第01讲 三角形中的线段和角（核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业）2026-2027学年苏科版八年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项

本讲义聚焦初中数学“三角形中的线段和角”核心知识，系统梳理三角形定义与分类（按边、内角）、三边关系（性质、判定、取值范围、边角对应）及高、中线、角平分线三种重要线段的定义、位置特征与性质，构建从基础概念到核心关系再到线段应用的完整学习支架。 该资料通过5个易错辨析（如纠正高的位置误区、中线平分面积而非周长）精准突破认知盲点，11个典例题型（如三边构成条件、中线面积计算）结合具体题目培养几何直观与推理能力。课中辅助教师系统授课，课后作业助力学生巩固应用，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第01讲 三角形中的线段和角（核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】三角形的基本定义与分类 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。三角形有3个顶点、3条边、3个内角。 2. 分类（两种标准） （1）按边的长短分类： 不等边三角形：三条边长度都不相等 等腰三角形：至少两条边相等（包含等边三角形） 等边三角形：三条边都相等（特殊的等腰三角形） （2）按内角大小分类： 锐角三角形：三个内角都是锐角（均小于90°） 直角三角形：有一个内角是直角（等于90°），两个锐角互余 钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°） 【知识点02】三角形三边关系（核心考点） 1. 基本性质 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 2. 快速判定技巧：判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和大于最长边即可，无需逐一验证三组关系。 3. 取值范围公式：若三角形两边长为a、b（a＞b），则第三边c的取值范围： 4. 边角对应关系：同一个三角形中，大边对大角，大角对大边，即边长越长，所对的内角越大，反之亦然。 【知识点02】三角形的三种重要线段（重点） 三角形的高、中线、角平分线均为线段，且都有3条，所在直线均交于一点。 1. 三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 位置规律： 锐角三角形：三条高都在三角形内部，交点在三角形内 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部，交点为直角顶点 钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条高在三角形外部，交点在三角形外 2. 三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这条边上的中线。 核心性质： 三条中线均在三角形内部，交点为重心 中线平分三角形面积：一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形 3. 三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 核心性质：三条角平分线均在三角形内部，交点为内心，且平分对应内角。 易错点1：三边关系判定误区 ❌ 错误认知：只要任意两边之和大于第三边即可随意取值，或只验证一组两边和。 ✅ 正确结论：只需验证最短两边之和＞最长边；求第三边范围时，必须同时满足两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，避免漏范围。 例：3cm、4cm、7cm线段，3+4=7，不满足“大于”，不能组成三角形（等于时无法构成封闭三角形）。 易错点2：混淆三种线段的概念 ❌ 错误1：将三角形的高、角平分线当成直线或射线。 ✅ 纠正：三者都是线段，有两个端点，长度有限。 ❌ 错误2：认为所有三角形的高都在内部。 ✅ 纠正：钝角三角形两条高在外部，直角三角形两条高与直角边重合。 易错点3：中线性质理解偏差 ❌ 错误：中线平分三角形的周长。 ✅ 纠正：三角形中线只平分面积，不平分周长，只有等腰三角形顶角的中线可平分周长。 易错点4：边角关系乱用 ❌ 错误：不同三角形中套用“大边对大角”。 ✅ 纠正：仅适用于同一个三角形，不同三角形边长与角度无直接对应关系。 易错点5：外角概念混淆 ❌ 错误：三角形外角等于任意两个内角和。 ✅ 纠正：外角只等于不相邻的两个内角和，排除相邻内角。 【题型一】三角形的识别与有关概念 【例1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a____b．（填“”、“”或“”） 【题型二】三角形的个数问题 【例2】．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【变式2】．（25-26八年级上·江苏溧阳·阶段检测）图中，三角形的个数为___________个． 【变式3】．如图，中，，于，则图中共有______个直角三角形． 【题型三】构成三角形的条件 【例3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2 ，3 C．1，4，7 D．2，3，4 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．1,  2,  4 B．2， 3， 6 C．8， 6， 4 D．12， 6， 5 【变式2】．下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 【题型四】确定第三边的取值范围 【例4】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）三角形的两边长分别为3和6，若第三条边的长为，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5】．（25-26八年级上·江苏·期末）三角形的三边长分别为3、4、x，则x的取值范围是________． 【例6】．若三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 【变式2】．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【变式3】．已知三角形的三边分别为，和． (1)求a的取值范围； (2)若a为小于8的偶数，求该三角形的周长． 【题型五】三角形三边关系的应用 【例7】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则第三边长是（    ） A．3或4或5 B．3 C．4 D．5 【例8】．已知三角形的两边长分别为3和5，第三条边为偶数，则三角形的周长为______． 【例9】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【变式1】．（2024八年级上·江苏徐州·专题练习）有、和的小棒各两根，选其中的三根围一个三角形，周长最短是（    ）cm A．13 B．17 C．25 D．37 【变式2】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若长度分别为3，7，a的三条线段能组成一个三角形，则偶数a的值可以是______．（写出一个即可） 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【题型六】大（小）边对大（小）角定理 【例10】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【例11】．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【例12】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【题型七】根据三角形中线求长度 【例13】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，将纸片折叠，使点、重合，折痕与分别交于点、点，连接，则下列是的中线的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【例14】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的中线，是的中线，若，则____ ． 【例15】．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【变式1】．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】___________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长1，若． (1)求的长； (2)求的周长． 【题型八】根据三角形中线求面积 【例16】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，是的中线，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式1】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【题型九】三角形角平分线的定义 【例17】．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【例18】．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使点与点重合，则图中的周长为_________． 【变式1】．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 【变式2】．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【题型十】画三角形的高 【例19】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【例20】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹） 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式2】．如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【变式3】．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【题型十一】与三角形的高有关的计算问题 【例21】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例22】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，，则的面积为_______． 【例23】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的高线，是中点，连接交于点O． (1)若的周长为，求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点A到的距离． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024八年级上·江苏·期末）如图，在中，，平分，交于点D．若，且，则与的面积比为_______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，与中，与相交于． (1)△的边上的高是 (2)若，，，求的面积及的长． 1. 两大核心关系：三角形三边不等关系（判定构成、求边长范围）、同三角形边角对应关系（大边对大角），是本章计算与判定的基础。 2. 三种重要线段：高、中线、角平分线，牢记定义、位置特征及专属性质（中线分面积、高垂直对边、角平分线分内角），区分不同三角形中高的位置差异。 3. 角度核心公式：内角和180°、外角性质、直角三角形锐角互余，是角度计算的核心依据。 4. 基础特性：三角形具有稳定性，区别于四边形的不稳定性，常用于实际应用题型。 5. 解题关键：审题区分线段类型、严格遵循三边关系、规避概念混淆误区，所有性质均仅限同一个三角形使用。 一、单选题 1．如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 2．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 5．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为______． 7．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 8．如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是10，则的面积是________． 9．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 10．如图，三角形中，，，，．若将三角形沿射线方向平移得到三角形，与相交于点G，连接．则与的位置关系是________；若三角形与三角形的面积相差，则________． 三、解答题 11．如图，在中，点在边上，求证：． 12．如图，已知，分别是的高和中线，，，求：的面积． 13．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 14．如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 15．已知，，是的三边． (1)化简． (2)若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长． 16．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 17．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角形中的线段和角（核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】三角形的基本定义与分类 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。三角形有3个顶点、3条边、3个内角。 2. 分类（两种标准） （1）按边的长短分类： 不等边三角形：三条边长度都不相等 等腰三角形：至少两条边相等（包含等边三角形） 等边三角形：三条边都相等（特殊的等腰三角形） （2）按内角大小分类： 锐角三角形：三个内角都是锐角（均小于90°） 直角三角形：有一个内角是直角（等于90°），两个锐角互余 钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°） 【知识点02】三角形三边关系（核心考点） 1. 基本性质 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 2. 快速判定技巧：判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和大于最长边即可，无需逐一验证三组关系。 3. 取值范围公式：若三角形两边长为a、b（a＞b），则第三边c的取值范围： 4. 边角对应关系：同一个三角形中，大边对大角，大角对大边，即边长越长，所对的内角越大，反之亦然。 【知识点02】三角形的三种重要线段（重点） 三角形的高、中线、角平分线均为线段，且都有3条，所在直线均交于一点。 1. 三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 位置规律： 锐角三角形：三条高都在三角形内部，交点在三角形内 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部，交点为直角顶点 钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条高在三角形外部，交点在三角形外 2. 三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这条边上的中线。 核心性质： 三条中线均在三角形内部，交点为重心 中线平分三角形面积：一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形 3. 三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 核心性质：三条角平分线均在三角形内部，交点为内心，且平分对应内角。 易错点1：三边关系判定误区 ❌ 错误认知：只要任意两边之和大于第三边即可随意取值，或只验证一组两边和。 ✅ 正确结论：只需验证最短两边之和＞最长边；求第三边范围时，必须同时满足两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，避免漏范围。 例：3cm、4cm、7cm线段，3+4=7，不满足“大于”，不能组成三角形（等于时无法构成封闭三角形）。 易错点2：混淆三种线段的概念 ❌ 错误1：将三角形的高、角平分线当成直线或射线。 ✅ 纠正：三者都是线段，有两个端点，长度有限。 ❌ 错误2：认为所有三角形的高都在内部。 ✅ 纠正：钝角三角形两条高在外部，直角三角形两条高与直角边重合。 易错点3：中线性质理解偏差 ❌ 错误：中线平分三角形的周长。 ✅ 纠正：三角形中线只平分面积，不平分周长，只有等腰三角形顶角的中线可平分周长。 易错点4：边角关系乱用 ❌ 错误：不同三角形中套用“大边对大角”。 ✅ 纠正：仅适用于同一个三角形，不同三角形边长与角度无直接对应关系。 易错点5：外角概念混淆 ❌ 错误：三角形外角等于任意两个内角和。 ✅ 纠正：外角只等于不相邻的两个内角和，排除相邻内角。 【题型一】三角形的识别与有关概念 【例1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 【变式1】．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a____b．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的边角关系． 根据“大角对大边，小角对小边”作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【题型二】三角形的个数问题 【例2】．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏溧阳·阶段检测）图中，三角形的个数为___________个． 【答案】3 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念数出三角形的个数即可得解． 【详解】解：三角形的个数为3个， 故答案为：3． 【变式3】．如图，中，，于，则图中共有______个直角三角形． 【答案】3 【知识点】三角形的个数问题 【分析】此题考查直角三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理． 根据直角三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴直角三角形有，共3个直角三角形． 故答案为：3． 【题型三】构成三角形的条件 【例3】．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2 ，3 C．1，4，7 D．2，3，4 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判定三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形． B、∵，∴不能组成三角形． C、∵，∴不能组成三角形． D、∵，∴能组成三角形． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．1,  2,  4 B．2， 3， 6 C．8， 6， 4 D．12， 6， 5 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．判断时，只需验证两条较短边的和是否大于最长边． 【详解】解：A．∵, ∴不能组成三角形． B． ∵, ∴不能组成三角形． C． ∵, ∴能组成三角形． D． ∵, ∴不能组成三角形． 故选C 【变式2】．下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中______能摆成三角形（只填序号即可）． 【答案】①④/④① 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：①∵，∴，，能摆成三角形； ②∵，∴，，不能摆成三角形； ③∵，∴，，不能摆成三角形； ④∵，∴，，能摆成三角形． 故答案为：①④． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 【答案】5（答案不唯一） 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可知： ， 即， 则第三边可以是5， 故答案为：5． 【题型四】确定第三边的取值范围 【例4】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）三角形的两边长分别为3和6，若第三条边的长为，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再结合选项选出符合条件的数值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和6，第三边长为， ∴根据三角形三边关系，得， 即， ∵选项中只有4满足， ∴的值可能是4， 故选：D 【例5】．（25-26八年级上·江苏·期末）三角形的三边长分别为3、4、x，则x的取值范围是________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系． 根据两边之和大于第三边与两边之差小于第三边求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得， 即． 故答案为：． 【例6】．若三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得， ∴第三边的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其他两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∴． ∴B、C两点间的距离可能是． 故选：D． 【变式2】．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 【变式3】．已知三角形的三边分别为，和． (1)求a的取值范围； (2)若a为小于8的偶数，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系． （1）根据第三边大于已知两边的差，小于已知两边的和求解即可； （2）根据第三边的取值范围确定三角形的另一边，进而求出周长． 【详解】（1）解：∵两边为和， ∴， 解得； （2）解：∵，a为小于8的偶数， 当时，该三角形周长为． 【题型五】三角形三边关系的应用 【例7】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则第三边长是（    ） A．3或4或5 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形的三边关系；设第三边长是，根据三角形的三边关系得到，再结合第三边长为整数，即可求出． 【详解】解：设第三边长是， ∵三角形的两边长分别为1和4， ∴， 即， ∵第三边长为整数， ∴， 故选：C． 【例8】．已知三角形的两边长分别为3和5，第三条边为偶数，则三角形的周长为______． 【答案】12或14 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】设三角形第三边长为，由三角形三边关系定理得到，因此，由三角形第三边为偶数，得到，或即可求出该三角形周长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ， ， 第三边为偶数， ，或 该三角形周长为，或 故答案：12或14． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 【例9】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用． 根据“三角形两边之和大于第三边”得到、，相加得到，减去得到，根据即可证明． 【详解】证明：如图，延长交于点D． 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”有， 因为， 所以①， 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有②， 将①和②相加，得：， 两边同时减去，得：， 因为， 所以．即． 【变式1】．（2024八年级上·江苏徐州·专题练习）有、和的小棒各两根，选其中的三根围一个三角形，周长最短是（    ）cm A．13 B．17 C．25 D．37 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，得出围成三角形的方案有①3、7、7，②7、15、15，③3、15、15三种；进而可以得出选用3，7，7的周长最短，进而计算得出结论． 【详解】解：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，得出围成三角形的有： ①（厘米） ②（厘米） ③（厘米） ∵， 所以，周长最短是17厘米, 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若长度分别为3，7，a的三条线段能组成一个三角形，则偶数a的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】6（或8） 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围，再选择偶数即可． 【详解】解：因为长度分别为3，7，a的三条线段能组成一个三角形， 所以根据三角形三边关系， 得， 即． 因为a是偶数， 所以a可以是6或8． 故答案为：6（或8）． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【答案】直接应用：见解析；深化应用：见解析；拓展应用： 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理： 直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②， 利用即可推出； 拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【详解】解：[直接应用]：由三角形三边关系得，， ∴，即； [深化应用]：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴， 即； [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴, 得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型六】大（小）边对大（小）角定理 【例10】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 【例11】．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 【例12】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、对顶角相等 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， ， （在三角形中，大边对大角）， （对顶角相等）， ， ， ， （在三角形中，大角对大边）． 【题型七】根据三角形中线求长度 【例13】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，将纸片折叠，使点、重合，折痕与分别交于点、点，连接，则下列是的中线的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质及三角形的中线的定义，熟练掌握折叠的性质及三角形的中线的定义是解题的关键；由折叠的性质可知，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，即点D为线段的中点， ∴线段是的中线； 故选A． 【例14】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的中线，是的中线，若，则____ ． 【答案】12 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．根据三角形中线的定义得出，，即可求解． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中线， 故答案为：12． 【例15】．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【变式1】．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】___________． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形中线，掌握相关知识是解决问题的关键．利用中线的性质将的周长与的周长差转化为与长度差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长长， ∴ ． 故答案为：3． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长1，若． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1)； (2)15 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． (1)根据三角形的中线的定义直接求解即可； (2)先根据的周长比的周长长1，得到，即可求解，继而可求解周长． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点E，F分别为的中点． ∵， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长1， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的周长为． 【题型八】根据三角形中线求面积 【例16】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，是的中线，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线定理． 根据三角形的中线得出相等的边，然后根据等底同高得出三角形面积的关系． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，，则可证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 【答案】15 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键． 根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，即可解答． 【详解】解：∵为中点，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵点F为边的中点， ∴ ∴阴影部分的面积为． 故答案为：15． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【知识点】根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 【题型九】三角形角平分线的定义 【例17】．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【例18】．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使点与点重合，则图中的周长为_________． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、利用平移的性质求解 【分析】连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中的周长就是边的长． 【详解】解：连接、， 点为的角平分线的交点 平分， ， 由平移得：， ， ， ， 同理可得：， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 【变式1】．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 【答案】/度 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个． 【答案】3/三 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 【详解】证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 【题型十】画三角形的高 【例19】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了作图-基本作图．根据三角形高的定义即可得出结论． 【详解】解：边上的高垂直于，且过点， 由图形可得，选项A、C、D三角板的摆放位置不正确，选项B三角板的摆放位置正确， 故选：B． 【例20】．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹） 【答案】 解：和即为所求． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、画三角形的高 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，高的尺规作图，掌握作线段的垂线，角平分线的作图是解题的关键．根据高、角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】略 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高． 根据图示，线段的所对顶点为，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边所在直线作一条垂线段，”即可求解． 【详解】解：线段的所对顶点为， ∴线段是边上的高， 故选：C ． 【变式2】．如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题考查了作三角形的中线和高线，以及三角形的面积计算，清楚三角形的中线可以等分面积是解题的关键．（1）根据三角形的中线和高线的概念作出图形即可；（2）先求出的面积，然后根据是的中线，可以等分面积，即可获解． 【详解】（1）解：如图，高和中线即为所求； （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为． 【变式3】．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 【题型十一】与三角形的高有关的计算问题 【例21】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 【例22】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，，则的面积为_______． 【答案】15 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形面积计算，根据三角形中线求三角形面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键．