专题06 因式分解（竞赛培优专项训练）八年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦因式分解竞赛突破，构建“基础方法-综合应用-竞赛拓展”三阶训练体系，融合抽象能力与几何直观，提炼公式法、配方法等可迁移解题策略。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |提公因式/公式法|7题型（每题3-4题）|提公因式步骤化、公式特征判断|从单一方法到多法综合，建立概念生成链条| |综合应用|含阅读探究题|配方法、分组分解、几何建模|衔接代数变形与几何直观，培养推理意识| |竞赛真题|12道精选试题|创新题型解题策略|对接竞赛命题趋势，发展创新意识|

专题06 因式分解 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01提公因式分解因式 题型02判断能否用公式法分解因式 题型03用平方差公式分解因式 题型04用完全平方公式分解因式 题型05综合运用公式法分解因式 题型06用因式分解进行简便计算 题型07因式分解的应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 提公因式分解因式 1．因式分解：________． 2．因式分解：_______． 3．计算的值是 __________ ． 4．将因式分解，应提取的公因式是_______． 考点二 判断能否用公式法分解因式 1．下列式子能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 4．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 考点三 用平方差公式分解因式 1．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 2．因式分解：____________________． 3．若，，则__________． 4．解答下列各题： (1)初步探究：能被67整除吗？请你说明理由． (2)迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？ 考点四 用完全平方公式分解因式 1．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．分解因式：______． 3．因式分解：________． 4．先化简，再求值：，其中x，y的值满足 考点五 综合运用公式法分解因式 1．【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 2．阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 3．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 4．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 考点六 用因式分解进行简便计算 1．结果为（     ） A． B． C． D． 2．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 3．______． 4．利用因式分解计算： (1)； (2)． 考点七 因式分解的应用 1．能被下列哪个数整除（     ） A．7 B．8 C．10 D．11 2．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形（如图2所示）． (1)通过观察比较图1与图2中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________； (2)已知：，，求的值； (3)计算：． 3．如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为______； (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含x，y的代数式表示，； ②若，求的值． 4．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 1．（2024七年级·山东·竞赛）已知，，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·广东梅州·竞赛）已知，则_______． 3．（九年级上·上海奉贤·竞赛）已知，，为正数，且，则的值为_______； 4．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）已知，，则的值为_________． 5．（八年级上·江苏泰州·竞赛）若三个质数x，y，z使成立，则的值是______． 6．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知：，则_____． 7．（八年级上·广东肇庆·竞赛）计算：______． 8．（八年级·湖南长沙·竞赛）分解因式： (1) (2) 9．（七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 10．（八年级·湖南长沙·竞赛）求证：多项式的值一定是非负数． 11．（八年级·湖南长沙·竞赛）设三个正数、、满足，求证：、、一定是某个三角形三边的长． 12．（2023七年级·全国·竞赛）任意一个正整数都可以分解为两个正整数的乘积：（是正整数，且），在的所有这种分解中，当最小时，称是的最佳分解，并规定：．例如：3的最佳分解是，，的最佳分解是，． (1)直接写出：___________；___________；___________； (2)如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到新的两位数记为，且． ①求出正整数的值； ②我们称数与互为一对“吉祥数”，直接写出所有“吉祥数”中的最大值； (3)在（2）条件下，在“吉祥数”的中间再插入另一个“吉祥数”组成一个四位数，再在“吉祥数”中间插入“吉祥数”（与互为一对“吉祥数”），又得到一个新的四位数，请用字母表示四位数，并求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因式分解 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01提公因式分解因式 题型02判断能否用公式法分解因式 题型03用平方差公式分解因式 题型04用完全平方公式分解因式 题型05综合运用公式法分解因式 题型06用因式分解进行简便计算 题型07因式分解的应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 提公因式分解因式 1．因式分解：________． 【答案】 【详解】解： 2．因式分解：_______． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算的值是 __________ ． 【答案】 【点睛】解：∵， ∴原式 ． 4．将因式分解，应提取的公因式是_______． 【答案】（此处答，也可） 【详解】解： ， ∴将因式分解，应提取的公因式是． 考点二 判断能否用公式法分解因式 1．下列式子能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，因此A错误； B、，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，因此B错误； C、符合两个平方项差的形式，可分解为，能用平方差公式因式分解，因此C正确； D、，本质为两个平方项和的相反数，不符合要求，因此D错误． 2．下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，能用平方差公式分解，故不符合题意； B、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； C、不能用公式法分解，符合题意； D、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； 故选：C． 3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 4．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 考点三 用平方差公式分解因式 1．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 2．因式分解：____________________． 【答案】 【详解】解： ． 3．若，，则__________． 【答案】 【详解】解：； ∵， ， 解得， 则． 4．解答下列各题： (1)初步探究：能被67整除吗？请你说明理由． (2)迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？ 【详解】(1)能被67整除， 理由：， ∴能被67整除； (2)能被三个连续的整数整除 理由：， ∵为大于1的整数， ∴、n、是连续的整数， ∴能被三个连续的整数整除． 考点四 用完全平方公式分解因式 1．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 2．分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 3．因式分解：________． 【答案】 【详解】解：原式 4．先化简，再求值：，其中x，y的值满足 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ； 对变形得： 即 由平方的非负性得 ， 解得， 将，代入得 原式． 考点五 综合运用公式法分解因式 1．【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用．它们不仅可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解． (1)因式分解：__________，__________； (2)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：__________； (3)参考上面方法，分解因式：． 【答案】(1)，；(2)16；(3) 【详解】（1）解：； （2）解：根据完全平方公式可知：是一个完全平方式； （3）解：原式 ． 2．阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1)；(2)；(3)12 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， 即多项式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴的周长为． 3．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1)；(2)（答案不唯一）；见解析；(3) 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 4．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； ， ， ， ∴原式． 考点六 用因式分解进行简便计算 1．结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 2．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， ． 3．______． 【答案】2025 【详解】解： ． 4．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点七 因式分解的应用 1．能被下列哪个数整除（     ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【详解】解： ， 原式能被整除． 2．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形（如图2所示）． (1)通过观察比较图1与图2中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________； (2)已知：，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)；(2)4；(3)394 【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为， ∴可以得到乘法公式为； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴ ∵， ∴， 即； （3）解： ． 3．如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为______； (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含x，y的代数式表示，； ②若，求的值． 【答案】(1)；(2)①，；②1 【详解】（1）解：∵最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积， ∴， ∴， ∴代数式可因式分解为； （2）解：①由题意得，，； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1)；(2)多项式的最大值为；(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴， 当时，有最大值； （3）解： ， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 1．（2024七年级·山东·竞赛）已知，，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2024八年级下·广东梅州·竞赛）已知，则_______． 【答案】 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（九年级上·上海奉贤·竞赛）已知，，为正数，且，则的值为_______； 【答案】 【详解】解：， ， ∵， ， 同理可得：，， ，，为正数， ，，均为正数， 将三个等式左右分别相乘，得， 开平方得， 用该式分别除以上述三个乘积式，得，，， 即，，， 将代入，得． 4．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）已知，，则的值为_________． 【答案】0 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：0． 5．（八年级上·江苏泰州·竞赛）若三个质数x，y，z使成立，则的值是______． 【答案】21或26/26或21 【详解】解：∵11为质数， ∴x，y，z中，必有一个数为11，不妨设, ∴， 即， 分解因式得：， ∵x、y均为质数，设，则： ，解得，则； ，解得，则； ，解得（舍去）， ∴的值为21或26． 故答案为：21或26． 6．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知：，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 故答案为： ． 7．（八年级上·广东肇庆·竞赛）计算：______． 【答案】2019 【详解】解：.   ， 故答案为：． 8．（八年级·湖南长沙·竞赛）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 9．（七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 10．（八年级·湖南长沙·竞赛）求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】证明：∵ ，， ∴ 原式 ． 设， 则原式 ． ∵ 对任意实数，， ∴ 多项式的值一定是非负数． 11．（八年级·湖南长沙·竞赛）设三个正数、、满足，求证：、、一定是某个三角形三边的长． 【答案】证明： ∵ 展开左边并移项，得 对左边因式分解： ∴ ， ∵ 、、 均为正数， ∴ ， ∴ ， 若三个因式中存在两个负数，不妨设 ，， 两式相加得 ，即 ，与 是正数矛盾． 同理，任意两个因式为负均会推出某正数小于0，矛盾． ∴ 三个因式均为正，即 ，，， ∴、、 满足三角形三边关系，一定是某个三角形三边的长． 12．（2023七年级·全国·竞赛）任意一个正整数都可以分解为两个正整数的乘积：（是正整数，且），在的所有这种分解中，当最小时，称是的最佳分解，并规定：．例如：3的最佳分解是，，的最佳分解是，． (1)直接写出：___________；___________；___________； (2)如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到新的两位数记为，且． ①求出正整数的值； ②我们称数与互为一对“吉祥数”，直接写出所有“吉祥数”中的最大值； (3)在（2）条件下，在“吉祥数”的中间再插入另一个“吉祥数”组成一个四位数，再在“吉祥数”中间插入“吉祥数”（与互为一对“吉祥数”），又得到一个新的四位数，请用字母表示四位数，并求的值． 【答案】(1)，，；(2)①13，24，35，46，57，68，79；②；(3)，， 【详解】（1）解：∵， ∴；；． 故答案为：，，． （2）解：①设正整数的十位上的数字为x，个位上的数字为y， 则，即， 所以t的可能的值为13，24，35，46，57，68，79． ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以的最大值为． （3）解：设t的十位上的数字为a，个位上的数字为，设p的十位上的数字为b，个位上的数字为， ∴， ∴， ， ∴ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $