第3章 圆的基本性质全章7大重点题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过8类题型系统构建圆的性质应用体系，融合几何直观与推理能力，实现从基础到压轴的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|垂径定理、圆周角定理等核心解法|概念-性质-应用的递进| |题型归纳|8题型（含典例+变式）|题型模版（特征+方法）|基础计算到综合变换的衔接| |压轴挑战|15题|综合应用与思维突破|中考压轴题趋势对接|

第3章 圆的基本性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、与圆有关的角度计算 题型2、弧长、路径长计算 题型3、图形面积 题型4、与圆有关的线段问题 题型5、与圆有关的线段比值问题 题型6、与圆有关的最值计算问题 题型7、圆的折叠问题 题型8、圆与函数的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的基本性质问题，要熟练掌握圆心角、圆周角、弦、弧、直径之间的相互关系，灵活运用垂径定理、圆周角定理及其推论；求弧长与路径长时，要找准圆心、半径和圆心角，注意动点的轨迹形状；与面积相关的问题，常用割补法、对称变换或等积变形将不规则图形转化为规则图形；涉及线段长度与比值时，要善于构造直角三角形、相似三角形或利用圆幂定理、切割线定理；最值问题常结合对称、折叠、旋转转化为定点到定圆或定直线的距离问题；圆与函数综合题要建立合适的坐标系，利用解析几何方法求解，同时注意几何性质的运用． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、与圆有关的角度计算 典例1 如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系进行角度计算． 2.方法：根据同弧所对圆心角与圆周角的倍数关系；结合等腰、等边三角形及三角形内角和进行推导；注意圆内接四边形对角互补． 变式1-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，等腰三角形的底边、腰分别交于点，，其中弦．连接，，设度，度，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，E是圆上一点，将沿折叠至，使点D落在上．且过点O，则=________，=________． 题型2、弧长、路径长计算 典例2 如图，是的外接圆，其中，，以为圆心为半径的弧恰好过圆心且交于点，分别以、为圆心，适当长度为半径作弧，两段弧交于点，连接并延长交于点，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：求圆中弧长、动点路径长及轨迹相关问题． 2.方法：确定轨迹圆的圆心与半径；计算对应圆心角；代入弧长公式 l=nπR/180；注意起点、终点与运动方向． 变式2-1 如图，为等边三角形的外心，点以的速度从点出发沿方向运动，连结并延长交于点，点关于的对称点为点，连结，．设点运动的时间为，已知，当时，则点运动的路径长为_________cm． 变式2-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是______． 变式2-3 如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若，求的长． 题型3、图形面积 典例3 如图，，的角平分线交于点，以的中点为圆心，为半径的半圆分别交，于点，，连接，，．若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆中阴影部分面积、弓形面积及图形面积的计算． 2.方法：用扇形面积、三角形面积进行割补；利用对称、旋转实现等积转化；注意整体减局部或局部相加． 变式3-1 如图，矩形的长为，宽为，将长为的线段的两端放在矩形的相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止．点是矩形内的任意一点，把点落在线段的中点所经过的路线围成的图形区域内的概率记为，则_____． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则阴影部分的面积为___________． 变式3-3 （25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是______，弦的长度是______． 题型4、与圆有关的线段问题 典例4 如图，是半圆的直径，为弦，于点，过点作交半圆于点，过点作于点．若，则的长为___________． 题型模版 1.特征：与圆有关的弦长、半径、直径及线段长度计算． 2.方法：构造由半径、弦心距、半弦组成的直角三角形；利用垂径定理、勾股定理列方程；结合已知条件求解． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，点是半径为2的圆上一点，内接于该圆，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与圆的另一个交点记为，连接，，则线段的取值范围为__________． 变式4-2 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的外接圆，是直径，于点，的角平分线交于点．连接，若，则___________． 变式4-3 （25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，扇形中，，，点P是线段上的动点，将扇形绕点P逆时针旋转得到一个新扇形，当点O在新扇形的内部（包括边界）时，的取值范围为______． 题型5、与圆有关的线段比值问题 典例5 如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ． 题型模版 1.特征：圆中线段比值、比例关系及代数化求值问题． 2.方法：通过相似三角形、三角函数或圆幂定理建立比例；设未知数列方程；注意化简与代换． 变式5-1 如图，已知菱形的顶点在⊙上，且边，分别与⊙相交于，两点，连接．若点为的中点，则的值为_____． 变式5-2 （25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，于点，过，，三点作圆弧，其圆心为，作于点，于点．若，则的值为__________． 变式5-3 （25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形中，以边上的点O为圆心，的长为半径画弧，分别与边，交于点E，F．若，则的值为_____． 题型6、与圆有关的最值计算问题 典例6 如图，在矩形中，，．点E为的中点，点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G，连接，则点F从点A运动到点B的过程中，的最大值与最小值之和为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆背景下的线段最值、面积最值及范围问题． 2.方法：识别定点、定长、定角，转化为圆上点到定点或定直线距离；利用三角形三边关系或对称求最值． 变式6-1 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 变式6-2 （25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，是圆的直径，点在圆上，是圆上的一个动点（不与重合），连接．过点作于，连接和．若，则的最大值为___________． 变式6-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为______． 题型7、圆的折叠问题 典例7 如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆的折叠、翻折及其对应弧、角、线段关系问题． 2.方法：抓住折叠前后对应量相等；利用对称性确定对应点、对应弧；结合圆的性质列方程求解． 变式7-1 （25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为__________． 变式7-2 （25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知是的直径，点为圆上一点．将沿弦翻折，交于点，把沿直径翻折，交于点，点恰好是翻折后的上一个四等分点，且，则的值为______． 变式7-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形内接于，，，点是上一点，连结，将沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径__________； （2）连接，若，则__________． 题型8、圆与函数的综合问题 典例8 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 题型模版 1.特征：圆与函数、坐标系相结合的综合问题． 2.方法：建立坐标系写出圆与函数解析式；联立方程求交点；结合几何性质简化代数运算． 变式8-1 如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 变式8-2 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图所示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的圆弧组成．抛物线的高度为，矩形的边，，圆弧的拱高为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在圆弧上，点，在抛物线上，轴． 问题解决：如图，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)分别求出抛物线的函数表达式和圆弧所在圆的半径． (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要到的水平距离为，求此时矩形的面积． 变式8-3 （25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）在平面直角坐标系中，图形上任意两个点的纵坐标分别记为，定义的最大值为图形的“竖直高”． (1)计算出下列图形的“竖直高”； ①，其中； ②如图1，以原点为圆心，作，四边形内接于，，与线段围成的图形； (2)如果抛物线与经过点的直线围成的图形“竖直高”是，求实数的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知平面直角坐标系内的三点，，，其中，两点的坐标分别为，，点满足（为坐标原点），则的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（   ） A．6 B． C．7 D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，为圆的弦，是弧的中点，连结并延长，是的半径，作，交的延长线于点，连结．给出下列结论：①若，则；②若，则．其中正确的是（） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 4．如图，在锐角三角形中，分别以三边，，为直径作圆．记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（　　）． A．已知的三条中位线的长度 B．已知的面积 C．已知的长度，以及，的长度和 D．已知，的长度及的度数 5．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，则的最大面积是______，若的中点是，那么中线的最大值是______． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点C是半圆O上的一个动点，将沿着折叠交直径于点D，点E是的中点，连结．若，则的最小值是______． 8．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，点A、B、C均在圆上，连接、、、、． (1)若，，求的度数． (2)若，， ①若，求． ②若，求点O到的距离． 9．（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连接，求的长． ②如图3，连接，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 10．如图①，是的直径，点C是上的点，连接并延长至点D，使，连接交于点E． (1)求证：点C是劣弧的中点； (2)如图②，连接，若，求阴影部分的面积． 11．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知，的半径为10，是的弦，． (1)如图1，作弦，若满足，则______； (2)若C，D是圆上两点，且满足． ①如图2，连接，求的长； ②在圆上截取（点A，F不重合），连接，，分别交线段于点M，N．当点N恰为的中点时，求的面积． 12．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知是的外接圆，点是上的动点（不与、重合），连接并延长到，连接、交于点．已知． (1)求证：； (2)若，，为等腰三角形 ①证明：； ②当时，证明：； ③时，求的长 13．如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知．    (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 14．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）阅读材料：如图1，若点P是外的一点，线段交于点A，则长是点P与上各点之间的最短距离． 证明：延长交于点B，显然．如图2，在上任取一点C（与点A，B不重合），连接，． ，且，， ， 的长是点P与上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，连接，求长的最小值． (2)如图4，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．求线段长的最小值． (3)如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，，求的最小值． 15．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形． 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形． (1)判断甲乙两位同学的结论（   ） A．甲正确，乙错误    B．甲错误，乙正确    C．两位同学都正确    D．两位同学都错误 (2)如图1，的半径为3，矩形内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路： 矩形面积最大 → 面积最大 → 当是______三角形时，面积最大 → 圆内接矩形是正方形 根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少？ (3)如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，，，矩形的两边和分别为同心圆的两条弦．请你求出矩形面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆的基本性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、与圆有关的角度计算 题型2、弧长、路径长计算 题型3、图形面积 题型4、与圆有关的线段问题 题型5、与圆有关的线段比值问题 题型6、与圆有关的最值计算问题 题型7、圆的折叠问题 题型8、圆与函数的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的基本性质问题，要熟练掌握圆心角、圆周角、弦、弧、直径之间的相互关系，灵活运用垂径定理、圆周角定理及其推论；求弧长与路径长时，要找准圆心、半径和圆心角，注意动点的轨迹形状；与面积相关的问题，常用割补法、对称变换或等积变形将不规则图形转化为规则图形；涉及线段长度与比值时，要善于构造直角三角形、相似三角形或利用圆幂定理、切割线定理；最值问题常结合对称、折叠、旋转转化为定点到定圆或定直线的距离问题；圆与函数综合题要建立合适的坐标系，利用解析几何方法求解，同时注意几何性质的运用． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、与圆有关的角度计算 典例1 如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，再由翻折的性质确定，，，得出，，确定，再由等腰三角形的性质及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 经过圆心， ， 由翻折得，，，， ， ∵， ∴， ， ， 是的外角， ， ， 由旋转的性质得，． 题型模版 1.特征：利用圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系进行角度计算． 2.方法：根据同弧所对圆心角与圆周角的倍数关系；结合等腰、等边三角形及三角形内角和进行推导；注意圆内接四边形对角互补． 变式1-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，等腰三角形的底边、腰分别交于点，，其中弦．连接，，设度，度，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，则，，所以，由，根据垂径定理得，则，可证明，则，所以，由，且度，度，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，则，， ∴， ∵是的直径，且弦， ∴， ∴， ∵等腰三角形的底边为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且度，度， ∴， 故选：D． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，E是圆上一点，将沿折叠至，使点D落在上．且过点O，则=________，=________． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，设交于点，设，由折叠性质得，，是的直径，进而得，，由此得，，根据圆周角定理得，则，再根据得，则，解方程即可；设，，则，，，证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，则，整理得，继而得，据此即可得出的值． 【详解】解：延长交于点，连接，设交于点，如图所示： 设， 将沿折叠至，使点落在上，且过点， ，，是的直径， ，， ， 在中，， 根据圆周角定理得：， ， 是等腰三角形，且， ， ， 解得：， ； 设，， ，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠及其性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 题型2、弧长、路径长计算 典例2 如图，是的外接圆，其中，，以为圆心为半径的弧恰好过圆心且交于点，分别以、为圆心，适当长度为半径作弧，两段弧交于点，连接并延长交于点，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图及性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、弧长公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接、，根据尺规作图可得是等边三角形，是的角平分线，则，根据圆周角定理得到，从而求出的度数，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接、， 以为圆心为半径的弧恰好过圆心且交于点， ， 是等边三角形， ， ∵ 是的直径，， 由作图可知，是的角平分线， ， ， ， ， 劣弧的长为． 题型模版 1.特征：求圆中弧长、动点路径长及轨迹相关问题． 2.方法：确定轨迹圆的圆心与半径；计算对应圆心角；代入弧长公式 l=nπR/180；注意起点、终点与运动方向． 变式2-1 如图，为等边三角形的外心，点以的速度从点出发沿方向运动，连结并延长交于点，点关于的对称点为点，连结，．设点运动的时间为，已知，当时，则点运动的路径长为_________cm． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质、三角形外接圆的性质可知，利用勾股定理求出，根据翻折的性质可知，由点 的运动轨迹可知点运动的轨迹是，根据弧长公式即可求出点的运动轨迹长度． 【详解】解：如下图所示，连接、，过点作， 点为等边三角形的外心， ，，， ， ，是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ， 由翻折可知， 当时，点在点的位置，点与点重合， 当时，点在的中点处，点与点重合， 点运动的轨迹是， 点为等边三角形的外心， ， 的长度为， 点的运动轨迹长度为． 变式2-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是______． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，得出点在以点为圆心，半径为的圆上运动，再结合点E的运动路径，推出点的运动路径，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点，点为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为的圆上运动， ∵点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B，且绕转过的角度为， ∴点沿着圆弧从点顺时针运动到点，且绕转过的角度为， ∴点F的运动路径长是周长的一半， ∴点F的运动路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的轨迹问题，勾股定理，三角形中位线定理，弧长公式，坐标与图形，正确找出点的运动轨迹是解题的关键． 变式2-3 如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴为的中点． (2) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质，可得，可得，可得，，可得，由等角对等边可得，即可证得结论； （2）连接是等边三角形，可得，可得，由圆周角定理可得，由三角形外角的性质，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，可得，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由（1）得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长度． 题型3、图形面积 典例3 如图，，的角平分线交于点，以的中点为圆心，为半径的半圆分别交，于点，，连接，，．若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、平行线的性质、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 利用圆周角定理得到，进而求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 扇形的面积为． 题型模版 1.特征：圆中阴影部分面积、弓形面积及图形面积的计算． 2.方法：用扇形面积、三角形面积进行割补；利用对称、旋转实现等积转化；注意整体减局部或局部相加． 变式3-1 如图，矩形的长为，宽为，将长为的线段的两端放在矩形的相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止．点是矩形内的任意一点，把点落在线段的中点所经过的路线围成的图形区域内的概率记为，则_____． 【答案】 【分析】中点M的运动经过的中点，上两段线段，以矩形的四个顶点为圆心的4段弧．两个点和两条线段没有面积，4条弧围成的扇形有面积．线段与矩形的四个直角围成的直角三角形里，点M到直角顶点的距离恒为长度的一半，据此求出扇形面积，即可计算M的运动路线围成的区域的面积，再计算矩形的面积，根据几何概型的概率公式，用区域面积除以矩形面积得到概率P． 【详解】如图，矩形的长为，宽为，将长为的线段的两端放在矩形的边上滑动，点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点停止．线段的中点为M． 当线段在边上时，M在的中点G； 当线段在和上滑动时， ∵， ∴， ∴点M运动的路线是； 当线段在边上滑动时，点M运动的路线是线段； 当线段在和上滑动时， ∵， ∴， ∴点M运动的路线是； 当线段在边上时，M在的中点J； 当线段在和上滑动时， ∵， ∴， ∴点M运动的路线是； 当线段在边上滑动时，点M运动的路线是线段； 当线段在和上滑动时， ∵， ∴， ∴点M运动的路线是； ∴点M运动的路线围成的图形的面积为, ∴点落在点所经过的路线围成的图形区域内的概率为． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质和旋转的性质，连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．知道求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 为等腰直角三角形，， ，，， 绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， 垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 变式3-3 （25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是______，弦的长度是______． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，可得是直径，，，，，则，由勾股定理得，然后在中，由勾股定理得，再由弧，弦关系定理得；求出，，则，那么弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和等于扇形的面积减去的面积，最后再乘以2即可． 【详解】解：连接，，过点作于点， ∵为圆周上十二等分点， ∴是直径，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴同上可得，， ∴， ∴弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，角直角三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 题型4、与圆有关的线段问题 典例4 如图，是半圆的直径，为弦，于点，过点作交半圆于点，过点作于点．若，则的长为___________． 【答案】3 【分析】根据垂径定理求出，证明，推出，即可求出答案． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：与圆有关的弦长、半径、直径及线段长度计算． 2.方法：构造由半径、弦心距、半弦组成的直角三角形；利用垂径定理、勾股定理列方程；结合已知条件求解． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，点是半径为2的圆上一点，内接于该圆，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与圆的另一个交点记为，连接，，则线段的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．利用勾股定理的逆定理求得，根据瓜豆原理求得点的轨迹是一个圆，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则点就是点运动轨迹的圆心，半径为的长，当点在直径的延长线上时，线段有最大值，当点在直径上时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴点的轨迹是一个圆，则点的轨迹是一个圆，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则点就是点运动轨迹的圆心，半径为的长， ∵， ∴， ∴点在同一直线上，且为的直径， ∴， ∴， 当点在直径的延长线上时，线段有最大值，最大值为， 当点在直径上时，线段有最小值，最小值为， ∴线段的取值范围为， 故答案为：． 变式4-2 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的外接圆，是直径，于点，的角平分线交于点．连接，若，则___________． 【答案】 【分析】连接，由等边对等角，结合角平分线的定义，可得，可得，由圆周角定理，可得，作于点，可得，由勾股定理可得，，可得，从而可得． 【详解】解：连接， ∵是的外接圆，点在上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理． 变式4-3 （25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，扇形中，，，点P是线段上的动点，将扇形绕点P逆时针旋转得到一个新扇形，当点O在新扇形的内部（包括边界）时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】如图，过点O作于点H，连接、、，由题意求得，，，求得，利用勾股定理求得，进而求得，当点O在线段上时，证得，得，求得，证得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点H，连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点O在上时，由题意得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点O在线段上时，由题意得，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质 题型5、与圆有关的线段比值问题 典例5 如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ． 【答案】5 【分析】连接，，，根据矩形的性质得，，，证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，设，，则，在中，利用勾股定理可得，从而可得，再在中，利用勾股定理进行计算可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， ， ∴或（舍去）， ∴． 题型模版 1.特征：圆中线段比值、比例关系及代数化求值问题． 2.方法：通过相似三角形、三角函数或圆幂定理建立比例；设未知数列方程；注意化简与代换． 变式5-1 如图，已知菱形的顶点在⊙上，且边，分别与⊙相交于，两点，连接．若点为的中点，则的值为_____． 【答案】 【分析】设的中点分别为，连接，不妨设，则，，利用勾股定理求出，可证，进而得到，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设的中点分别为，连接， 不妨设，则，， 由垂径定理可得， ， 在菱形中，， 在和中， ， ， ，，， 过作，则四边形为长方形， ，，， ， ． 变式5-2 （25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，于点，过，，三点作圆弧，其圆心为，作于点，于点．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．连接，设，，得到，，．根据，，，得到四边形为矩形，，，进而求出，根据勾股定理得到，，进而得到，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，． ∴四边形为矩形，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 变式5-3 （25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形中，以边上的点O为圆心，的长为半径画弧，分别与边，交于点E，F．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理、圆的基本性质、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆的基本性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键；连接，过点O作于点G，由题意易得，，则有，设，则有，然后根据勾股定理可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，过点O作于点G，如图所示： 由题意得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 题型6、与圆有关的最值计算问题 典例6 如图，在矩形中，，．点E为的中点，点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G，连接，则点F从点A运动到点B的过程中，的最大值与最小值之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点G的运动轨迹，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G， 则由对称的性质可知，， ∴点G的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的一段弧，如图， 当点F与点A重合时，有最大值为， 则由勾股定理， ∴的最大值为10， 当点E，点G，点C三点共线时，有最小值， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值与最小值之和为． 题型模版 1.特征：圆背景下的线段最值、面积最值及范围问题． 2.方法：识别定点、定长、定角，转化为圆上点到定点或定直线距离；利用三角形三边关系或对称求最值． 变式6-1 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 【答案】// 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到． 【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最大，即最大， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 变式6-2 （25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，是圆的直径，点在圆上，是圆上的一个动点（不与重合），连接．过点作于，连接和．若，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了点到圆的距离，斜边上中线等于斜边一半，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点，连接，根据题意可得点在以点为圆心，长度为半径的圆上，则三点共线时，取最大值，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心，长度为半径的圆上， ， 当三点共线时，取最大值，如图， 此时， 故答案为：． 变式6-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接，首先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 点的运动轨迹为以为直径的，连接， ， ∴当点D在的延长线上时，的值最大， 是的直径，， ， 是等边三角形， ， 取的中点Q，连接， 则， 在中，， ， ， 则的最大值为． 题型7、圆的折叠问题 典例7 如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为得，进而得，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得，由是 的直径得，可得，代入可得，解方程求得的值即可判断其所在范围． 【详解】解：如图，连接、、， 由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴所在的范围是． 题型模版 1.特征：圆的折叠、翻折及其对应弧、角、线段关系问题． 2.方法：抓住折叠前后对应量相等；利用对称性确定对应点、对应弧；结合圆的性质列方程求解． 变式7-1 （25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】过点O作于点E，连接，由垂径定理得到，根据勾股定理得到．连接，则．连接，，根据和所对圆周角都是，得到，由点C是的中点，得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而可得的最小值为． 【详解】解：过点O作于点E，连接， ∴， ∵， ∴在中，． 连接，则， ∴的最小值为． 连接，， ∵和所对圆周角都是， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 变式7-2 （25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知是的直径，点为圆上一点．将沿弦翻折，交于点，把沿直径翻折，交于点，点恰好是翻折后的上一个四等分点，且，则的值为______． 【答案】/ 【分析】连接，，，根据题意和同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，所对的圆心角为，，根据直径所对的圆周角为可得，即，再根据角的和差得出为等边三角形，过点作与夹角为的线段，交于点，可得，设，则，根据勾股定理可得，再根据等边对等角可得，进而得，． 【详解】解：连接，，，如图所示： 根据题意可得，，，所对的圆周角是， ∴， ∴， ∵点恰好是翻折后的上一个四等分点， ∴，即， ∴， ∵等于半圆， ∴所对的圆心角为， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点作与夹角为的线段，交于点，，如图： ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质和判定，直径所对的圆周角为，勾股定理，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 变式7-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形内接于，，，点是上一点，连结，将沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径__________； （2）连接，若，则__________． 【答案】 【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到半径． （2）先由折叠性质推出，再证明弧的对称性得到，结合圆心角与圆周角的关系得出，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出，从而得到 【详解】解：（1）连接， ∵矩形内接于，，， ∴，，， ∴对角线为的直径， ∵，， ∴， ∴半径， 故答案为：； （2）连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弧沿折叠交于， ∴和关于直线对称，点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵是圆周角， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、圆的基本性质、折叠的性质及勾股定理的应用，熟练掌握圆内接矩形的对角线为圆的直径，以及折叠前后弧与角的对应关系是解题的关键． 题型8、圆与函数的综合问题 典例8 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，过点作的延长线于点，过点作于点，可证，得到，设，则，可得，利用抛物线的对称轴可得，即得到，最后把代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，则， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由图知，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 当时，，即， 故选：． 题型模版 1.特征：圆与函数、坐标系相结合的综合问题． 2.方法：建立坐标系写出圆与函数解析式；联立方程求交点；结合几何性质简化代数运算． 变式8-1 如图，二次函数（其中）的图像与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，，点为的外心．记的面积为，的面积为，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】先求得、，易得，则是等腰直角三角形，即；由三角形外接圆的性质、圆周角定理可得，．易得是等腰直角三角形，如图：过D作于N，过C作于M，证明可得，设，则，，即，解得：；然后用m表示出、，最后代入求值即可． 【详解】解：∵令时， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵令时，， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的外心． ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图：过D作于N，过C作于M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴的面积； ∵过D作于N，， ∴， ∴的面积为， ∴． 变式8-2 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图所示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的圆弧组成．抛物线的高度为，矩形的边，，圆弧的拱高为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在圆弧上，点，在抛物线上，轴． 问题解决：如图，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)分别求出抛物线的函数表达式和圆弧所在圆的半径． (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要到的水平距离为，求此时矩形的面积． 【答案】(1)的函数表达式为； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，可知，，，，设中点为P，则，由题干图可知，抛物线的顶点为，设表达式为：，代入求解即可；设圆弧所在圆的半径为，圆心为，连接，根据垂径定理的推论可知，根据勾股定理计算即可； （2）连接，则，作交于点Q，根据矩形的性质得到轴，轴，可知H、G纵坐标相同，即H、G关于抛物线对称轴对称，进而可知到抛物线对称轴的距离与到抛物线对称轴的距离相同，根据可知在抛物线对称轴上，则到抛物线对称轴的距离为，即，根据矩形的判定和性质求出，，根据勾股定理求出，将代入求出点坐标为，可知，根据矩形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，， 可知，，，， 设中点为P，则， 由题干图可知，抛物线的顶点为，即， 设表达式为：， 代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； 如图，设圆弧所在圆的半径为，圆心为，连接， ∵为的中点 ∴， ∵圆弧的拱高为，即， 在中，， 解得； （2）解：如图，连接，则，作交于点Q， ∵矩形， ∴， ∵轴， ∴轴，轴， ∴抛物线对称轴，H、G纵坐标相同， ∵H、G在抛物线上， ∴H、G关于抛物线对称轴对称， 即到抛物线对称轴的距离与到抛物线对称轴的距离相同． ∵，P在抛物线对称轴上， ∴在抛物线对称轴上， 即到抛物线对称轴的距离为， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 将代入的函数表达式得，， ∴点坐标为， ∴， 则矩形的面积为． 变式8-3 （25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）在平面直角坐标系中，图形上任意两个点的纵坐标分别记为，定义的最大值为图形的“竖直高”． (1)计算出下列图形的“竖直高”； ①，其中； ②如图1，以原点为圆心，作，四边形内接于，，与线段围成的图形； (2)如果抛物线与经过点的直线围成的图形“竖直高”是，求实数的值． 【答案】(1)①6；②； (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形、圆周角定理、二次函数的性质、一次函数的性质等知识点，掌握“竖直高”的定义以及数形结合思想是解题的关键． （1）①根据“竖直高”的定义求解即可；②如图：过点C作于点E，由圆周角定理得到，由，则，利用勾股定理求出、进而得到，即；根据三角形面积公式求出，即可得到点C的纵坐标为，根据“竖直高”的定义求解即可； （2）先求出直线的函数解析式，再与二次函数联立，求出两个交点的纵坐标，再根据二次函数与直线围成的图形“竖直高”是，分和两种情况讨论，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵的顶点； ∴纵坐标最大为4，最小为， ∴的“竖直高”为； ②如图：过点C作于点E， 根据题意得， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，解得：，即点C的纵坐标为， ∴与线段围成的图形的“竖直高”为． （2）解：设过点的直线的解析式为， 则有，解得， ∴过点的直线的解析式为， 设直线与抛物线交点坐标为，， 联立， 解得和， ∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∵与抛物线与经过点的直线围成的图形“竖直高”是，矛盾， ∴在之间，即， 当时，则，解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，则，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 综上，实数a的值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知平面直角坐标系内的三点，，，其中，两点的坐标分别为，，点满足（为坐标原点），则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点B的轨迹为直线，再得到点C的轨迹为圆，确定，，然后分两种情况分析：当时，得出圆半径，，过点D作轴，过点E作轴，交于点G，连接，确定，，结合图形得出，过点D作交圆于点C，此时取得最小值，利用等面积法求解即可；然后利用同样的方法得出，即可求解 【详解】解：∵ 点坐标为， 设，则，， ∴ ，即点在直线上， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴点在以为弦，圆心角为的圆上， ∴中点为，的垂直平分线为， 设圆心为， ∵ ，，， ∴，即 ， 解得，， 当时，， ∴圆半径，， 过点D作轴，过点E作轴，交于点G，连接，如图所示： ∴四边形 为矩形， ∴， ∴， ∴ ， 过点D作交圆于点C，任取一点，连接， ∵， ∴当点C位于图中位置时，取得最小值， ∴， 解得： ∴的最小值是：； 同理：当时，， 如图所示：， ∴不符题意，舍去， 综上可得：的最小值是： 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据“一线三垂直”易证，再根据垂径定理和圆周角定理，易得，，从而易证和为等腰直角三角形，易求，最后根据勾股定理，可求，计算面积即可． 【详解】解：， ，即， ，， ，即， ， ， ， ， 是的直径，， ，则， ， ， 为等腰直角三角形， 的面积为5， ，解得，则， 在中，， 则， ，即为等腰直角三角形， ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，为圆的弦，是弧的中点，连结并延长，是的半径，作，交的延长线于点，连结．给出下列结论：①若，则；②若，则．其中正确的是（） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 连接交于点F，则．由，根据垂径定理得垂直平分，，则，所以，由，得，推导出．若，可证明，则，可判断①正确；若，则，可证明，得，所以可判断②正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F，如图 则， ∴， ∵C是弧的中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，交的延长线于点D， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∴， ∴，故①正确； 若， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②正确． 故选：A． 4．如图，在锐角三角形中，分别以三边，，为直径作圆．记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（　　）． A．已知的三条中位线的长度 B．已知的面积 C．已知的长度，以及，的长度和 D．已知，的长度及的度数 【答案】C 【分析】由题意，推出，推出，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ， ， A、若已知的三条中位线的长度，则由三角形中位线性质可得三边的长度， 对于三角形，若已知其三条边长，可根据海伦公式，其中是三角形的三边，，求出其面积，即可得到的值，选项不符合题意； B、已知的面积，代入即可求得，选项不符合题意； C、∵已知两边长度和， 的长度不确定， 的面积也不确定， ∴不一定能求出的值，选项符合题意； D、连接，如图所示： 由是直径得，即， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ，据此即可求得的值，选项不符合题意． 【点睛】证明是本题的突破点． 5．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，得到，连接，根据圆周角定理结合等弧对等弦得到，，进而推出四点共圆，得到，求出，将绕点旋转，得到，推出三点共线，得到，三线合一，得到，进而得到，得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意，， 连接， ∵为半圆的直径，， ∴，， ∴，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， 将绕点旋转，得到，则，，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，则的最大面积是______，若的中点是，那么中线的最大值是______． 【答案】 / / 【分析】作的外接圆，分别连接，，，过作，交所在直线于点，所以，当最大时，有最大，根据圆的性质可得当三点共线时，最大，然后证明是等边三角形，则有，由勾股定理可得，从而求出的最大值；取中点，连接，，，，又的中点是，所以是中位线，则有，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动，当点三点共线时，有最大值，然后同上理即可求解，根据题意、正确构造辅助圆是解题的关键． 【详解】解：作的外接圆，分别连接，，，过作，交所在直线于点，如图， ∴， ∴当最大时，有最大值， 根据圆的性质可得当三点共线时，最大，如图， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 如图，取中点，连接，，，， ∵的中点是， ∴是中位线， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， 当点三点共线时，有最大值，如图， 同上理：， ∴中线的最大值是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点C是半圆O上的一个动点，将沿着折叠交直径于点D，点E是的中点，连结．若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质．作点D关于的对称点交原上，连接，作点O关于的对称点交上，连接，，，，，过点C作，利用倒角及圆周角定理得出相关角度的表达式，再利用，列出α的方程求解α的值，通过垂径定理证得是等腰直角三角形，从而求得的值，由三角形任意两边之差小于第三边得出，当C，O，E三点共线时，有最小值，即可解答． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点交原上，连接，作点O关于的对称点交上，连接，，，，，过点C作， ∵为半圆直径，， ∴， ∵E是中点， ∴， 设的度数为α，则的度数为， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，，，， ∴的度数为α，的度数为α， ∴， ∴，即， ∴的度数为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可知，E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴当C，O，E三点共线时，有最小值， ∴， 即最小值为， 故答案为：． 8．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，点A、B、C均在圆上，连接、、、、． (1)若，，求的度数． (2)若，， ①若，求． ②若，求点O到的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据圆周角定理求出，然后根据求解即可； （2）①延长交于点，连接，则，，由，得，根据平行线的性质得，，所以，根据圆心角、弦的关系得出，最后根据勾股定理求解即可； ②过点作于点，于H，作于点，过点作于点．证明出，先根据勾股定理求出，利用面积法求出，同理求出，得出，求出x的值，进而可求出． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：①延长交于点，连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②如图，过点作于点，于H，作于点，过点作于点F， ， 又， 四边形是矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 同理可求， ， 到的距离为， ， ， ， 解得， ， 即点O到的距离为． 9．（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连接，求的长． ②如图3，连接，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 【答案】(1) (2)①，②的最大值为10 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可； ②利用角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可； （3）延长，，构造直角三角形，利用，角，找到线段之间的联系即可． 【详解】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，，作于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理，得，得，则， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 由①，得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F在以为弦，所对圆周角为的圆上， ∴当为所在圆直径时，的长最大， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴，即为最大值， ∴的最大值为10； （3）解：如图，延长，，交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴． 10．如图①，是的直径，点C是上的点，连接并延长至点D，使，连接交于点E． (1)求证：点C是劣弧的中点； (2)如图②，连接，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是⊙O的直径，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （2）连接，由已知条件得到是等边三角形，得到，则，推出，，于是得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连结CB， 是的直径， ， ， ， ， ， 点C是劣弧的中点． （2）解：如图，连结， ， ∴， 是等边三角形， ∴， 是的直径， ∴， ∴， 由（1）知，点C是劣弧的中点． ， ， ∴． ，， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知，的半径为10，是的弦，． (1)如图1，作弦，若满足，则______； (2)若C，D是圆上两点，且满足． ①如图2，连接，求的长； ②在圆上截取（点A，F不重合），连接，，分别交线段于点M，N．当点N恰为的中点时，求的面积． 【答案】(1)90 (2)①；②或 【分析】（1）根据圆周角定理进行解答即可； （2）①连接并延长，交于点E，连接，根据，得出，求出，根据勾股定理求出结果即可； ②分两种情况：当点C与点F重合时，当点C与点F不重合时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①解：连接并延长，交于点E，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵的半径为10，， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴． ②解：如图，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，当点C与点F重合时，点M与点F重合，即点M在上， ∴此时点C、F、M重合， ∵点N是的中点，，即 ∴，且为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 当点C与点F不重合时，连接、、、，如图3所示， ∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 把绕点B逆时针旋转得到，连接交于点G，如图3所示， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点B作于点P，如图3所示： ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，圆周角定理，垂径定理的推论，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 12．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知是的外接圆，点是上的动点（不与、重合），连接并延长到，连接、交于点．已知． (1)求证：； (2)若，，为等腰三角形 ①证明：； ②当时，证明：； ③时，求的长 【答案】(1) 证明：四边形内接于， ， 由圆周角定理得：， ， ， ； (2) ①是上的动点（不与重合）， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ②如图， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ； ③的长为 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键 （1）根据圆内接四边形的性质得，根据圆周角定理得，结合已知得，据此即可得出结论； （2）①先证明，，得到，即，则，即可解答； ②先推导出，得到，继而证明，得到，则，即可解答； ③当时，过点作于，过点作于点，作的平分线交于点，过点作于点，于点，连接，如图，先证明，则，，，利用三角形的面积公式求出，在中，，再证明，在中，，由此得，然后在中，由勾股定理得：可求出，进而即可得解． 【详解】（1）略 （2） ③当时，过点作于，过点作于点，作的平分线交于点，过点作于点，于点，连接，如图， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， 设， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ，解得：， ， 在中，， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 在，由勾股定理得：， 答：的长为． 13．如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知．    (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点，使得，连接，，    ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (3) 【分析】（）连接，由圆周角定理得，即得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解； （）延长至点，使得，连接，，可证，得到，，，再证明，得到，进而由 即可求证； （）连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，可得，由四边形是矩形得，又由正方形的轴对称性可知，由（）已知，进而得到，即得到 ，由根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得，，得到，最后根据列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）略 （3）解：如图，连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，    ∵，， ∴， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由正方形的轴对称性可知，由（）已知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 即． 14．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）阅读材料：如图1，若点P是外的一点，线段交于点A，则长是点P与上各点之间的最短距离． 证明：延长交于点B，显然．如图2，在上任取一点C（与点A，B不重合），连接，． ，且，， ， 的长是点P与上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，连接，求长的最小值． (2)如图4，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．求线段长的最小值． (3)如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接与相交于点P，由题意得，此时最短，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由线段中点的定义可得，由折叠的性质可得，则点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）；连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）作点D关于的对称点，连接，，设分别交于点N，交半圆O于点H，由轴对称的性质可得，，则可推出当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图3所示，连接与相交于点P，由题意得，此时最短， ∵的直径，且， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵四边形是边长为2的菱形， ∴，； ∵M是的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点N在线段上运动， ∴点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）； 连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，如图4所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，当点与点Q重合时，最短，最短为； （3）解：如图5所示，作点D关于的对称点，连接，， 设分别交于点N，交半圆O于点H， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴由题意得，当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长； 如图5所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 15．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形． 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形． (1)判断甲乙两位同学的结论（   ） A．甲正确，乙错误    B．甲错误，乙正确    C．两位同学都正确    D．两位同学都错误 (2)如图1，的半径为3，矩形内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路： 矩形面积最大 → 面积最大 → 当是______三角形时，面积最大 → 圆内接矩形是正方形 根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少？ (3)如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，，，矩形的两边和分别为同心圆的两条弦．请你求出矩形面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？ 【答案】(1)A； (2)是等腰直角三角形，圆内接矩形的最大面积是； (3)矩形面积的最大值为，矩形的周长． 【分析】本题考查了圆内接四边形，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可； （2）连接，作，，可知是直径，则，根据矩形的性质可知，即当面积最大时，矩形面积最大，由，，，可知面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，即可得到的形状； （3）过作于于，判定四边形是矩形，得到，由垂径定理推出，求出的面积，得到，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可． 【详解】（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形； 即甲正确，乙错误． 故选：A； （2）解：如图，已知矩形内接于圆O，连接，作，， ∵， ∴是直径， ∴， ∴ ∵矩形， ∴， 即当面积最大时，矩形面积最大， ∵，，， ∴面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合， ∵，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：过作于于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ∴的面积， ∵矩形的面积， ∴， ∴当的面积最大时，矩形的面积最大， 为两圆的半径，值恒定，以为底时，的高， ∴当时，的面积最大， 此时，，， 当时，的面积， ， ， ， ∴此时矩形的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $