29.2.1 垂直于弦的直径 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 围绕“垂直于弦的直径”，通过基础、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养几何直观、推理意识和模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆（基础）|垂径定理概念及直接应用|选择填空为主，直接考查弦与直径关系、弦心距计算，培养几何直观| |★★☆（能力提升）|平行弦、折叠等情境应用|需分类讨论（如两弦位置），结合勾股定理，发展推理意识| |★★★（综合应用）|多知识点综合（直径、圆心角等）|解答题为主，构建方程解决复杂问题，体现模型观念与创新意识|

第二十九章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 难度：★☆☆ 1. 在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，则下列结论中一定成立的是（ ） A. AE = BE B. OE = CE C. ∠AOC = ∠BOD D. AB = CD 2. ⊙O的半径为6，弦AB的长为8，则圆心O到弦AB的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 弦的垂直平分线不一定过圆心 D. 垂直于弦的直线必过圆心 4. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，连接OC。若AB = 10，OE = 3，则弦CD的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 在半径为10的⊙O中，圆心到一条弦的距离为6，则这条弦的长度为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 圆中垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B. 圆中平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 C. 圆中弦的垂直平分线经过圆心 D. 圆中相等的弦所对的弧相等 7. 在⊙O中，弦AB的长为2√3，圆心O到AB的距离为1，则⊙O的半径为______。 8. ⊙O的半径为5，弦AB=6，则弦AB的中点到圆心的距离为______。 9. 如图，在半圆ACB中，AB=6，将半圆ACB沿弦BC所在直线折叠，若弧BC恰好过圆心 0，则BC的长是______。 10. 在半径为13的⊙O中，弦AB=10，则圆心到弦AB的距离为______。 难度：★★☆（能力提升） 11. 在半径为5的⊙O中，两条平行弦的长分别为6和8，则这两条弦之间的距离为（ ） A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 4或6 12. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，连接OC。若AB = 14，OP = 3，则弦CD的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 13. 在⊙O中，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，则AB与CD之间的距离为（ ） A. 7 B. 17 C. 7或17 D. 14 14. 在⊙O中，弦AB=16，弦CD=12，且AB∥CD，两弦在圆心同侧，距离为2，则⊙O的半径为（ ） A. 10 B. 8 C. 2 D. 4 15.如图，点B在⊙O内，折线A−B−C−D的顶点A，C，D均在⊙O上。已知AB⊥BC，BC⊥CD。若AB=3，BC=8，CD=5，则⊙O的半径长为（ ） A.5 B.​ C.6 D.2​ 16. 在⊙O中，弦AB的长为4，弦AB所对的劣弧的中点到弦AB的距离为2，则⊙O的半径为______。 17. ⊙O的半径为10，弦AB=16，则弦AB所对的两条弧的中点之间的距离为______。 18. 在半径为25的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为14和40，且两弦在圆心异侧，则两弦之间的距离为______。 19. 在⊙O中，AB是弦CD是直径，且CD⊥AB于点E。AC=2，AB=4。求⊙O的半径。 20. 在⊙O中，弦AB=2，弦AB的中点到圆心的距离为，求⊙O的半径。 难度：★★★（综合应用） 21. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点O（O为圆心），点E在AB上，连接CE并延长交⊙O于点N。 已知：OE = 3，CE = 5。 （1）求⊙O的半径R； （2）求弦CD的长； 22. 已知⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。 23.如图，CD是⊙O的直径，圆心角∠AOB=30°,B是的中点.求∠C的度数. 24. 在半径为的⊙O中，弦AB和CD互相垂直，垂足为P，且AP=2，BP=4，CP=3，求DP的长及⊙O的半径。 25. 在⊙O中，弦AB=8，弦CD=6，且AB∥CD，两弦之间的距离为1，求⊙O的半径。 26.如图，在⊙O中，点A、P均在⊙O上，OP是水平方向，过圆心O作弦AP的垂线，垂足为H，延长OH交⊙O于点C。连接OA、AC、PC。 已知：⊙O的半径为7，OH = 5。 （1）求弦AP的长； （2）求线段CH的长； （3）试判断△ACP的形状，并说明理由； （4）连接OC，求四边形AOCP的面积。 参考答案 难度★☆☆ 1. A 2. B 3. A 4. B（设半径为R，则OE=R-2，CE=4，R²=(R-2)²+16，解得R=5） 5. C（半弦==8，弦长16） 6. D（应为同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等） 7. 2（半径==2） 8. 4（半弦3，半径5，弦心距4） 9. 3 （，过点O作OD⊥BC，由折叠的性质可知OD=OB，∴OD=AB=，在Rt△OBD 中∵OD=OB，∴∠OBD=30°，∴BD=∵OD⊥BC，OD经过圆心，∴BC=2BD= 3） 10.C （∵ AB是直径，AB = 10，∴ 半径OC = 5。 ∵ CD⊥AB于E，在Rt△OCE中，OE = 3，OC = 5， 由勾股定理：CE = = = = 4。 由垂径定理，E为CD中点，∴ CD = 2CE = 8。故选C。） 难度★★☆ 11. C（两弦在圆心同侧距离为1，异侧为7） 12. A （∵ AB是直径，AB = 14，∴ 半径OC = 7。 ∵ CD⊥AB于P，在Rt△OCP中，OP = 3，OC = 7， 由勾股定理：CP = = = = 2。 由垂径定理，P为CD中点，∴ CD = 2CP = 4。故选A。） 13. C（半弦分别为12和5，弦心距分别为5和12，同侧距7，异侧17） 14. C（半弦8和6，设半径为R，同侧距2，则=2，解得R²=164，R=2） 15. A 16. 4（设半径R，半弦2，弦心距R-2，则(R-2)²+12=R²，解得R=4） 17. 16（弦心距=6，两弧中点距离=10-6+10-(-6)=16或直接为2×8=16） 18. 39（半弦7和20，弦心距24和15，异侧距24+15=39） 19.∵ CD⊥AB，AB = 4， ∴ AE = AB = 2， ∴ CE = = 4， 连接OA，设⊙O的半径为r， 则 OA = OC = r，OE = 4 − r。 在Rt△OAE中，AE² + OE² = OA²， 即 2² + (4 − r)² = r²， 解得 r = ， ∴ ⊙O的半径为 20. （半弦，弦心距，半径=） 难度★★★ 21. （1）求半径R ∵ CD⊥AB于O，且O为圆心， ∴ OC是半径，且△COE为直角三角形，∠COE = 90°。 在Rt△COE中，CE = 5，OE = 3， 由勾股定理： OC² = CE² − OE² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16， ∴ OC = 4。 又∵ OC是⊙O的半径， ∴ R = 4。 （2）求弦CD的长 ∵ CD⊥AB于O，O为圆心， ∴ 由垂径定理，O是CD的中点，即OC = OD = R = 4。 ∴ CD = OC + OD = 4 + 4 = 8。 22. 距离为1或7（弦心距分别为4和3，同侧1，异侧7） 23. ∵ B 是的中点，∴ =， ∴ ∠AOB = ∠BOD = 30°，∴ ∠AOD = 60°， ∴ ∠ACO = ∠AOD，∴ ∠C = × 60°= 30°。 24. DP=6，R=（相交弦定理得DP=6，AB=6，CD=9，设O到AB、CD距离分别为x、y，x²+9=y²+20.25，x²+y²=OP²，解得R²=26） 25. CN=2（AE=1，BE=7，R=4，OE=3，CE=，M为弧AD中点，则OM⊥AD，可算CN） 26.（1）求弦AP的长 在Rt△OHA中，∠OHA = 90°，OA = 7，OH = 5， 由勾股定理：AH = = = = 2。 ∵ OH⊥AP，O为圆心， ∴ 由垂径定理，H为AP中点， ∴ AP = 2AH = 2 × 2 = 4。 答：弦AP的长为4。 （2）求线段CH的长 ∵ OC是半径，OC = 7，且C在OH的延长线上， ∴ CH = OC − OH = 7 − 5 = 2。 答：CH的长为2。 （3）判断△ACP的形状 连接OA、OC、PC。 ∵ OH⊥AP，且H在AP上， ∴ OC⊥AP，即AC = PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。 又∵ OA = OC = 7（半径）， 在△AOC中，OA = OC = 7，∠AOC是圆心角。 AC = PC，AP = 4， 在Rt△AHC中，AH = 2，CH = 2， AC = = = = 2。 所以△ACP中，AC = PC = 2，AP = 4。 比较：AC² = 28，PC² = 28，AP² = 96， ∵ AC² + PC² = 56 ≠ 96，且AC = PC， ∴ △ACP是等腰三角形，但不是直角三角形。 答：△ACP是等腰三角形。 （4）求四边形AOCP的面积 四边形AOCP由△AOC和△APC组成。 方法一：S四边形AOCP = S△AOC + S△APC S△AOC = × AP × OH = × 4 × 5 = 10 （以AP为底，OH为高，O到AP的距离为5） S△APC =× AP × CH =× 4 × 2 = 4 ∴ S四边形AOCP = 10 + 4= 14 答：四边形AOCP的面积为14。 学科网（北京）股份有限公司 $