精品解析：江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2024-2025学年高三上学期第一次质量调研数学试卷

2024~2025学年度泗阳实验高中第一学期高三年级第一次质量调研 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数部分图象如图所示，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 7. 已知，，，且则（ ） A. c＜a＜b B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a 8. 函数有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在R上是单调函数 C. 的最小值为1 D. 当时， 11. 已知，，是函数的三个零点（，），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则_______． 13. “”是“”的________条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”） 14. 函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的最值. 17. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 18. 已知函数.（） （1）判断函数的奇偶性并证明，据此说明图象的对称性； （2）若任意，，求实数m的取值范围． 19. 设函数，，其中，为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，； （3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度泗阳实验高中第一学期高三年级第一次质量调研 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的结果求解并验证即得. 【详解】,则,解得. 当满足题意； 当,不满足集合元素互异性； 故. 故选：A. 2. 若为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的范围可取特殊值验证选项ABD错误，再由第二象限正弦、余弦值的符号可得C正确. 【详解】若为第二象限角，当时，可得在第四象限，此时，，即A错误，B错误； 当时，可得，即D错误； 由为第二象限角可得，所以，即C正确. 故选：C 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数定义域求法解不等式即可得出结果. 【详解】由可知，解得； 可得函数的定义域为. 故选：B 4. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数在每一段上的单调性求的取值范围，再根据函数在分段处的函数值确定的取值范围. 【详解】由题意：在上单调递减，所以， 又由. 所以的取值范围是：. 故选：D 5. 已知函数部分图象如图所示，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除BC，再根据特殊点的函数值排除D. 【详解】对A：，为奇函数，符合题意； 对B：，为偶函数，不合题意； 对C：，为偶函数，不合题意； 对D：，为奇函数，符合题意. 又根据函数图象，. 对A：；对D：，故排除D. 故选：A 6. 过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点，根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程，根据切线过点，列方程，判断方程解的个数即可. 【详解】因为，所以（）. 设切点坐标为：，切线斜率为：（）. 所以切线方程为：. 又切线过点， 所以. 设（） 则， 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在和各有1个根. 所以方程：有且只有两个解. 故选：C 7. 已知，，，且则（ ） A. c＜a＜b B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，然后， 作差比较可得答案. 【详解】由已知得，，， 令，， 可得在上单调递增，在上单调递减， ， 且，所以， ， 且，所以， 所以. 故选：A. 8. 函数有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数在上有两个零点，再结合函数在上有两个零点求的取值范围. 【详解】当时，，， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又因为，且，， 所以在上有和两个零点. 又因为函数有且仅有4个零点，所以函数有两个不同零点，设为，. 则：. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求导公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在R上是单调函数 C. 的最小值为1 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据定义域为R 且得到A正确；B选项，求导，结合基本不等式得到，在R上单调递增，B正确；C选项，由B选项知，C错误；D选项，根据函数单调性得到. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故为奇函数，A正确； B选项，， 故在R上单调递增，B正确； C选项，由B选项知，在R上单调递增，无最小值，C错误； D选项，由B选项知，在R上单调递增，当时，，D正确. 故选：ABD 11. 已知，，是函数的三个零点（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】因为函数有三个零点，所以极大值大于0，极小值小于0，可求的取值范围，判断A的真假；再根据零点和极值点的关系，结合零点存在性定理，可以判断B的真假；设，求导，假设，推导该结论成立的可能性，判断C的真假；表示出函数在3个零点出的导数，带入，整理，可判断D的真假. 【详解】因为，又， 由或，由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 因为函数有3个零点，所以，故A成立； 又，所以，且， 所以，故成立，即B成立； 因为函数有3个零点，所以可设， 则， 所以，，， 若有，则. 由B可知，可设，，（，） 则， 由，这与矛盾，所以不成立，故C错误； 因为：，故D成立. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对C选项，因为容易判断ABD是正确的，所以估计C是错误的，第一个想法是令取特殊值，验证C不成立.但是该方法的难点是不知道令取多少才能计算零点，所以该问题采用了类似反证法的思想，先假设C是正确的，看看推导出来的结论有无矛盾即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以，. 故答案为：. 13. “”是“”的________条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】设，根据函数的单调性，判断自变量的大小关系. 【详解】设（），则. 由；由. 所以在单调递减，在单调递增. 且. 函数草图如下： 所以，当时，在上单调递增，所以有，即； 当时，不能推出. 所以时的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 14. 函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由对称性可得，利用导数求切线和的斜率，得和，由解出，再由求出的值. 【详解】函数与和分别交于，两点， 则，， 函数的图象关于直线对称，函数和的图象也关于直线对称， 所以，两点关于直线对称，有， 函数的导数为，函数的导数为， 则，， 由，有，即， 由，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题除了导数和倍角公式的运用，关键点在于运用函数的对称性或对数式的运算，得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求解. （2）利用不等式的乘“1”法求解最值，即可由一元二次不等式求解. 【小问1详解】 不等式的解集为或 和是方程的两个实数根且 ，解得 【小问2详解】 由（1）知，于是有， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意有，即， 得，解得， 的取值范围为 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的最值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数在上的单调区间，再求出最值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以当时，函数取得最大值， 当时，函数取得最小值， 17. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2） 当时，在上递增， 当时，在上递增，在上递减， 当时，在上递增；在上递减． 【解析】 【分析】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解； （2），对分，和讨论单调性即可. 【小问1详解】 . 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. 【小问2详解】 ， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 18. 已知函数.（） （1）判断函数的奇偶性并证明，据此说明图象的对称性； （2）若任意，，求实数m的取值范围． 【答案】（1）函数是奇函数，理由如下： 设，函数的定义域为， 因为，都有， 且， 所以是奇函数，其图像关于中心对称； 因为， 所以图像是由向上平移2个单位得到， 所以图像关于中心对称． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断的奇偶性，借助奇函数的性质及函数的图象变换判断图象的对称性. （2）利用（1）的结论，把转化成在上恒成立，再分离变量，转化为在上恒成立，再求函数，的最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以可以化为， 所以， 因为， 因为，所以（因为，所以“”不成立）， 所以，即在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令， 所以， 由，由. 所以在上递增，在递减， 所以， 所以． 19. 设函数，，其中，为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，； （3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立． 【答案】（1）当时，为上的减函数，当时，在上为减函数，在上为增函数. （2） 要证（），即， 即证，也就是证， 令，则， 由. ∴在上单调递增，则， 即当时，，∴当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）明确函数的定义域，求导，对的取值进行讨论，分析导函数的符号，可得的单调区间. （2）把原不等式转化为，设，分析函数的单调性，证在上恒成立即可. （3）设，根据（1）（2）的结论，由在恒成立，求参数的取值范围. 【小问1详解】 由，得（）， 当时，在成立，则为上的减函数； 当时，由，得， ∴当时，；当时，. 则在上为减函数，在上为增函数. 综上，当时，为上的减函数，当时，在上为减函数，在上为增函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 当，时，， 故当在区间内恒成立时，必有， 当 时，，由（1）有，而， ∴此时在区间内不恒成立； 当时，令（）， 当时， 由（2）得， 所以， 因此在区间上单调递增， 又∵，∴当时，， 即恒成立，综上：. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $