第3章圆的基本性质学情自测试卷 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 这份圆的基本性质学情自测试卷，通过基础概念辨析、中档综合应用、提升拓展探究的三层设计，实现从单一知识点到跨情境综合应用的巩固路径，适配新授课学情诊断与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点与圆位置关系、半径计算、外接圆直径|单选1-4直接考查定义，填空11-13强化基础运算，培养抽象能力与几何直观| |中档|圆心角圆周角关系、垂径定理应用|单选5-7结合图形推理，解答19-21综合圆与三角形性质，发展推理意识与运算能力| |提升|实际情境应用（筒车）、切线证明、概率与圆结合|单选9-10关联生活情境，解答24切线与阴影面积综合，体现模型意识与创新意识|

第3章圆的基本性质学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 2．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 3．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 5．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 6．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 7．如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案． 【详解】如图所示，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴． 8．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 9．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 10．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 【答案】3 【分析】连接，，过点M作轴于点C，则四边形是矩形，得，则当最小时，最小，可知当O、P、M共线时最小，即最小，此时设点P为点，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点M作轴于点C， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点P是上的任意一点， ∴当O、P、M共线时最小，即最小， 此时设点P为点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， 即最小为3． 12．如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【答案】70 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 13．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 14．如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得，所以，再通过三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为______．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】利用割补法，对正方形中阴影和空白部分的面积进行比较． 【详解】解：如图所示，连接，交于， 由题意得，、、、分别是正方形四条边的中点， ∴点为正方形的中心， ∴， 根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积， ∴， ∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半， ∴． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 18．如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为___________； (2)这个圆的半径为___________； (3)直接判断点与的位置关系．点D在 ___________；(填“内”或“外”或“上”) (4)的长度为___________(结果保留π)． 【答案】(1) (2) (3)内 (4) 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，点与圆的位置关系，求弧长，解题的关键是确定圆心的位置： （1）线段的中垂线的交点，即为圆心； （2）勾股定理求出的长即可； （3）求出的长进行判断即可； （4）根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故圆的半径为； （3）∵，， ∴， ∵； ∴点D在内； （4）∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 20．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 21．如图，已知内接于，是的直径． (1)尺规作图：确定点的位置，使得点是弧的中点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下，求证：是的切线． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求； (2) 证明：如图，连接，设交于点， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】（）过点作线段的垂线交于点，由垂径定理可得，再经过点作的垂线，交的延长线于点，得，则点即为所求； （）连接，设交于点，可得，即得，得到，即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． 【详解】（1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 23．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 24．如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切， 理由如下： 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； (2)． 【分析】（）连接，， 由直线与相切，则，即，证明，所以，然后通过切线的判定方法即可求解； （）由（）得，，所以，，，得，由勾股定理得，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章圆的基本性质学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.分别以B、C为圆心，BC长为半径作 圆B、圆C,下列关于点A的位置描述正确的是() A.在圆B外部，在圆C外部 B.在圆B外部，在圆C内部 C.在圆B内部，在圆C内部 D.在圆B内部，在圆C外部 2.已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是() A.6 B.2 C.2或3 D.4或6 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4,则这个三角形的外接圆的直径是 () 4V3 8V5 A.8 B.3 C.3 D.4 4.在平面直角坐标系中，若4，-)，B(,3),C(区川三点可以确定一个圆，则n的取值 范围是() A.n≠3 B.n≤5 c.n>6 D.n≠7 A0,C0。⊙0 AB,BC 5.如图， 是 的半径，B是4C 的中点，连接 C,点D在BC 的延长线上」 若∠0CD=130°，则∠A0C的度数为() D A.160° B.130° C.100° D.80° 6.如图，⊙0经过五边形0ABCD的四个项点，若∠A0D=150°，∠A=65°，∠D=60°， BC 则 的度数为() 试卷第1页，共3页 0 D B A.45° B.40° C.35° D.30 7.如图，AB为⊙0的直径，弦CD1AB,连接BC,若∠DCB=30°，⊙0的半径为6，则 BC的长为() D B A.6 B.6V3 C.3 D.3V5 8.如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB是⊙0的直径，点P为边AC上不与点A,C重 合的任意一点，连接BP.若∠BAC=60°，则∠ABP的度数可能为() B A.20° B.350 C.45° D.60° 9.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧， 点P表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心0为圆 心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8m,筒车工作时盛水桶在水面 以下的最大深度为2m,则筒车的直径是() 试卷第2页，共3页 D 水面4 图1 图2 A.8m B.10m C.12m D.13m 10.如图，己知四边形ABCD是平行四边形，⊙0经过点A,B,C,与CD相交于点E,连 接AE.若∠B=75°，则∠DAE的度数为() B A.25° B.30° C.35 D.40° 二、填空题（每题3分，共18分） 1山.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为3)，点P是⊙M上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段PA,PB,垂足分别为点A,B,则线段AB的最小值为 ●M B ⊙0 12.如图， 的弦ABC 的延长线相交于点P,∠40C=150,∠P=40° 则D的度 数为 试卷第3页，共3页 B D 13.如图，两个同心圆，大圆半径为5cm,小圆的半径为4cm,若大圆的弦AB与小圆有 两个公共点，则AB的取值范围是： 14,如图，在o0中，=AC,∠ABC=70 则<B0C= 15.如图，正方形ABCD与等边△GEF内接于⊙O,EFI‖AB,则∠DOE的度数为 D 16.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其中心为圆心，以正方形边长的一 半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方 形内的某一点上，若小球停在阴影都分的概率为，停在空白部分的概率为乃，则尸与B P P 的大小关系为 2.(填“<”或“=”或“>”) 试卷第4页，共3页 三、解答题（每题9分，共72分） 17.在矩形ABCD中，AB=6,AD=8 D B (I)若以A为圆心，8长为半径作⊙A,则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A,使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在OA外，则⊙A的半 径r的取值范围是· 18.如图，在平面直角坐标系中， A1,6)B(5,6)C(7,4) A (I)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 (2)这个圆的半径为 (3)直接判断 D(6,-)与OM的位置关系.点D在OM (填“内”或 “外”或“上”) ④C的长度为 (结果保留兀). 19.如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D. 试卷第5页，共3页 方B (1)若∠B=35°，求AD的度数 (2)若AC=3,BC=4,求DB的长. ⊙0 20.已知，如图： 的半径 ,弦B=4.点C在B上cDL交o0于 =5V 交 0于点D, 0. B (1)若BC=4,求线段CD的长。 (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 21.如图，己知△ABC内接于⊙0，BC是⊙0的直径. B (I)尺规作图：确定点D,E的位置，使得点D是弧AC的中点，DE∥AC交直线BC于点 E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，求证：DE是⊙O的切线. B 点 是弧 的中点， D AC 试卷第6页，共3页 4D-CD ∴.∠AOD=∠COD, .OA=OC, .OD⊥AC, DE∥AC, .OD⊥DE, :OD是⊙0的半径， DE是⊙O的切线， 22.如图，△ABC内接于⊙0，连接OA,OB,OC B ()若∠COB=100°，∠ACB=40°，求∠C0A的度数. (2)若AC∥OB,AB=5,OC=4,求BC的长. 23.如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，AC为⊙0的直径，且AB=BC,连接AB, BC,BD,CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E. 0 (①)求LBDC的度数： @若BB=5,求CD的长. 24.如图，点A在⊙0上，点B在⊙0外，线段OB与⊙0交于点C,过点C作⊙0的切线 试卷第7页，共3页 交直线AB于点D,且AD=CD D (I)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若∠B=30°，CD=5,求图中阴影部分的面积. B直线 与 相切， CD⊙O .OC⊥CD ∠0CD=90°， 在aOAD和△OCD中， (OA=OC OD=OD AD=CD' △OAD≌AOCD(SSS) .∠OAD=∠OCD=90°， .OAL AD, :OA是⊙0半径， ∴直线AB与⊙0相切： 试卷第8页，共3页