29.2.1 垂直于弦的直径同步练习2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦垂径定理，通过基础辨析、能力应用到综合拓展的三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|垂径定理基本计算|单选1-3、填空6-7直接应用定理求半径、弦长，强化概念理解| |能力提升|垂径定理与勾股定理结合|单选4-5、填空8-12、解答题17融入坐标系、输油管等情境，提升运算与空间观念| |综合拓展|定理与圆性质、实际应用综合|复合题13-16涉及消防车转弯等跨学科问题，培养模型意识与综合推理能力|

29.2.1 垂直于弦的直径 一、单选题 1．如图所示，⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON垂直AB，垂足为N，则ON的长度为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 2．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（　　） A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm 3．如图，已知⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，若OD=3，OA=5，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0， 9），D（0，－1），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 5．如图，在⊙O中，AB是直径，OD⊥AC于点E，交⊙O于点D，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝CD B． C．BC＝2EO D．EO＝DE 二、填空题 6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为　 　． 7．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则的长为　 　． 8．如图，为的弦，，延长与相交于点，若，则的半径为　 　． 9．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为　 　 m． 10．如图是一个直径为10cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=8cm，则油面的深度为　 　. 11．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为　 　． 12．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为　 　． 三、复合题 13．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O ，OD交AC于点E ，． （1）求证： OD∥BC； （2）若，，求BC的长． 14．如图，在中，弦垂直平分半径． （1）求的度数； （2）若的半径为，求弦的长． 15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB． （1）若BE=8，求⊙O的半径 （2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长． 16．车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行使到和路的边界夹角是45°的位置(如图1中②的位置)，例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过. （1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯； （2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧(分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧)，具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值. 四、解答题 17．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=4 ，求⊙O的半径． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】垂径定理 【解析】【解答】解：由题意可得， 故答案为：B. 【分析】根据垂径定理得出AN=8，进而利用勾股定理即可算出ON的长. 2．【答案】C 【知识点】勾股定理；垂径定理 【解析】【解答】连接OA， ∵OD⊥AB， ∴AD= AB=4， 由勾股定理得，OA= =5， 故答案为：C. 【分析】连接OA，由垂径定理可得AD=BD=AB，然后用勾股定理可求得半径OA的值. 3．【答案】D 【知识点】勾股定理；垂径定理 【解析】【解答】解：根据勾股定理得 ， 根据垂径定理得AB=2AD=8。 故答案为：D。 【分析】首先根据勾股定理算出AD的长，进而根据垂径定理由AB=2AD得出答案。 4．【答案】C 【知识点】勾股定理；垂径定理 【解析】【解答】解：连接EB，如图所示： ∵C（0，9），D（0，﹣1）， ∴OD=1，OC=9，∴CD=10， ∴EB=ED= CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，∴AO=BO= AB，OB= =3， ∴AB=2OB=6； 故答案为：C. 【分析】连接EB，易得OD=1，OC=9，则CD=10，进而求出EB、OE的值，然后由勾股定理可得OB，进而根据垂径定理就可得到AB的值. 5．【答案】D 【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵AB是直径，OD⊥AC， ∴ ，AE＝CE，故B正确，不符合题意； ∴AD＝CD，故；A正确，不符合题意； ∵OA＝OB， ∴OE是△ABC的中位线， ∴BC＝2OE，故C正确，不符合题意； ∵只有当AD＝AO时，EO＝DE， ∴选项D错误，符合题意. 故答案为：D. 【分析】由垂径定理得出 ，AE＝CE，根据等弧所对的弦相等得出AD＝CD，进而可得出OE是△ABC的中位线，根据中位线的性质可得BC＝2OE；只有当AD＝AO时，EO＝DE，即可得出答案. 6．【答案】5 【知识点】勾股定理；垂径定理 【解析】【解答】解：连接OC， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE= CD= ×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5． 【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=DE= CD= ×6=3，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可建立方程，求解即可。 7．【答案】 【知识点】垂径定理 8．【答案】5 【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 9．【答案】4 【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用 【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB， ∴AD=8． ∴OD= =6m， ∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4（m）． 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解． 10．【答案】2cm 【知识点】勾股定理；垂径定理 【解析】【解答】过点O作OM⊥AB交AB与M，交弧AB于点E. 连接OA. 在Rt△OAM中， ∵OA=5m，AM= AB=4m. ∴OM= = =3m， ∴油的最大深度ME为5−3=2m. 故答案为2m. 【分析】本题是已知圆的直径，弦长求油的深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离，可以转化为求弦心距的问题，利用垂径定理得到OM= ，计算即可得到答案. 11．【答案】 cm 【知识点】垂径定理 【解析】【解答】根据题意获得下图： 设OB=r cm， ∵刻度尺的宽为2cm， ∴OC=r-2， ∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”， ∴BC= ×6=3， 在Rt△OBC中， ∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm． 故答案为 cm． 【分析】设OB=r cm，由于刻度尺的宽为2厘米，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，可求出BC的长，在Rt△OBC中，利用勾股定理列出方程即可求出r的值。 12．【答案】 【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 13．【答案】（1）证明：∵，OD是半径， ， 又， ， （2）解：∵AC=8，DE=2， ，， 又∵在Rt△AOE中，， ​​​​​​​ 【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；同位角相等，两直线平行；垂径定理的推论 【解析】【分析】(1)由垂径定理的推论知E为AC的中点，根据中位线定理知OD||BC； (2)先求出AE和OA的长，根据勾股定理得OE的长，即可得BC的长. 14．【答案】（1） （2） 【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 15．【答案】（1）解：设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8， ∵CD=24，由垂径定理得，DE=12， 在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2， x2=（x﹣8）2+122， 解得：x=13． （2）解：∵OM=OB， ∴∠M=∠B， ∴∠DOE=2∠M， 又∠M=∠D， ∴∠D=30°， 在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°， ∴OE=4． 【知识点】垂径定理 【解析】【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径； （2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长． 16．【答案】（1）解：消防车不能通过该直角转弯. 理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H， ∵FH=EH=4， ∴EF=4 ，且∠GEC=45°， ∵GC=4， ∴GE=GC=4， ∴GF=4 ﹣4＜3， 即GF的长度未达到车身宽度， ∴消防车不能通过该直角转弯. （2）解：若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形， ∴OG=4，OM=4 ， ∴OF=ON=OM﹣MN=4 ﹣4， ∴FG=OG﹣OF= ×8﹣(4 ﹣4)=8﹣4 ＜3， ∴C、D在 上， 设ON=x，连接OC，在Rt△OCG中， OG=x+3，OC=x+4，CG=4， 由勾股定理得，OG2+CG2=OC2， 即(x+3)2+42=(x+4)2， 解得x=4.5. 答：ON至少为4.5米. 【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）过点F作FH⊥EC于点H，根据道路的宽度求出FH=EH=4m，然后根据等腰直角三角形的性质求出EF、GE的长度，相减即可得到GF的长度，如果不小于车身宽度，则消防车能通过，否则，不能通过； （2）假设车身C、D分别与点M′、M重合，根据等腰直角三角形的性质求出OG= CD=4，OC= CG=4 ，然后求出OF的长度，从而求出可以通过的车宽FG的长度，如果不小于车宽，则消防车能够通过，否则，不能通过；设ON=x，表示出OC=x+4，OG=x+3，又OG= CD=4，在Rt△OCG中，利用勾股定理列式进行计算即可求出ON的最小值. 17．【答案】解：过点O作OC⊥AB于点C，交 于点D，连接OB， 设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，∵OC⊥AB，∴BC= AB= ×4 =2 ，在Rt△BOC中，∵OC2+BC2=OB2，即（r﹣2）2+（2 ）2=r2，解得r=4． 【知识点】勾股定理；垂径定理 【解析】【分析】此类问题通过添加辅助线过点O作OC⊥AB于点C，交弧AB于点D，连接OB，根据垂径定理求出BC的长，再用含r的代数式表示出OC的长，然后根据勾股定理建立方程求解即可。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $