专题04 轴对称（竞赛培优专项训练）八年级数学全国通用

**基本信息** 聚焦轴对称核心概念，通过8类竞赛题型构建从实际应用到几何推理的递进训练，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |台球桌面问题|4题|动态反射路径计算|轴对称性质→坐标变换→周期规律| |光线反射问题|4题|多镜面反射角度推导|反射定律→几何模型→角度关系证明| |折叠类问题|4题|多次折叠角度与线段关系|翻折对称性→全等转化→变量代换| |垂直平分线|4题|性质应用与最值求解|垂直平分线性质→线段和差→对称化归| |镜面对称|4题|镜像与实际图形对应|轴对称变换→镜像特征→空间想象| |坐标与轴对称|4题|坐标系中对称变换|坐标规律→图形变换→综合作图| |等腰三角形|4题|性质证明与计算|等边对等角→三线合一→全等构造| |等边三角形|4题|旋转与全等综合|特殊对称性→旋转不变性→多结论证明|

专题04 轴对称 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01台球桌面上的轴对称问题 题型02轴对称中的光线反射问题 题型03折叠类问题 题型04线段的垂直平分线 题型05镜面对称问题 题型06坐标与图形中的轴对称变化 题型07等腰三角形 题型08等边三角形 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 台球桌面上的轴对称问题 1．如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 根据题意得： 小球运动一周所走的路程， ∵小球以每秒个单位长度的速度运动， ∴小球运动一周所用的时间为：（秒）， ∴， ∴第2026秒的小球所在位置为点， ∴第2026秒时点P的坐标为． 故选：C． 2．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 3．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 4．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为， 如此重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 考点二 轴对称中的光线反射问题 1．如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作垂直垂足为点，过点作垂直垂足为点，两个垂线交于点， 由题意知：， ∵在中，， 则， ∴， 即， 又， ∴， 在中，． 2．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：对于A，由题可知，又， ，即，则，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，，即， ， （同旁内角互补，两直线平行），故B正确，不符合题意； 对于C， ， ，即，故C正确，不符合题意； 对于D，，又， ，同旁内角相等，不一定互补，则不一定平行，故D错误，符合题意． 3．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．【情景感知】在物理课上学习了光的反射定律后，数学老师结合光学现象提出了几何问题：光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等（如图中）．借助几何知识计算，我们能探究镜面夹角、入射光线与反射光线的位置和角度关系．已知镜子与的夹角，入射光线经镜面、反射后得到反射光线，请结合光的反射定律和几何知识解答问题． 【学以致用】（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． 【问题探究】（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过（为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．（可用含的代数式表示）． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴ ； （3）解：①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图所示： 根据三角形外角性质得，， ∵， ∴， 由，且由（1）的结论可得，， 则． 综上所述：γ的度数为或． 考点三 折叠类问题 1．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据折叠的性质得：、，， 在长方形中，， ， ， ， ， ． 2．如图，图1是一张足够长的纸条，其中，点E，F分别在，上，（）．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕……依次类推． （1）第1次折叠后，的度数为_______； （2）第n次折叠后，的度数为_______．（用含m和n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：（1）如图2， 由折叠可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）如图3， 同理可得， ， ……， ∴． 3．综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： (1)如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，试猜想与，之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： (2)如图②，若点落在四边形的边CD下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 【详解】(1)解：，理由如下： 如图①，连接， ∵将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置， ∴． ∵， ，即． (2)，理由如下： 如图②，设与交于点F， ∵， ， ∴． 4．在学习“5.1轴对称”一节时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕； 【操作2】点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处． 【任务】 (1)如图1，在操作2中，当点落在直线上时，猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若，在操作2中，当点不在线段上时，探究是否可以平分，若存在，求出此时的度数；若不存在，说明理由． (3)若，在操作2中，当点不在线段上时，探究能否刚好等于，若存在，求出此时的度数；若不存在，说明理由． 【详解】（1）(1)，  理由如下： 根据折叠可知，， ， ． ， ． ． （2）可以，设， 则根据折叠可知， 平分， ， ， ， 即， 解得， ， ． 答：存在，． （3）解：能，设，则 当点在外时，如图， ， ， 解得， 此时 ； 当点在内时，如图，， ， ， 解得， 此时． 的度数为或． 考点四 线段的垂直平分线 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 2．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 3．如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】2 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为， 为边的中点，， 垂直平分， ， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 4．如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，，       是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ，       ； （2）解：如图，连接，，     平分，，， ，       的垂直平分线交于点， ，       在和中， ， ，       ， 在和中， ， ，       ， ，， ， 即的长为． 考点五 镜面对称问题 1．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 2．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 3．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 4．一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【答案】小兰利用镜面对称（轴对称），将镜子放在如图位置，镜子中就会得到正确的等式，如图所示， 考点六 坐标与图形中的轴对称变化 1．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（   ）    A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】 解：∵点S与关于y轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)分别作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）和直线（直线上各点的纵坐标都为）对称的图形和； (2)在直线上确定一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【详解】（1）分别作出点A、B、C关于直线m的对称点、、，连接点、、，得到； 分别作出点A、B、C关于直线n的对称点、、，连接点、、，得到， 和 即为所求； 如图所示，和 即为所求； （2）如图所示，连接，交直线n 于点P，连接， 此时的周长最小， 理由如下：由（1）知，点B、关于直线n对称， ， ， 根据两点之间线段最短， 可知最小， ∴的周长最小． 3．在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线．若先将图形关于直线对称，再向下平移个单位长度，得到图形，则称图形是图形“关于的对称平移图形” (1)当时，若三个顶点的坐标分别是，，，记关于的对称平移图形为，在图中画出，并直接写出它的三个顶点的坐标； (2)记点关于的对称平移点为，若点始终在的垂直平分线上，试探究满足的数量关系． 【详解】（1）解：∵三个顶点的坐标分别是，，， ∴，，关于直线对称，再向下平移1个单位长度，得到， （2）解：∵关于直线对称的点为，再向下平移m个单位长度的点为， ∴， 过点G作轴于点D，过点H作轴于点E，连接， 则， ∵线段的垂直平分线过点O， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， 4．如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【详解】（1）解： 关于y轴的对称点的坐标为， ，， ，， ，， ，， ， 的面积为． （2）解：， 证明：作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 考点七 等腰三角形 1．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：和的平分线相交于点G， ，， ， ，， ，， ，， ，故①正确； 和的平分线相交于点G， ∴， ∵， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离等于点G到的距离，点G到的距离等于点G到的距离 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，且， ∴点G到各边的距离都为的长， ∵，， ，故⑤正确； 根据现有条件无法得到，故②错误； 综上所述，正确的有①④⑤，共3个． 2．如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【详解】（1）(1)证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． （3）这个命题不成立，理由如下： 如图，在和中，，，，无法判定和全等， ∴不能得到与相等． 3．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 【详解】（1）证明：如图，作于E，延长线于F， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； (2)证明：如图，连接， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点K作于M，于N． 由（2）知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴3， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴，， ， 又∵， ∴， ． （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为． （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴． 考点八 等边三角形 1．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 2．如图，，，，延长交于F，若，则________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图在中，，，P为的平分线与的平分线的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点D，作的平分线，交于点E， ∵，， ∴， ∵P为的平分线与的平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 4．按要求解题： (1)如图1，四边形中，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，四边形中，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论． (1)解：，证明如下： 如图，延长至，使，连接，， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2)解：，证明如下： 如图，在四边形外侧作等边三角形，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 延长至，使，连接，， 同（1）可得． 连接， （ⅰ）若满足题中条件的点P在上， 则， ∴， ∴； （ⅱ）若满足题中条件的点P不在上， 则， ∴， ∴； 综上，． 1．（2025八年级上·河北邢台·竞赛）如图，和关于直线对称，连接，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线l垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上 【答案】D 【详解】解：A、 和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、 和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、 和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 2．（2024七年级·山东潍坊·竞赛）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠压平，，为两条折痕，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，，则，，， 如图： 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（八年级上·云南保山·竞赛）已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 4．（2024八年级·湖南长沙·竞赛）如图，两外角平分线分别交所在的直线于点，且，则_____度． 【答案】12 【详解】解：设， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）在中，若，，分别是边，上的点，，，，则的度数是______． 【答案】/度 【详解】解：如图，延长到点，使，连接． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， 而， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．（2023八年级上·广东佛山·竞赛）如图，等腰三角形中，，是边上一点，，连接，那么的大小是___________． 【答案】30 【详解】解：以为一边在外侧作正三角形，连接， ，顶角， ∴， 是正三角形， ， ， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ，，， ， ∵，， ∴， ， ． 故答案为：30． 7．（2024八年级·贵州遵义·竞赛）如图，在四边形中，，，．证明：． 【答案】见解析 【详解】解：延长到点，使，连接． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴（）． ∴，． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 8．（八年级下·广东惠州·竞赛）如图，在中，，垂直平分． (1)求的度数； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ （2）过点B作于F， 则， ∵，， ∴， ∴的面积是． 9．（八年级上·江西赣州·竞赛）如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． （1）(1)证明：延长交于点H，如图所示， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 10．（七年级下·浙江宁波·竞赛）把一长方形（四个角为）纸片的一角折起来，折痕为，使，如图1． (1)求； (2)再沿对折长方形，使点落在点上，如图2．若，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵由折叠得到， 又， ∴， ∵， ∴． 11．（2024八年级上·江苏徐州·竞赛）如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)的值为或；(2)的值为5或20 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 当时，点在线段上（不含端点）， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴当，且为直角三角形时，的值为或； （2）当时，即在线段上（不含端点）， ∵，，， ∴当时，为等边三角形， ∴， 解得， 当时，即在线段上（含端点）， ∵为等边三角形， ∴， ∵在线段上（含端点）且，， ∴点与点重合， ∴， 综上所述，当为等边三角形时，的值为5或20． 12．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）如图，在等边中，点为直线上方的任意一点，且满足，连接，过点作于点，交射线于点． (1)点在如图所示的位置时， 若，求的度数； 无论的度数怎么变化，的度数是否保持不变？请说明理由； (2)请写出线段、、之间的数量关系，并给出证明． （1）解：为等边三角形， ， ， ． ， ， ， ； 无论的度数怎么变化，的度数等于，保持不变．理由： 设， 为等边三角形， ， ． ， ， ， ． 无论的度数怎么变化，的度数等于，保持不变． （2）解：线段、、之间的数量关系为：理由： 在上截取，连接，如图， 由知：， ， 为等边三角形， ． 为等边三角形， ， ． ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ． ． ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01台球桌面上的轴对称问题 题型02轴对称中的光线反射问题 题型03折叠类问题 题型04线段的垂直平分线 题型05镜面对称问题 题型06坐标与图形中的轴对称变化 题型07等腰三角形 题型08等边三角形 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 台球桌面上的轴对称问题 1．如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 3．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 4．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 考点二 轴对称中的光线反射问题 1．如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 4．【情景感知】在物理课上学习了光的反射定律后，数学老师结合光学现象提出了几何问题：光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等（如图中）．借助几何知识计算，我们能探究镜面夹角、入射光线与反射光线的位置和角度关系．已知镜子与的夹角，入射光线经镜面、反射后得到反射光线，请结合光的反射定律和几何知识解答问题． 【学以致用】（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． 【问题探究】（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过（为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．（可用含的代数式表示）． 考点三 折叠类问题 1．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，图1是一张足够长的纸条，其中，点E，F分别在，上，（）．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕……依次类推． （1）第1次折叠后，的度数为_______； （2）第n次折叠后，的度数为_______．（用含m和n的代数式表示） 3．综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： (1)如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，试猜想与，之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： (2)如图②，若点落在四边形的边CD下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 4．在学习“5.1轴对称”一节时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点落在点处，为折痕； 【操作2】点是线段上一点，角顶点沿线段折叠，点落在点处． 【任务】 (1)如图1，在操作2中，当点落在直线上时，猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若，在操作2中，当点不在线段上时，探究是否可以平分，若存在，求出此时的度数；若不存在，说明理由． (3)若，在操作2中，当点不在线段上时，探究能否刚好等于，若存在，求出此时的度数；若不存在，说明理由． 考点四 线段的垂直平分线 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 2．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 3．如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 4．如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 考点五 镜面对称问题 1．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 2．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 4．一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 考点六 坐标与图形中的轴对称变化 1．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（   ）    A． B． C．0 D．1 2．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)分别作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）和直线（直线上各点的纵坐标都为）对称的图形和； (2)在直线上确定一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 3．在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线．若先将图形关于直线对称，再向下平移个单位长度，得到图形，则称图形是图形“关于的对称平移图形” (1)当时，若三个顶点的坐标分别是，，，记关于的对称平移图形为，在图中画出，并直接写出它的三个顶点的坐标； (2)记点关于的对称平移点为，若点始终在的垂直平分线上，试探究满足的数量关系． 4．如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 考点七 等腰三角形 1．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 4．【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 考点八 等边三角形 1．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．如图，，，，延长交于F，若，则________． 3．如图在中，，，P为的平分线与的平分线的交点，求证：． 4．按要求解题： (1)如图1，四边形中，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，四边形中，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论． 1．（2025八年级上·河北邢台·竞赛）如图，和关于直线对称，连接，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线l垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上 2．（2024七年级·山东潍坊·竞赛）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠压平，，为两条折痕，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（八年级上·云南保山·竞赛）已知点与点关于轴对称，则________． 4．（2024八年级·湖南长沙·竞赛）如图，两外角平分线分别交所在的直线于点，且，则_____度． 5．（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）在中，若，，分别是边，上的点，，，，则的度数是______． 6．（2023八年级上·广东佛山·竞赛）如图，等腰三角形中，，是边上一点，，连接，那么的大小是___________． 7．（2024八年级·贵州遵义·竞赛）如图，在四边形中，，，．证明：． 8．（八年级下·广东惠州·竞赛）如图，在中，，垂直平分． (1)求的度数； (2)求的面积． 9．（八年级上·江西赣州·竞赛）如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（七年级下·浙江宁波·竞赛）把一长方形（四个角为）纸片的一角折起来，折痕为，使，如图1． (1)求； (2)再沿对折长方形，使点落在点上，如图2．若，求． 11．（2024八年级上·江苏徐州·竞赛）如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 12．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）如图，在等边中，点为直线上方的任意一点，且满足，连接，过点作于点，交射线于点． (1)点在如图所示的位置时， 若，求的度数； 无论的度数怎么变化，的度数是否保持不变？请说明理由； (2)请写出线段、、之间的数量关系，并给出证明． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $