江苏省连云港市灌南名校协作体2026-2027学年高三上学期8月学情质量监测数学试题

**基本信息** 以博物馆文物、高斯函数等文化与数学史素材创设情境，通过函数新定义、椭圆综合题等设计，梯度覆盖集合、导数、立体几何等核心知识，考查数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、立体几何充分条件|结合高斯函数考查数形结合| |多选|3/18|二项式定理、函数奇偶性|正方体动态点轨迹问题，考查空间观念| |填空|3/15|等比数列求和、曲线切线|圆柱外接球体积最值，体现直观想象| |解答|5/77|概率分布列、椭圆面积最值|文物展览概率题渗透文化传承，函数新定义题发展创新意识|

20262027学年度高三第一学期8月学情质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请务必将自已的姓名、考试号等用Q5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置。 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指 定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1.若集合A={-1,0,1,2},B= 则A∩B=() 2-x A.{-1,0} B.{0,1 C.{1,2} D.{-1,0,1 2.已知复数z= 则z等于() A.32 B.32 C. D.5 2 3.已知空间中三条直线a,b,c与平面分别交于不同的三点A,B,C,则“A,B,C三点共线” 是“直线a,b,c共面”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知10个互不相同的样本数据：x,x2,…,xo的平均值为x,则关于新样本数据： X,x2,…,o,x,下列说法正确的是（) A.极差变大 B.平均数变大 C.方差变小 D.中位数变小 5.已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一 个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为() 8 C. 17 D. 30 6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念 数学家高斯，我们把函数y=[x(x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数， 如[.刂=1，【-1.=-2，则点集P=《x,y)儿x+[y=1所表示的平面区域的面积是() A.2 B.π C.4 D.6 高三数学试题第1页共4页 7.已知F,E是双曲线C:-y 荐云=口>b>0)的左、右焦点，过左焦点万的直线与双曲线C 的右支交于点B,与y轴交于点A,若△ABF是正三角形，则双曲线的离心率为（) A.23 B.5 C.2 D.√6 3 8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若fI-2x)+4x为偶 函数8+2=8x-9.且》-0.则}g0=() A.2 B.4 c.5 D.6 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9.已知x2 1 的展开式的第2项与第3项系数的和为子，则() A.n=6 B.展开式的各项系数的和为 32 C.展开式的各二项式系数的和为32 D.展开式的常数项为6 5 10.已知f(x)是定义在(0，+o)上的函数，x,y∈(0，+o),都有f(x)+f(y)=f(xy),且当 x∈(1，+o)时，f(x)<0,则下列结论正确的是（) A.若f(4)=-2,则f(2)=1 B.函数f(x)在(0，+o)上单调递减 C.若f(4)=-1,则不等式f(x+1)+f(x-2)>-1的解集为{x0<x<1或x>4} D.y=f(x+2)-f(2-x)为奇函数 11.在棱长为2正方体ABCD-AB,CD中，E为AB的中点，F是侧面BB,CC内的一点（包 含边界)，则以下结论正确的是（) A.若4=V5,则点F的轨迹长度为 B.EF与AD所成角的最大值为 C.若三楼锥4-DEF的体积为，则点F的轨迹长度为22 D.若F在线段CC上，则三棱锥A-BB,F的外接球表面积的取值范围是 2 高三数学试题第2页共4页 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=6,S4=18,则S6= 若曲线y=2nx+aa∈R)与圆r2+0--有公其点P(化，%.且在点P处的切线 相同，则实数a= 14.已知圆柱OO,点P是上底面圆周上的一动点，点A,B,C在下底面的圆周上，且满足 AB=2,∠ACB=30°，三棱锥P-ABC外接球的表面积为52π，则三棱锥P-ABC体积的 最大值为」 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。 15.(13分)某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文 物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8 件文物中随机选取3件进行巡回展览， (1)求选出的3件文物都是汉代文物的概率： (2)设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望E(X). 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=120°，AD为∠BAC的角 平分线，且AD=2. (1)若sinB=2sinC,求a的大小； (②)当b+c取得最小值时，求△ABC的面积. 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2, BC=3,点E满足4E=!AD】 B (1)证明：直线CD⊥平面PAD: (2)求平面PBE与平面ABCD夹角的余弦值. 高三数学试题第3页共4页 &(7分)已知槛圆C。+(Q>h>0)的离心率为，右焦点为F,若点P为 椭圆的右顶点，且PF=1. (1)求椭圆C的方程。 (②)已知椭圆C上两点A,B(异于点P)关于坐标原点对称，直线AF,BF分别交椭圆C于 另一点D和点E, ()求直线PD与直线PE的斜率之积， (i)求△ABD面积的最大值， 19.(17分)已知函数y=f()的定义域为D,对于给定实数，定义集合'和={(x+)≥f(x》 (①若f(x)=x3-13x,求'e (2若D=R,求证：“y=f(x)为周期函数”的充要条件是“存在非零常数七，使得 '%='-=D”. 诺f(-=e》-m。)D=0+.且对打任意的1eD,都有'=D, 求实数a的取值范围， 高三数学试题第4项共4页 2026-2027学年度高三第一学期8月学情质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知10个互不相同的样本数据：的平均值为，则关于新样本数据：，下列说法正确的是（    ） A．极差变大 B．平均数变大 C．方差变小 D．中位数变小 5．已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 7．已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，，且，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9．已知的展开式的第2项与第3项系数的和为，则（    ） A． B．展开式的各项系数的和为 C．展开式的各二项式系数的和为32 D．展开式的常数项为 10．已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则f（2）=1 B．函数在上单调递减 C．若，则不等式的解集为或 D．为奇函数 11．在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（    ） A．若，则点的轨迹长度为 B．与所成角的最大值为 C．若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为 D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 13．若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 14．已知圆柱，点是上底面圆周上的一动点，点在下底面的圆周上，且满足，，三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_________． 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。 15．（13分）某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8件文物中随机选取3件进行巡回展览． (1)求选出的3件文物都是汉代文物的概率； (2)设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望． 16．（15分）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 17．（15分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点满足． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆：（）的离心率为，右焦点为，若点为椭圆的右顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上两点，（异于点）关于坐标原点对称，直线，分别交椭圆于另一点和点. （ⅰ）求直线与直线的斜率之积； （ⅱ）求面积的最大值. 19．（17分）已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合． (1)若，求； (2)若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”． (3)若，，且对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 高三数学试题 第1页 共3页 高三数学试题 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $20262027学年度高三第一学期8月学情质量监测 数学参考答案 一、 单项选择题：共8小题，满分40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C A C B D 二、多项选择题：共3小题， 满分18分. 题号 9 10 11 答案 AD BD ACD 三、填空题：共5小题，满分15分。 12.42 13.2 14.4+23 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。 15.(1)从8件文物中任选3件，有C⑧=56种方法 选出的3件文物都是汉代文物，有C=4种方法. 故所求的概率P=4-】 5614 (2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X-0)-CC=1x11 C5656 P(X-1)-CC-5x315 C5656 P(X=2)-CC_10x3_3015 C-565628 P(x-3)-c3C_10x1105 56 56281 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1 15 15 5 56 56 28 28 数学期望E(X)=0×56 15 15 +1× +2× 28 +3× 515 288 16.(1)因为sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c, 因为∠BAC的角平分线交BC于点D,所以∠BAD=∠CAD=60°， 由Sc=Sam+Sa,得oin∠BAC-e:ADsin∠BiD+b-ADsin/CAD, 则x2xsin60+x2 xexsine60=号 2×besin120, 即bc=2c+2b,所以c=3,b=6, 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 accos120°=36+9-2×3×6× 即a=√63=3v7; (2)SARC =SM4DB+SCDA, 得besin∠BAC=c ~Dsin∠BMD+b-4sn∠CMD. 得x2xsn60+分2 xexsin60-il20, 化简得bc=2c+2b,即2+2=1， b c 所以6+e=(6+引-2+2++222+4=8 c b 当且仅当b=c=4时等号成立，b+c取得最小值， 此时，△ABC面积为}x bxcx sim120°=x4x4x5=4W5. 2 2 2 17.(I)PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,.PA⊥CD, 底面ABCD为矩形，.CD⊥AD, 又PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD, (2)PA⊥平面ABCD,ABc平面ABCD,.PA⊥AB, ·底面ABCD为矩形，AB⊥AD, 以A为原点，AB,AD,AP向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 则P(0,0,2),B(2,0,0),E(0,1,0), ∴.PB=(2,0,-2),BE=（-2,1,0), 设平面PBE的法向量为n=(x,y,z), PB.n=2x-2z=0 取x=1,则y=2,z=1,即%=(1,2,1)， BE.n=-2x+y=0' 平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,I), 设平面PBE与平面ABCD夹角为O, 所以cos0= n21√6 %nV6×16· 18.(1)设半焦距为c,则右焦点F(c,0),又椭圆右顶点P(a,0),所以PF=a-c=1, 由e=Ss1 a2解得 a=2 =1,则2=a2-c2=3, 所以椭圆C的方程为二+y 431. (2)()设Ax,),则B(-x,-y),由(1)得F0,0),则直线AF的方程为y=片，x-), x-1 y=4,x-) 联立 七-1 ，得(15-6x)x2+(6x-24)x+24x-15x=0, 4 3 设D(xD,yD),由韦达定理得x·xD= 告-要 15-6x1 代入直线方我，可得%器即 8-5x-3y） 5-2x'5-2x' 因为B(-x,一)，则可得E 8+5x3y 5+2x’5+2x1 -3y 3y 5+2x=3y 因P2.0),所以km二xn-28-5x-2+2,km==5+2 x-28+5x-2出-2’ 5-2x 5+2x 12-3x2 9x 9y2 （4 27 x2-4 x2-4 4 面由0知4).-，-，D85,3） （5-2x’5-2x 则AB=2+7,且直线AB的方程为y=上x,即x-y=0, 8-5x -3y 则点D到直线AB的距离d= y 5-2x 5-2x 2y(4-x》 Vx好+ 5-2xV+ 所以a4D面积s=hd-2- 5-2x 则s=4(4-x_(2-34- (5-2x)月 (5-2x)2 令5-2=1，由x∈(-2,2)，得1,9)，则5=5 2 代人可0，-世- 16 之3 〔别 令=1+？则≥2-6，当且仅当4=}即/=3时取等号. 9 则r+=2-18 代入可得s=6（0+4+60)=G-u-2+64。 因为u≥6，所以当u=6时，S2有最大值，且为9， 所以△ABD面积S的最大值为3. 19.(1)"a={f(x+2)≥f(x)}. 若f(x+2)≥f(x),则(x+2)°-13(x+2)≥x3-13x, 所以6x2+12x-18=6(x+3)(x-1)≥0， 所以"2=（-o,-3U[1,+∞) (2)充分性：因为'0="=R,xeR,f(x+)≥f(x),(x-)≥f(x), 所以f(x)≥f(x+),所以f(x)=f(x+),因为1≠0，所以f(x)是周期函数， 必要性：若f(x)是周期函数，设T是f(x)的周期，则f(x)=f(x±T), 所以'm={f(x+T)≥f(x}=R,"n={f(x-T)≥f(x}=R, 所以存在1=T≠0，使'和=")=R. (3)因为1>0，"0=(0，+o),所以x,1>0,f(x+)≥f(x), 所以利在Qo)上单调递抛.所以)=aer+。产0， 若a≤0，则x→+o,f(x)→-o,则不满足f'(x)≥0； 所以a>0.设f)=a）r+=(到. 因为N(x)=-1 当xo()k0a(单调递减当x合+（小04（单调递猫， 所以h8)r日0，即nae二a-20, 设8()-hxe（x-).则g)e x e-1 当xc0。g(小>0a(e单测速抛，当(。+g)<0ge单测递减 又8日=g0=08(o)20,所以as1, 所以ae