专题05 整式的乘法（竞赛培优专项训练）八年级数学全国通用

**基本信息** 以幂的运算为基础，通过逆向思维、几何直观等方法构建“概念-运算-公式-应用”逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同底数幂的乘法|4题|指数叠加法则|幂运算基础，推导后续公式| |幂的乘方与积的乘方|4题|逆向运用幂的法则|深化幂运算，衔接整式乘法| |整式的乘法|4题|多项式展开与合并|承上启下，为公式应用铺垫| |不含某项求字母值|4题|合并同类项后系数为0|整式乘法的进阶应用| |化简求值|4题|整体代入法|综合运算能力的体现| |面积问题|4题|公式几何意义验证|数形结合，强化应用意识| |平方差公式|4题|结构特征识别|特殊整式乘法的规律提炼| |完全平方公式|4题|配方与变形技巧|公式灵活应用，培养创新意识|

专题05 整式的乘法 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01同底数幂的乘法 题型02幂的乘方与积的乘方 题型03整式的乘法 题型04已知多项式的乘积不含某项求字母的值 题型05多项式的化简求值 题型06整式乘法中的面积问题 题型07平方差公式 题型08完全平方公式 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 同底数幂的乘法 1．若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．20 2．化简的结果是______________． 3．已知 则的值是__________． 4．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； 考点二 幂的乘方与积的乘方 1．已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 3．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 4．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 考点三 整式的乘法 1．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 2．若方程组的解为，则的值为________． 3．已知与的积与是同类项．求的值． 4．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 考点四 已知多项式的乘积不含某项求字母的值 1．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 2．若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为_______． 3．若的乘积中不含 与 项，求的值． 4．若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 考点五 多项式的化简求值 1．已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 2．若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 3．先化简，再求值：，其中x与y满足． 4．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 考点六 整式乘法中的面积问题 1．如图，将图1中两个边长分别为，的正方形按如图2所示放置在长方形内（正方形两邻边与长方形两邻边重合）．若，长方形与重叠部分面积之差为，则下列各个量为定值的是（     ） A．长方形的面积 B．长方形的周长 C．的值 D．重叠部分周长 2．如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 3．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 4．如图1，长方形的两边长分别为，；如图2的长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)计算两个长方形的面积的差，即的值； (2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与该长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． (3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于，之间（不包括，）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． 考点七 平方差公式 1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 2．代数式的末尾数字是________． 3．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：，，则8与24都是奇妙数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼接到正方形的边长为79，则阴影部分的面积为_________． 4．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 考点八 完全平方公式 1．如图，某校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)用含，的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）． (2)当，时，求绿化部分的面积． 2．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以， 所以，， 得， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 3．我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)【算法赏析】：若满足，求的值． 解：设，，则， …… 请继续完成计算． (2)【算法体验】：若满足，求的值； (3)【算法应用】：如图，已知数轴上、、表示的数分别是、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为137，求长方形的面积． 4．【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 1．（2024七年级下·云南保山·竞赛）计算等于（     ） A． B． C． D． 2．（八年级下·甘肃平凉·竞赛）计算的值是（     ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·云南保山·竞赛）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．（七年级下·安徽合肥·竞赛）若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 5．（八年级上·安徽芜湖·竞赛）a取任意实数，则式子的最小值是_____． 6．（八年级上·云南保山·竞赛）计算：________． 7．（2023七年级下·湖南长沙·竞赛）已知实数、、、满足，，则________． 8．（七年级下·湖南长沙·竞赛）计算__________． 9．（2023八年级上·云南保山·竞赛）已知：，求的值 10．（2024八年级上·河南南阳·竞赛）计算： (1)； (2)． 11．（八年级上·云南保山·竞赛）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求的值． 12．（2022八年级上·江西赣州·竞赛）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01同底数幂的乘法 题型02幂的乘方与积的乘方 题型03整式的乘法 题型04已知多项式的乘积不含某项求字母的值 题型05多项式的化简求值 题型06整式乘法中的面积问题 题型07平方差公式 题型08完全平方公式 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 同底数幂的乘法 1．若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．20 【答案】C 【详解】解：∵根据同底数幂的乘法法则，逆用可得 ， 又∵，， ∴. 2．化简的结果是______________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．已知 则的值是__________． 【答案】 【详解】解：由题意得 ，， ∴． 4．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵，．， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 解得． 考点二 幂的乘方与积的乘方 1．已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，，， ① 比较和：底数，指数，∴ ； ② 比较和：，同指数，底数，∴ ，即； ③ 比较和：，， ∵ ，∴ ，即； 综上可得 ，故选C． 2．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 3．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：． （2）解： ，且， ， ， ． （3）解： ，，，且， ， 即． 4．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；②；(2) 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 考点三 整式的乘法 1．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 2．若方程组的解为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：把代入得，， 由得，， 由得，， 得，，即， ∴． 3．已知与的积与是同类项．求的值． 【答案】7 【详解】解：， ∵与是同类项， ∴，解得：， ∴． 4．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， ∴，， ∴，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， ∴原式． 考点四 已知多项式的乘积不含某项求字母的值 1．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【答案】－3 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 2．若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为_______． 【答案】 【详解】解：，解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴ ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得：， 又∵，且其结果不含二次项， ∴的系数为零 ∴ ∴ 解得：或 又∵ ∴， 故答案为：． 3．若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【详解】解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 4．若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，；(2) 【详解】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 考点五 多项式的化简求值 1．已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 【答案】B 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 2．若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 3．先化简，再求值：，其中x与y满足． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵，且， ∴， ∴， ∴原式． 4．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解： ， ∵代数式中不含的一次项， ， ． （3）解：， ， ， 原式． 考点六 整式乘法中的面积问题 1．如图，将图1中两个边长分别为，的正方形按如图2所示放置在长方形内（正方形两邻边与长方形两邻边重合）．若，长方形与重叠部分面积之差为，则下列各个量为定值的是（     ） A．长方形的面积 B．长方形的周长 C．的值 D．重叠部分周长 【答案】D 【详解】解：设重叠部分的长和宽分别为、， 由题意得，， 又长方形与重叠部分面积之差为， ， 整理得， ， ， ，即重叠部分周长为，为定值，即D选项符合题意， 长方形的面积为， 、非定值， 非定值， 长方形的面积非定值，即A选项不符合题意； 长方形的周长为， 长方形的周长非定值，即B选项不符合题意； 由于，故、有多种取值的可能，如：，，；，，；故的值非定值，即C选项不符合题意． 2．如图1是一张周长为的大长方形纸片和两张周长为的正方形纸片．将这两张正方形纸片按照图2所示的方法放置于大长方形纸片上面，记三张纸片的重叠部分（深色阴影部分）的面积为，大长方形纸片中未被两张正方形纸片覆盖到的部分（空白部分）的面积之和为．若，则与的数量关系为_________． 【答案】 【详解】解：∵正方形纸片周长为， ∴正方形纸片边长为， 设长方形纸片长为，宽为， ∴，， 即，， ∵， ∴，即， ∵长方形纸片周长为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】36 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 4．如图1，长方形的两边长分别为，；如图2的长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)计算两个长方形的面积的差，即的值； (2)现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与该长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． (3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于，之间（不包括，）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． 【答案】(1)；(2)是，；(3) 【详解】（1）解：∵， ， ∴； （2）解：∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， ∴， ∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数； （3）解：由（1）得，， ∵m为正整数， ∴为整数，且， 则之间不含端点的整数个数为：， ∴ ∴． 考点七 平方差公式 1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 【答案】B 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，为正整数， 由平方差公式得：， 即“美好数”可表示为， 由题意得：， 解得， 为正整数， 的最大值为， 最大的对应奇数为， 所有“美好数”之和为． 2．代数式的末尾数字是________． 【答案】0 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 3．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：，，则8与24都是奇妙数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼接到正方形的边长为79，则阴影部分的面积为_________． 【答案】3200 【详解】解：根据题意，第1个阴影部分的面积为， 第2个阴影部分的面积为， 第3个阴影部分的面积为， 第4个阴影部分的面积为，， 最后一个阴影部分的面积为，因此这是第20个阴影部分， 所有阴影部分的面积为：． 故答案为：3200． 4．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个选项） A．        B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B；(2)；(3) 【详解】（1）解：边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； ∴验证的等式是： 故选：B． （2）解：∵ ∴当，时， 解得：． （3）解： ． 考点八 完全平方公式 1．如图，某校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)用含，的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）． (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)；(2)167平方米 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）； （2）解：当，时，（平方米）． 2．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以， 所以，， 得， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， 阴影部分的面积． 3．我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)【算法赏析】：若满足，求的值． 解：设，，则， …… 请继续完成计算． (2)【算法体验】：若满足，求的值； (3)【算法应用】：如图，已知数轴上、、表示的数分别是、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为137，求长方形的面积． 【答案】(1)12；(2)1260；(3)64 【详解】（1）解：设，， 则，， ； （2）解：设，， 则，， ； （3）解：正方形的边长为，面积为， 正方形的边长为，面积为， 则有， 设，， 则，， 所以长方形的面积为：． 4．【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 【答案】(1)①;②；(2)49；(3)61；(4)19 【详解】（1）解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： . ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： . （2）解：． （3）解： ． （4）解：， ， ∴ 1．（2024七年级下·云南保山·竞赛）计算等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．（八年级下·甘肃平凉·竞赛）计算的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（2024八年级上·云南保山·竞赛）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 4．（七年级下·安徽合肥·竞赛）若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 5．（八年级上·安徽芜湖·竞赛）a取任意实数，则式子的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的最小值是． 6．（八年级上·云南保山·竞赛）计算：________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 7．（2023七年级下·湖南长沙·竞赛）已知实数、、、满足，，则________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ． 8．（七年级下·湖南长沙·竞赛）计算__________． 【答案】 【详解】解：原式， ． 9．（2023八年级上·云南保山·竞赛）已知：，求的值 【答案】 【详解】解：已知 当时，方程左边为，因此 方程两边同时除以得 整理得 代入 得原式 10．（2024八年级上·河南南阳·竞赛）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4；(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（八年级上·云南保山·竞赛）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，求的值． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 12．（2022八年级上·江西赣州·竞赛）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)；(2)1 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $