江苏宿迁市名校协作体2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题

**基本信息** 高三数学8月质量检测立足基础，融合AI情境与动态几何问题，通过导数证明、统计残差等题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高三起点复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、函数奇偶性|基础概念辨析，如第4题充要条件判断| |多选|3/18|三角函数性质、立体几何动态问题|第11题以正方体动点考查空间观念| |填空|3/15|三角恒等变换、双曲线离心率、球系列表面积|第14题球与正方体相切创新设计| |解答|5/77|解三角形、立体几何面面垂直、AI情境统计概率、椭圆综合、导数证明|第17题结合生成式AI考分布列，第19题导数证明体现逻辑推理|

高三数学参考答案 、 单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A D C 二、 多项选择题：共3小题， 每小题6分，满分18分。 题号 9 10 11 答案 ACD ABD AC 三、填空题：共5小题，每小题5分，满分15分。 12.0 13.V3+1 14. π(4v3+6) 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。 15.(1)已知V3 asin B+bcosA=2b, 由正弦边角关系得√3 sin Asin B+sin Bcos A=2sinB, 化简得√3sinA+cosA=2, 应用辅助角公式可得s如4+名)-1， 而A(0,n）,所以4=7分 3 (2) 由余弦定理a2=b2+c2-2 becos A, 得4=(b+c2-3bc,解得b+c=2√3， 所以a+b+c=2+2V5, 故△ABC的周长为2+23.…13分 l6.(1)取CD中点M,因为△PCD是等边三角形且CD=2,所以PM⊥CD且PM=√5， 在等腰梯形ABCD中，AB=4,AD=CD=BC=2,过D,M,C作AB的垂线， 垂足记为E,N,F,则4B=B,CD=l,MN=DE=NAD-AE-N5,AN=5=2, 2 所以AM=VAN2+MN2=√万，因为PM2+AM2=10=PA2,所以PM⊥AM, 又PM⊥CD,AM∩CD=M,AM,CDc平面ABCD,所以PM⊥平面ABCD,而PMC平 面PCD,故平面PCD⊥平面ABCD；…8分 答案第1页，共6硕 (2)以M为原点，以MN,MC,MP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的坐标系， D E N 可知D(0,-1,0,C(01,0),P0,0,V5A3,-2,0,B(52,0, 则DP=(0,1v5),DA=(√5，-1,0，CP=(0,-1,5),CB=(V5,10)设平面PAD的法向量为 m=(x,y,2), 于是有 0i=x-y=0取x=1,得4-么5，-. nDP=y+3z=0 设平面PBC的法向量为n2=(x,,z), 于是有 P=-为+5=0，取=1.得元-一5.- n2CB=3x+y=0 则平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为 cos(n,n2 1-3+11 V1+3+1V1+3+15, 正弦值为 …15分 17.()）X=1表示第一次就生成A并结束过程P(X=)-2×24 111 X=2表不第次生成4并结束过程P(x=到-+×兮对} 2^24 …4分 (2)X=k(1≤k≤2n-1,k∈N*)时，第k个词元输出为A, 若前面k-1个词元都预测为B，其概率为 若前面-1个词元有一个预测为1，其率为cC(”=k-)[”。 故Px-利-（份+-g= …7分 答案第2页，共6页 当X=2n时， 若前面2n-1个词元都没有预测为A, 其概率为日 若前面2n-1个词元有一个预测为A, 其华为2-传。 故Px=2m-目'+-8=(m+ 所以X的分布列为： X 1 2 3 2n-1 2n 2 -图 图 …10分 ③)由)得P(X=2到= 由@得Px=划=[” 心x≤网-1+2x+⑧++ r心xs+2+4a”+ xs-++)- 9G 2-1 1-a+2 2-n-2 …15分 答案第3页，共6硕 b2 a2=4 18.(1)由题意可知 解得 b2=1 b2 所以椭圆E的标准方程 +y2=1.… 3分 4 (2) A B x M ①延长NA交椭圆E于点M',延长MB交椭圆E于点W', 由对称性可知AM'=BM,AN=BN',所以四边形MWMN'为平行四边形， 因为A,B关于原点对称，所以N,N”关于原点对称， 设M(x,),N(x2,2),则N'(-x2,-2) 所以knkw=占-五.少-片=片-片 -x-五2-xx3-x2 又M,N为椭圆E上两点，可得艾+乃=1，三+巧=1， 4 所以5三+g-疗=0.化简得套手-子故kkw 4 x好- 41 又因为A∥N。所以kw太w号故w=是 8 10分 ②油①可知，在平行四边形MNMN'中，AM'=BM, 从面S8w-分w=2Sas, 3 因为构成四边形ABMN,所以MN的斜率必不为O,设MN的方程为x=my- 2 3 x=my- Nkw"飞.由E2m+4-w子-0， 4+y2=11 答案第4顶，共6顶 7 09+7m+4=16m+28>0,+为4,54 4, m2+4 因为MN=m+i%-y=m+1+y乃-4=2Wm+i.4m+7 m2+4号 点O到直线MN的距离为2√m+ 3 所以S.owN= =2Nm+l.y4m+7. 33V4m2+7 m2+42√m2+12m2+4 341-939,4 令1=m+4≥4)，则S.0ww-2VF=2V下+ 拟行即m±竖味，5an有银大益为号g-1。 所以四边形ABMN面积的最大值为2(Sww)x=2. …17分 19.(1)当a=1时，f(x)=xe-e,f'(x)=xe*, 所以当x∈(-o,0)时，f'(x)<0；当x∈(0，+o)时，f'(x)>0. 所以函数f(x)的单调递减区间为(-o,0),单调递增区间为(0，+∞). …4分 (2)因为x>0,所以当a≤1时，f(x)≥xe-e,由(1)知f(x)>f(0)=-l, 当a>1时，f(x)=(x+)e-ae“=e(x+l-aea） 又当x∈(0，a-l)）时，x+1<a-l+l=a,aea->a, 所以x+1<aea-,即∫'(x)<0.所以f(x)在区间(0，a-1)单调递减， 所以f(a-1)<f(0)=-1,不符合题意.综上，a的取值范围是(-o,: …10分 (3)证明如下： 由(1)知，当a=1时，函数f(x)在区间(0，+o)单调递增， 所以当x∈(0，+o)时，f(x)>f(0)=-1, 即e-c>-1,所以当xe(@时，e< 答案第5页，共6硕 眉aeN时有之中 n 1-n3”-n3”-n 3"-n. 3n 令h(x)=e-x,求导得(x)=e-1,当x<1时，h(x)<0; 当x>1时，h(x)>0,所以h(x)=e1-x≥h(①=eH-1=0, 所以。≥x,所以3≥e≥n,所以，”= n -<_n 3”-n23+3-1-n2-3-· 所以e<1+”n1+2分记a=2 所以a+a2+…+an= 2+2 842.3+3 所以。+e++e<m+2综上，原不等式成立。 …17分 答案第6硕，共6硕2026-2027学年度第一学期8月质量检测 高三数学 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请务必将自已的姓名、考试号等用0,5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置。 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1已知变合4=08=4体-2x0以.期UB=() A.{x0<x≤1} B.{x-1<x<2} C.{x0<x<l} D.{-1<x<0} 2.复数2=24i 则z的虚部为（) A.3 B.-3 C.-3i D.-1 3.已知d=l,=3,2a-b=19,则向量a,b的夹角为() B胃 c D. 6 4p-”是函数f(问=cos(x+p)是奇函数的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是=0.8x+à，据此计算，则样本点在(6,6.4)处的残差为（) A.0.3 B.-0.3 c.0.5 D.-0.5 6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴交于点K,以F为圆心，FK为半径的 圆与抛物线C在第一象限的交点为P,则△PKF的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 高三数学第1页共4页 7.有-一组样本数据，，，0，其中xeR=12…10).已知25=90, x2=1000, i=l 设函数f()-2(x-,x∈R.则f()的最小值为() A.19 B.100 C.190 D.200 8.已知函数f(x)=(lnx)+axnx-x有且仅有三个零点，则a的取值范围是（) A.(0.e-)B.e+ C. D. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9.设z=3+2i,则（) A.z=3-2i B.=5 C.z2=5+12i D.2+3∈R z-i 10.已知函数f(x)=asin2x+bcos2x(ab≠0)的图象关于直线x=Z对称，则() 6 A.f(x)的最小正周期为π + )为奇函数 3'6 上单调递增 D.f在123 π5π 内恰有3个零点 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是线段BC和线段CD上的动 点，且BE=CF,则下列说法正确的有() D A B B A.BF⊥DE B.三棱锥C-B,EF的体积最大值为1 C.若E为BC中点时，则点B到直线EF的距离为32 D.三棱锥C-CEF外接球球心轨迹的长度为√5 高三数学第2项共4页 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12.若1+x2)=a+ax2+a,x+a,x6+a,x,则a,-a+a,-4+a的值为 1这巳知双南线上若茶=口>Qb>0)的右焦点为F过原点O的直线交B于尸0两 点，且PF⊥QF.若直线PQ的斜率为√，则双曲线EB的离心率为一 14.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同 的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切，第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶 点A的3个面均相切，第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…， 依次下去.记这n个球的表面积和为Tn,若T,<M对n∈N总成立，则M的最小值为 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分. 15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,满足V3 asin B+bcosA=2b (1)求角A的大小： g若a=2,c-多求61BC的周长 16.如图，四棱锥P-ABCD中，△PCD是等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，AB/ICD, AB=4,AD=CD=2,PA=10. (1)证明.平面PCD⊥平面ABCD: (②求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值. 17.在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元A, B,且生成词元总数不超过2n(n≥2).若生成A,则过程立即结束，否则继续生成，直至总 数达到2.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为A,B的概率均为0.5，且各 次预测相互独立.审核规则如下： 高三数学第3页共4页 ①若预测中第一次出现词元A,则审核后生成A,B的概率均为0.5， ②若预测中第二次出现词元A,则审核后必生成A; ③若预测中出现词元B,则审核后必生成B. 设X表示过程结束时生成词元的总个数 (1求P(X=1),P(X=2): (2求X的分布列： (3)求P(X=2x≤n). 为嘴周号+若->60)的离心率为H过个对引 18.1 (1)求椭圆E的标准方程； ②若4〔0小0MN为裤圆E上调点均在轴上方.且N∥BM。 ①已知直线N的斜率为子， 求直线MN的斜率； ②求四边形ABMN面积的最大值. 19.已知函数f(x)=xe-e. (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： (2当x>0时，f(x)>-1,求a的取值范围， ③设neN,证明：e+e子+…+e<n+2 高三数学第4页共4页宿迁市名校协作体2026~2027学年第一学期8月学情质量检测 日程安排表 8月25日 8月26日 8月27日 物理（历史） 化学 语文 7:509,05 7:50-9:05 高三 上午 7:50~10:20 (两科同时开考) 地理 政治 10:00~11:15 10:0011:15 年 英语 级 2:10~4:10 下午 数学 2:10~4:10 生物 4:40~5:55 考务安排： 1.各考场共安排40座位，按每排8人，S型排列，最内排9人，靠前门为01 2026-2027学年度第一学期8月质量检测 高三数学 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数，则z的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 3．已知，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（    ） A．19 B．100 C．190 D．200 8．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9．设，则（     ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．在内恰有3个零点 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（    ）    A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若为中点时，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．若，则的值为__________. 13．已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 14．在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的周长. 16．如图，四棱锥中， 是等边三角形，四边形是等腰梯形， ，，， (1)证明：平面 平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 17．在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 18．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上两点（均在轴上方），且． ①已知直线的斜率为，求直线的斜率； ②求四边形面积的最大值． 19．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 高三数学 第1页 共3页 高三数学 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $