选A． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一棵大树原高，被大风刮断后，树的顶端A与树根C的距离为，则这棵树断裂处距地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这棵树断裂处距地面的高度为x米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设这棵树断裂处距地面的高度为，则，， 由勾股定理得：，则 ， 解得， 答：这棵树断裂处距地面的高度为． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为______m． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是设出未知数，利用勾股定理建立方程求解． 根据大树垂直于地面被刮断这一条件，构建直角三角形，然后利用勾股定理来求解折断处与地面的距离即可． 【详解】解：设折断处与地面的距离的长为米， ∴米， ∵大树高米，米， 由于大树垂直于地面，被刮断后是直角三角形，其中， 由勾股定理公式可得：， 即，解得． 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离树底部多远． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理计算边长． 先确定折断后形成的直角三角形的直角边（树高残留部分）和斜边（折断部分长度），再用勾股定理求出另一条直角边（树顶端到树底部的距离）． 【详解】解：由题意，树高，离地面处折断， 则折断部分长度为， 设树顶端到树底部的距离为， 树残留部分与地面垂直， 由勾股定理得：， 即， （舍去负根）． 答：此处离树底部远． 【题型七】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【例7】．（2024·江苏苏州·一模）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的运用．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中． ∴，， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∵， ∴． 答：竹竿为10尺． 故选：A 【变式1】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______ 【答案】5 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】设圆柱的底面圆的直径为，高为，根据勾股定理得到，解答即可． 本题考查了勾股定理，圆柱的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设圆柱的底面圆的直径为，高为， 由底面半径为，高为可得 根据勾股定理得到， 故， 故答案为：5． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是________尺． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 先求出尺，设尺，则芦苇的高度尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇， ∴尺， 设尺，则芦苇的高度尺， ∴， ， 解得：， 即芦苇的高度尺． 故答案为：． 【变式3】．如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】设杯子的高度是，则筷子的高度为，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设杯子的高度是，则筷子的高度为，    ∵杯子的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ∴筷子． 答：筷子的长度为． 【题型八】解决航海问题(勾股定理的应用) 【例8】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【答案】D 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1小时后两船的距离即可． 【详解】解：第一艘船向北航行距离：（海里）， 第二艘船向东航行距离：（海里）， 且两方向垂直， 则两船距离为直角三角形的斜边：（海里）， 故选：D． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间，这时乙共行， 甲共行， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【答案】该船的航行速度为海里时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 【题型九】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【例9】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理计算米，根据题意，台阶的高的和为，宽的和为，求和计算即可． 【详解】∵高是3米，斜边长是5米， ∴米， 根据题意，台阶的高的和为，宽的和为， 米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯，台阶的剖面图如图，地毯的宽度与台阶的宽度恰好相同，地毯的长度至少为________ 【答案】17 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 利用勾股定理求出另一条直角边的长，根据平移可知地毯的长度等于两直角边的和，然后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个长方形， 根据勾股定理，可求得长方形的长为：， ∴地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 【变式2】．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【答案】13 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 【变式3】．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 【题型十】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【例10】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 【答案】8 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【答案】少千米 【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理构建方程是解题的关键； 设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 【题型十一】求最短路径(勾股定理的应用) 【例11】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 根据勾股定理得． ∴它爬行的最短路程为， 故选：D． 【例12】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为____________． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：吸管在盒内长度为， 总长度． 【例13】．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．掌握两点之间线段最短和勾股定理的应用是解题关键．将圆柱形玻璃杯侧面展开，连接．结合两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．再根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：将圆柱形玻璃杯侧面展开，如图，连接． ∴． 根据两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离． ∵高为，底面周长为， ∴，， ∴． 故选B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． (1)求的长； (2)若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】(1)1.6 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线定理以及轴对称求最短路径的核心知识点． （1）先在中用勾股定理求出，再在中用勾股定理求出． （2）利用是的垂直平分线，将转化为，其最小值为线段 的长，再通过构造直角三角形，用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：∵ ， ，． ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为的长． 取的中点，连接． ∵ ，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 【题型十二】勾股定理逆定理的实际应用 【例14】．李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，   ， ， 在中，，， ， ， （平方米）， 故答案为：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）车库门前有一块四边形绿化地，如图1，现测得绿化地四边长分别为米，米，米，且为直角． (1)求的度数； (2)因为种植需要，现将绿化地分成两块分别种植太阳花和小菊花，如图2，线段刚好把绿化地分成了面积相等的两部分，则长几米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，先在中由勾股定理求解，然后由勾股定理逆定理证明，根据为等腰直角三角形得到，即可求解的度数； （2）先求出四边形的面积，然后对运用面积公式求解，最后再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地进行改造，经测量，，米，米，米，米，连接． (1)求的长度； (2)若在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 【答案】(1)的长度为25米； (2)该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． 【详解】（1）解：，米，米， 由勾股定理得：（米）， 答：的长度为25米； （2）解：，， ， 是直角三角形． （平方米） 则（元） 答：该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 【答案】(1) 证明：米，米，米， 则 ， ； (2)米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）得， ， （米）， （米）． 1. 核心公式：勾股定理用于直角三角形求边长，逆定理用于判定直角三角形，二者互为正反应用，是本节解题核心。 2. 核心题型：本节课重点考查梯子滑动、图形折叠、立体最短路径、实际距离测量四类应用问题，所有题型本质都是构造直角三角形。 3. 核心思想：熟练掌握方程思想（折叠、梯子问题）、转化思想（立体转平面、实际问题转几何图形）、分类讨论思想（边长不确定问题）。 4. 解题底线：非直角三角形绝不使用勾股定理；逆定理判定必看最长边；无说明边长类型时，务必分类讨论，避免漏解。 一、单选题 1．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 尺， 故选：B． 2．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 3．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 4．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 5．有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．正确做出辅助线、构造直角三角形是解题的关键数． 如图：连接，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答． 【详解】解：连接，如图， ∵， ， ∵米，米， ∴米， ∵米，米， ， ∴为直角三角形， ∴这块草坪的面积． 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由网格可得： ， ， ∵线段a，b，恰好能作为直角三角形三边， 当作为斜边时，， ∵ ∴， ∵， ∴取格点，，，则点，即为所求的点，如图： 当作为斜边时，， ∵ ∴， 网格中，找不到一个格点，使得， 综上，符合条件的点只有个， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 8．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口2小时后两船相距______海里． 【答案】 【分析】先求出，再求出海里，海里，然后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里，航行时间为2小时， ∴海里，海里， ∴由勾股定理得海里， ∴它们离开港口2小时后两船相距40海里， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． 9．如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平移的性质等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． 如图，此时B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，，，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值，再利用勾股定理求出的长，进而完成解答． 【详解】解：如图，B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，由题意可得：米， 将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，则，， 所以旋梯底部A到顶部B的扶手长度 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值， ∵油罐底面圆半径约为米，高为12米， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴旋梯的扶手长度的最小值为米． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】绳索的长是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是． 12．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度． 【答案】26cm 【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm， ∵杯子的直径为20cm， ∴杯子半径为10cm， ∴x2+102＝（x+2）2， 即x2+100＝x2+4x+4， 解得：x＝24， 24+2＝26（cm）． 答：小木棍长26cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． 14．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了 【分析】先利用勾股定理求出的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】解：在 中， 米 ， ， 所以小汽车超速了． 【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 15．一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地． (1)求两地的距离； (2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴， 即两地的距离为； （2）解：根据等面积法知：， 即， ∴， 即的距离为 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． (2)2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 17．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）消防车上的云梯最多只能伸长到米，已知消防车的高米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从处向楼房移动的距离至少为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向楼房移动的距离至少为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， 依题意， ∴（米）， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向楼房移动的距离至少为米． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 19．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是___________； (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为___________； (3)若点为轴上一动点，则的最小值为___________． 【答案】(1) 在平面直角坐标系中描点，如图所示： AI 4 (2) (3) 【分析】本题考查网格中作三角形、网格中求三角形面积、轴对称性质． （1）利用描点法在平面直角坐标系中描出即可得到，在网格中求出三角形面积即可得到答案； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）取关于x轴的对称点，连接交x轴于P，再根据勾股定理求的长即可． 【详解】（1） 将放在长方形中求面积，如图所示：     ， 故答案为：4； （2）解：点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：取关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 则最短， 此时． 故答案为：． 20．“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． (1)如图1，AB的长度为________，中AB边上的高的长度为________． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【答案】(1)， (2)，如图所示： (3)17 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，三角形的三边关系，利用数形结合的思想，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，设中边上的高的长度为，再根据即可求出的长； （2）依据题意构造，由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接，设，结合勾股定理得到，再结合两点间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设边上的高的长度为， ， 又∵， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 由勾股定理，得， 在中，， ； （3）解：， 如图，在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接， 设，则， 由勾股定理得：，， ， ，， 的最小值为17． 21．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 【答案】（）；（）；（）（）． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）以和对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为； （）如图，构造，于点，，， 设， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解是， 故答案为：； （）构造，，，，，，，如图所示， 过点作，交延长线于点， 则，，， 设，则，，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在中,由勾股定理得：， ∴的最大值为， 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 勾股定理的简单应用 （核心知识+6易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】四大经典实际应用模型 （1）梯子滑动模型 核心：梯子长度始终不变（斜边定值），墙面与地面互相垂直，构成直角三角形。通过滑动前后两次勾股计算，求出底部滑动距离或顶端下落距离。 （2）折叠模型 核心：折叠前后对应边相等、对应角相等。通常设未知边长为x，用含x的代数式表示直角三角形三边，利用勾股定理列方程求解。 （3）立体图形最短路径模型 核心：立体图形表面最短路径，需将立体侧面展开为平面图形，依据“两点之间线段最短”，构造直角三角形，用勾股定理计算最短距离。 （4）航海/距离测量模型 核心：将实际行走、航行的垂直距离转化为直角三角形直角边，所求直线距离为斜边，直接利用勾股定理求解。 【知识点02】通用解题步骤 ① 建模：将实际问题转化为直角三角形问题； ② 定边：准确区分直角边与斜边，不确定时分类讨论； ③ 计算：直接代入公式计算或设未知数列方程求解； ④ 作答：将计算结果还原为实际问题答案。 易错点1：乱用定理，非直角三角形使用勾股定理 ❌ 错误认知：任意三角形都能用计算边长。 ✅ 正确辨析：勾股定理是直角三角形专属定理，普通锐角、钝角三角形不适用。用逆定理判定时，必须用最短两边平方和与最长边平方对比。 易错点2：边长不明确，遗漏分类讨论 ❌ 错误认知：已知直角三角形两边为3、5，默认5为斜边，直接算出第三边为4。 ✅ 正确辨析：题目未说明边长类型时，必须分类讨论： 1. 5为斜边：第三边； 2. 5为直角边：第三边（斜边）。 易错点3：梯子滑动的等量误区 ❌ 错误认知：梯子顶端下滑几米，底部就向外滑动几米。 ✅ 正确辨析：梯子长度固定，但直角边的变化量不相等，必须分别计算滑动前后的底边长度，再求差值。 易错点4：立体图形不展开，直接求路径 ❌ 错误认知：直接用立体图形的高、棱长相加当作最短路径。 ✅ 正确辨析：立体表面最短路径必须先展平为平面，再用两点之间线段最短结合勾股定理计算。 易错点5：逆定理公式套用颠倒 ❌ 错误示例：三边5、12、13，错误写成。 ✅ 正确辨析：逆定理等式右侧必须是最长边的平方，判定标准唯一：短边²+短边²=最长边²。 易错点6：折叠问题不会构造方程 ❌ 错误认知：盲目找边长，无法利用折叠性质解题。 ✅ 正确辨析：抓住“折叠前后边长相等”的核心，设未知数，用代数式表示三边，在直角三角形中列勾股方程求解。 【题型一】勾股定理与网格问题 【例1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，则方格纸上的中边长为无理数的边数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形方格纸中的每个小正方形的边长都是1． (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，； (3)在图③中找一个角，使，其中，为格点． 【题型二】勾股定理与折叠问题 【例2】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 变式3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 【题型三】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【例3】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是_______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【题型四】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【例4】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了________m． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为_________米． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【题型五】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【例5】．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，有两棵树，一颗高10米，另一棵高3米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【变式2】．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【变式3】．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【题型六】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【例6】．（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一棵大树原高，被大风刮断后，树的顶端A与树根C的距离为，则这棵树断裂处距地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为______m． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离树底部多远． 【题型七】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【例7】．（2024·江苏苏州·一模）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 【变式1】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______ 【变式2】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是________尺． 【变式3】．如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【题型八】解决航海问题(勾股定理的应用) 【例8】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【变式1】．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【题型九】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【例9】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【变式1】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯，台阶的剖面图如图，地毯的宽度与台阶的宽度恰好相同，地毯的长度至少为________ 【变式2】．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【变式3】．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【题型十】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【例10】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 【变式1】．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【变式3】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【题型十一】求最短路径(勾股定理的应用) 【例11】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【例12】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为____________． 【例13】．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式1】．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． (1)求的长； (2)若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【题型十二】勾股定理逆定理的实际应用 【例14】．李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）车库门前有一块四边形绿化地，如图1，现测得绿化地四边长分别为米，米，米，且为直角． (1)求的度数； (2)因为种植需要，现将绿化地分成两块分别种植太阳花和小菊花，如图2，线段刚好把绿化地分成了面积相等的两部分，则长几米？ 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地进行改造，经测量，，米，米，米，米，连接． (1)求的长度； (2)若在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 1. 核心公式：勾股定理用于直角三角形求边长，逆定理用于判定直角三角形，二者互为正反应用，是本节解题核心。 2. 核心题型：本节课重点考查梯子滑动、图形折叠、立体最短路径、实际距离测量四类应用问题，所有题型本质都是构造直角三角形。 3. 核心思想：熟练掌握方程思想（折叠、梯子问题）、转化思想（立体转平面、实际问题转几何图形）、分类讨论思想（边长不确定问题）。 4. 解题底线：非直角三角形绝不使用勾股定理；逆定理判定必看最长边；无说明边长类型时，务必分类讨论，避免漏解。 一、单选题 1．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 2．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 4．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 5．有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 8．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里．它们离开港口2小时后两船相距______海里． 9．如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 12．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 14．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？    15．一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地． (1)求两地的距离； (2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 17．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）消防车上的云梯最多只能伸长到米，已知消防车的高米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从处向楼房移动的距离至少为多少米？ 18．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 19．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是___________； (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为___________； (3)若点为轴上一动点，则的最小值为___________． 20．“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． (1)如图1，AB的长度为________，中AB边上的高的长度为________． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 21．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 1 学科网（北京）股份有限公司 $