先根据三角形面积公式求出的面积，然后根据三角形中线求出三角形的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 的面积为15． 故答案为：15． 【例23】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的高线，是中点，连接交于点O． (1)若的周长为，求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点A到的距离． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的高线、三角形的面积等知识点，灵活运用等面积法求三角形的高是解题的关键． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，然后再求即可； （2）直接运用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵是中点， ∴， ， ∴， ， ∴的周长． （2）解：如图：过A作于M， ， ∴，解得：． ∴点A到的距离． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了利用三角形的面积法求比的问题，记住在三角形的三种重要的线段中，中线起到了平分面积的作用． 根据三角形的中线将三角形的面积等分，再利用，得出与的长度之比为． 【详解】解： ，， ， 在中，是边上的中线， 与的面积相等． ． ， ． ． ． ． 故选：C． 【变式2】．（2024八年级上·江苏·期末）如图，在中，，平分，交于点D．若，且，则与的面积比为_______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形的面积与边长之间的关系问题，解题的关键是灵活运用三角形的面积公式来分析、判断、推理或解答．证明与的面积比，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴为、的公共高， ∴与的面积比， ∵，， ∴， ∴与的面积比． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，与中，与相交于． (1)△的边上的高是 (2)若，，，求的面积及的长． 【答案】(1) (2)的面积为8， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ∴的边上的高是； （2）∵在中，，，， ∴的面积； ∵ ∴，即 ∴． 1. 两大核心关系：三角形三边不等关系（判定构成、求边长范围）、同三角形边角对应关系（大边对大角），是本章计算与判定的基础。 2. 三种重要线段：高、中线、角平分线，牢记定义、位置特征及专属性质（中线分面积、高垂直对边、角平分线分内角），区分不同三角形中高的位置差异。 3. 角度核心公式：内角和180°、外角性质、直角三角形锐角互余，是角度计算的核心依据。 4. 基础特性：三角形具有稳定性，区别于四边形的不稳定性，常用于实际应用题型。 5. 解题关键：审题区分线段类型、严格遵循三边关系、规避概念混淆误区，所有性质均仅限同一个三角形使用。 一、单选题 1．如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入 即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ 是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 2．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 4．由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 ， ∴ 即 化简得 观察选项，只有在此范围内， 故选C． 5．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 二、填空题 6．已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据等腰三角形两腰相等的性质，分第三边长为和两种情况讨论，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行验证，进而确定第三边的长度． 【详解】解：若第三边长为，则三边分别为，，，，，，能构成三角形； 若第三边长为，则三边分别为，，，，，，能构成三角形． 故第三边长为或． 故答案为：或． 7．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 8．如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是10，则的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：． 9．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 【答案】角平分线、高线、中线 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的角平分线、高线、中线等知识点，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义逐个图形分析即可解答． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故答案为：角平分线、高线、中线． 10．如图，三角形中，，，，．若将三角形沿射线方向平移得到三角形，与相交于点G，连接．则与的位置关系是________；若三角形与三角形的面积相差，则________． 【答案】 且 【分析】本题考查了图形的平移性质，三角形面积计算及通过面积差建立方程．根据平移后对应线段平行且相等即可判定与的位置关系，再利用“等面积法”求出平行线间的距离，通过面积差建立方程求解平移距离x的值． 【详解】解：由题意知，三角形在向右平移的过程中，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F， 此时原来的点与其对应点平移的距离均相等， ∴， ∵和是对应点所连的线段，根据平移性质“对应点所连线段平行且相等”，可得， 由平移的性质知，设，则， ∵在平移过程中，点C到的距离与点F到的距离保持不变且相等， 即与间的距离相等， 又∵，，， ∴点C到的距离为， 设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为， ∴， 由三角形与四边形的面积之和为四边形的面积以及四边形与三角形的面积之和为三角形， 得，， ∴， 将代入，得， ∴，即， 解得， 故答案为：且，． 三、解答题 11．如图，在中，点在边上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，根据三角形中，任意两边之和大于第三边可得，进而得到，即可证明结论． 【详解】证明：在中，（三角形两边之和大于第三边）， ∴（不等式的性质）， ∴． 12．如图，已知，分别是的高和中线，，，求：的面积． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 根据三角形的中线得到，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：∵分别是的高线和中线，， ∴， ∴． 13．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据中线的定义得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵为的角平分线，， ∴； （2）解：∵为的中线，， ∴， 设点A到边的距离为， ∵， ∴， 解得， ∴点A到边的距离为6． 14．如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 【答案】，，， ，，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵平分，平分（已知） ∴，， ∵（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，，，，，，，同位角相等，两直线平行． 15．已知，，是的三边． (1)化简． (2)若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边， ∴， ∴ ， ； （2）解：解方程组，得， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为奇数， ∴， ∴这个三角形的周长为． 16．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12， 理由如下：假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为， 此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）略 17．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $