微专题04 一元二次方程与动点问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

**基本信息** 以动点运动为载体，构建“题型-方法-模板”三维训练体系，系统整合一元二次方程与几何图形的动态关联，培养几何直观与代数推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单一动点面积（长度）计算|6道|识图形定底高→用t表边长→套公式列方程→解方程验根|从静态几何量计算到动态变量表示，建立“几何关系-代数方程”转化模型| |双动点组合图形面积等分|6道|找关联消元化一→割补求面积→列比例方程→解验判断|通过双动点联动关系，强化割补法与方程思想的综合应用| |存在性与临界点探究|6道|假设列方程→算判别式定根→验t范围下结论|深化代数推理，用判别式判断几何存在性，体现数学思维的严谨性|

微专题04 一元二次方程与动点问题 题型01 单一动点引发的面积（长度）计算问题 考向分析：此类题型通常在一条固定的线段或直角边上设定一个动点，随着时间匀速移动。要求探究在某一特定时刻，该动点与周边定点构成的三角形（通常是直角三角形或底边在数轴上的三角形）面积是否达到预定值。核心得分点在于用含时间t的代数式精准表示出三角形的底和高。 解题方法： 1. 识图形，定底高：观察动点的运动轨迹，确定其与已知定点构成的三角形。优先选择落在网格线、坐标轴或已知直角边上的边作为底。 2. 用t表示边长：根据动点的速度和初始位置，用时间t的代数式表示出目标三角形的底边长和高（或两条直角边长）。 3. 套面积（或勾股）公式：代入三角形面积公式或勾股定理，整理得到关于t的一元二次方程。 4. 解方程并验根：解出t的值，并根据动点的运动总时长（如线段总长度除以速度）对t进行取舍。 答题模板： 1. 设：设运动时间为t秒（0≤t≤总时长）。 2. 表：用t表示出相关线段的长度（注意动点起点和方向）。 3. 列：根据等量关系（如面积相等、边长相等），代入相应几何公式，列出关于t的一元二次方程。 4. 解：运用适当方法解方程。 5. 验：检验t值是否在定义域内，得出最终结论。 1．（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或或． 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、方程的解法，掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用及“分类思想”的应用是解题关键． (1)根据已知条件运用勾股定理计算即可； (2)根据已知条件运用“分类思想”分别构造以为底、为底、为底的等腰三角形，然后根据等腰三角形的判定与性质及勾股定理分别列出关于的方程，最后，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：①如图1，当为底时，点在上，，． 作垂直平分，垂足为点，交于点，连接． 由（1）得：． ∵垂直平分， ∴． 在中，， 即， 解得：． ②如图2，当为底时，点在的延长线上，． ∵， ∴， 解得：． ③如图2，当为底时，点在的延长线上，，． ∵，， ∴（“三线合一”）， 即， 解得：． ∴当是等腰三角形时，的值为或或． 2．（23-24九年级上·广东广州·月考）如图，在中，，，于点，动点从点出发以的速度沿线段向终点运动．设动点运动时间为，    (1)求的长． (2)当的面积为时，求的值． (3)动点从点出发以的速度在射线上运动．点与点同时出发，且当点运动到终点时，点也停止运动．是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)2或或 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，再利用勾股定理求解即可； （2）先根据题意得到，再根据三角形的面积公式列方程求解即可； （3）假设存在，求得，再分点M在线段上和点M在射线上两种情况，利用三角形的面积公式列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，    ， ∴； （2）解：由题意，，， 由得， 故当的面积为时， 的值为； （3）解：假设存在，使得， 若点M在线段上，即时，， 则， 整理得，解得，（舍去）； 当点M在射线上时，即时，， 则， 整理，得， 解得，，都符合题意， 综上，满足条件的t值为2或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，理解题意，掌握动点问题的解题方法，注意需分类讨论求解． 3．（25-26九年级上·重庆·月考）如图1，一次函数分别与轴，轴交于点，点在轴上满足． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点是直线上一动点，线段在轴上移动，记为，分别连接，当线段最短时，求周长的最小值； (3)如图3，在（2）问的条件下，将直线沿射线方向平移个单位得到直线，点是直线上一动点，连接，是否存在点使得直线与直线与的夹角等于，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点B坐标，再用待定系数法求解即可； （2）先根据垂线段最短利用勾股定理求出点，再利用建桥选址（平移）模型和将军饮马（对称）模型将周长的最小值问题转化为，再根据坐标系中两点距离公式求解即可， （3）先求出点点沿射线方向平移个单位得到点坐标为，进而求出直线的解析式，再根据当轴时，，求出此时点的坐标为，进而利用对边等角找到另一个满足条件点，利用坐标系中两点距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把、代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：对于一次函数， 令，则， ∴， ∴， 当线段最短时，则， ∵点是直线上，且， ∴设， ∵， ∴， 解得： ，（不符合题意舍去）， ∴， ∵周长 ∴当最小时，周长最小， 如图，取点关于轴对称点，将点向右平移个单位，得，连接、、、， 由对称可知：， 由平移可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一直线上，即点在与轴交点上时，最小， 即的最小值为， ∵， 周长最小为． （3）解：∵， ∴直线解析式为， 设点沿射线方向平移个单位得到点坐标为， 则， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当轴时，，此时点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 所以点的坐标为， 在直线取点使，设点坐标为，如图： ∴ ∴， ∴，， ∴，即直线与直线与的夹角等于， 由可得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴点坐标为， 综上所述：以点的坐标为或 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，解题关键是利用平行和对称转化线段关系，由建桥选址（平移）模型和将军饮马（对称）模型求出最小值，利用平行直线的一次项系数相等求解析式． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平面直角坐标系中，，将进行折叠，使B与C重合，折痕交于A，连接交y轴于F，． (1)求线段的长度； (2)动点E从F出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为t，的面积为S，若D到的距离为，求S与t之间的关系；（不用写出t的取值范围） (3)在（2）的条件下，当时，动点E停止运动．连接，此时满足，求E点坐标． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质可得，则，再证明，进而证明，即可得到； （2）分当时，当时，两种情况求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）过点D作于N，过点E作轴于G，轴于Q，连接，则，由勾股定理得，则，由勾股定理得；求出，再利用等面积法求出；如图所示，在延长线上取一点M，使得，过点B作于H，连接，设，则，证明，得到，进而求出，则；证明，得到；由勾股定理得到，则，解得或（舍去），则， ，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，则． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：当时，，则， ∵D到的距离为， ∴； 当时，， ∵D到的距离为， ∴； 综上所述，； （3）解：如图所示，过点D作于N，过点E作轴于G，轴于Q，连接，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，在延长线上取一点M，使得，过点B作于H，连接，设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程等等，解题的关键在于作出辅助线构造全等三角形，等腰三角形和直角三角形． 5．（23-24九年级上·广西南宁·月考）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点，为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． (1)观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． (2)【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； (3)【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转得，即可求解； （2）同理将绕B点逆时针旋转得到，当C、P、、四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E，同理可得，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵B、P、、四点在同一直线上， ∴， ， 由旋转得：， ∴， ∴； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕B点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得是等边三角形，则，， ∴, ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，将绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E， ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴， 设正方形的边长为，则有， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 故正方形的边长为2． 6．（23-24八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，在射线上有一动点F，连接、，M为x轴上一动点，连接、，当时，求的最大值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿直线平移得到，若在平移过程中是以为一腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义： （1）先把点E坐标代入中求出点E坐标，再求出点C坐标，进而求出点B坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）先求出，得到，则，可得；如图所示，过点F作轴交直线于H，作点B关于x轴的对称点，连接，则；设，则，可得，根据，得到，解得，则；由轴对称的性质可得，根据，得到当点M在直线上时，有最大值，即有最大值，最大值即为的长，则的最大值为； （3）设，则，可得，，，再分当时， 当时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点F作轴交直线于H，作点B关于x轴的对称点，连接，则； 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当点M在直线上时，有最大值，即有最大值，最大值即为的长， ∴的最大值为； （3）解；设， ∵沿直线平移得到的， ∴点F到的平移方式与点C到点的平移方式相同， ∴， ∴，， ， 当时，则， 解得或， ∴或； 当时，则，解得， ∴； 综上所述，或或． 题型02 双动点引发的组合图形面积等分问题 考向分析：此类题型通常涉及两个动点，分别在不同射线或线段上运动（如一个在底边上，一个在腰上）。题目要求在某一时刻，这两个动点与某些定点构成的组合图形（如梯形、不规则四边形）面积等于原图形面积的一半（或特定比例）。核心得分点在于割补法求面积以及建立双动点之间的联动关系。 解题方法： 1. 找关联，消元化一：若两个动点运动速度不同，需通过时间t将它们各自走过的路程表示出来。若一个动点的位置由另一个决定，需先求出两者的函数关系式，最终将目标面积化为关于单一变量（通常是时间t）的表达式。 2. 割补求面积：将要求的组合图形分割成两个易计算的三角形（或用一个大图形减去一个小图形），分别用含变量的代数式表示其面积。 3. 列比例（或等值）方程：根据“部分面积是整体面积的几分之几”列出一元二次方程。 4. 求解判断：解方程，若求得的解在各自动点的合法运动范围内，则存在；否则不存在。 答题模板： 1. 设：设其中一个关键动点为x（或时间为t），并表示出另一动点坐标或长度。 2. 割/补：过转折点作垂线，将目标四边形分割为两个以动点所在边为底边的三角形。 3. 列：分别写出两个三角形的面积表达式并求和，令其等于预设面积（或整体面积的一半），列出方程。 4. 解：化简为一元二次方程标准形式，求解。 5. 答：判断解的有效性并作答。 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 2．（2026·天津河西·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，；②当时，的长度最小；③有两个不同的值满足面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】代入，得到与的长度，由此可判断是否相等；由勾股定理表示出的长度，再由最值求解即可；由边长表示出面积，从而求解关于t的一元二次方程，由公式法求解即可． 【详解】解：①∵点的运动速度为，点的运动速度为， 当时，，， 则， 则当时，，故①正确； ②过点N作交于点P，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 则在中，，， ∴， 在中，， 当时，的长度最小，故②错误； ③， 则有，且， 可得， ∴，即，， 即有两个不同的值满足面积为，故③正确． ∴正确结论的个数是2个． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为时，，利用勾股定理，结合，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，， 的值为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·海南海口·阶段检测）如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为． (1)当为何值时，两个动点第一次相遇； (2)从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？ 【答案】(1)t=20 (2)t为6或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程；等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点； （1）根据题意得方程即可求出答案； （2）有3种情况①如图，过作于，得到，求出的长，根据三角形的面积公式即可求出的值；②如图，与①类似即可求出的值；③如图：，，，得到方程的解不符合在上，综合上述得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：当为时，两个动点第一次相遇． （2）解：是边长为的等边三角形， ， 有种情况：①如图，过作于， ，，由勾股定理得： 由三角形面积公式得：， 解得：，舍去； ②如图2， ，，， 由三角形面积公式得：， 解得：或， 当时，在上，舍去， ； ③如图3： ，，， ， 此方程无解； 的值是，， 答：从出发到第一次相遇这一过程中，当为或时，点、、为顶点的三角形的面积为． 5．（25-26九年级上·山西临汾·月考）综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3)当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的运用， （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息，可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为， ∴点从的时间为，点从的时间为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下， 已知，， ∴， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴，则， ∴， 整理得，， 解得或， ∴当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 6．（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 题型03 几何运动中的存在性与临界点探究问题 考向分析：此类题型通常以“是否存在某一时刻，使得某两条线段相等（如构成等腰三角形）”或“使得某条线段达到某一长度”发问。核心得分点在于正向推导建立方程，并熟练运用根的判别式（Δ）判定解的现实存在性。 解题方法： 1. 盲解盲打列方程：假设存在这样的时刻，完全按照前两种题型的方法，利用几何定理（如勾股定理逆定理、等腰三角形两腰相等）列出关于t的一元二次方程。 2. 算判别式定乾坤：不直接求根，而是计算该一元二次方程的判别式。 (1) 若Δ<0，则方程无实数根，说明在运动过程中不可能出现题目所述情况。 (2) 若Δ≥0，则方程有实数根，需进一步验证求出的t是否符合实际运动范围。 3. 综合下结论：结合代数计算与几何实际，给出“存在”或“不存在”的明确结论。 答题模板： 1. 假设：假设存在这样的时刻t，使得题目条件成立。 2. 列：利用几何关系（全等、相似、等腰、勾股等）推导出关于t的一元二次方程。 3. 判：计算判别式。 4. 结：​ (1) 若Δ<0，则得出结论：“不存在这样的时刻”。 (2) 若Δ≥0，则求出t，检验是否在动点定义域内，再下结论。 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．点分别从点同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由 (3)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)连接将沿折叠得，是否存在某一时刻t，使点落在线段上？若存在，请求出此时t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，线段垂直平分线的性质，矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等，利用方程的思想求解是解题的关键． （1）先根据题意表示出，；由线段垂直平分线的性质得到，据此建立方程求解即可； （2）求出；根据三角形面积计算公式可得方程，解方程即可得到答案； （3）求出矩形的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （4）由折叠的性质可得，则可证明，得到；，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴； 当的面积等于时，则， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵在矩形中，， ∴； ∵的面积与五边形的面积之比等于， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （4）解：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 2．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动时间为：． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示） (2)是否存在t的值，使得的面积为？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，是否存在t的值．使得的面积等于，若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据的面积为列方程并解方程即可； （3）根据的面积等于列方程并解方程即可； （4）分别求出的面积和四边形的面积，的面积与四边形的面积之比等于，据此列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴，， 故答案为：， （2）∵点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，且， ∴， 由题意可得，， 解得（不合题意，舍去） ∴当时，的面积为； （3）由题意可得，，，， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴当时，的面积等于； （4）由题意可得，的面积， 四边形的面积， ∵的面积与四边形的面积之比等于， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） (1)当t为何值时，是等腰三角形？ (2)当F为边的中点时，求此时的长度． (3)是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)存在， 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，一元二次方程的实际应用，正确理解题意时解题的关键． （1）由矩形的性质可得，根据题意可得，则，当是等腰三角形时，，建立方程求解即可； （2）由题意得当F为边的中点时，，则，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，由（1）知，，则，利用勾股定理得到，当点D在线段的垂直平分线上时，，建立方程求解即可； （4）由（3）知知，，，，，根据的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积，结合的面积是矩形面积的，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 根据题意可得，则， 当是等腰三角形时，则， ∴， 解得； （2）解：由题意得当F为边的中点时，， 则，解得，, ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，， 在矩形中，，， 由（1）知，，则， ∵， 当点D在线段的垂直平分线上时，，即， ∴，即， 解得或（舍去）； （4）解：存在，， 由（3）知，，，，， ∵的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴，即， 解得． 4．（25-26九年级上·广西北海·月考）如图，在中，，，，现有两点，分别从点和点同时出发，沿边，向终点移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为． (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据点P，Q的运动时间和运动速度可得，的长度，再结合的长度即可求得； （2）根据三角形的面积公式得到，，根据列出方程，求解即可解答． ∵， ∴ 【详解】（1）解：∵点，的速度分别为，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：， （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当时，四边形的面积等于． 5．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在，或 【分析】（1）要使四边形的面积是长方形面积的，此时点P应在上，才能构成四边形．根据路程速度时间，分别用t的代数式表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为________； (2)当为何值时，的面积是12？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）作于点D，则是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标； （2）作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点， 利用分割法得到，列出方程，可求出此时t的值； （3）根据（2）所求得t的值，再求出的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点，    ∵平行四边形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 由题意，，，则， ∴， ∴， ∴ ， 解得； 此时，， ∴点与点重合，即， 故当时，的面积为12； （3）解：存在， 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：，， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题04一元二次方程与动点问题 题型01单一动点引发的面积（长度）计算问题 一元二次方程与动点问题 题型02双动点引发的组合图形缅积等分问题 题型03几何运动中的存在性与临界点探究问题 /oo 德点型戒 题型01单一动点引发的面积（长度)计算问题 嫦方法 考向分析：此类题型通常在一条固定的线段或直角边上设定一个动点，随着时间匀速移动。要求探究在某 一特定时刻，该动点与周边定点构成的三角形（通常是直角三角形或底边在数轴上的三角形）面积是否达 到预定值。核心得分点在于用含时间t的代数式精准表示出三角形的底和高。 解题方法： 1.识图形，定底高：观察动点的运动轨迹，确定其与已知定点构成的三角形。优先选择落在网格线、坐 标轴或已知直角边上的边作为底。 2. 用t表示边长：根据动点的速度和初始位置，用时间t的代数式表示出目标三角形的底边长和高（或两 条直角边长)。 3. 套面积（或勾股）公式：代入三角形面积公式或勾股定理，整理得到关于t的一元二次方程。 4.解方程并验根：解出t的值，并根据动点的运动总时长（如线段总长度除以速度）对1进行取舍。 答题模板： 1.设：设运动时间为t秒(0≤t≤总时长)。 2.表：用t表示出相关线段的长度（注意动点起点和方向）。 3.列：根据等量关系（如面积相等、边长相等），代入相应几何公式，列出关于的一元二次方程。 4. 解：运用适当方法解方程。 5.验：检验t值是否在定义域内，得出最终结论。 1.(2024福建泉州二模)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm,动点P从点A出发 在射线AC上以2cm/s的速度运动.设运动的时间为ts. 6 D (I)直接填空：BC的长为 cm; 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)当aPAB是等腰三角形时，求t的值 2.(23-24九年级上广东广州月考)如图，在ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC于点D ,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿线段AD向终点D运动.设动点运动时间为t, P B (1)求AD的长. (2)当△PDC的面积为15cm2时，求t的值. (3)动点M从点C出发以2cm/s的速度在射线CB上运动.点M与点P同时出发，且当点P运动到终点 D时，点M也停止运动，是否作在1，使得5m古5？若作在，请求出的值：若不作在，请说 明理由。 3,(2526九年级上重庆月考)如图1，一次函数y-+3分别与x轴，y轴交于点么B,点C在X轴上 满足0C=20B. 图1 图2 图3 (I)求直线BC的解析式： (2)如图2，点P是直线BC上一动点，线段A0在x轴上移动，记为A'O',分别连接OP,A'P,OP,当线 段OP最短时，求△PA'O'周长的最小值； (3)如图3，在(2)问的条件下，将直线BC沿射线OP方向平移25个单位得到直线1，点Q是直线1上 一动点，连接CQ,是否存在点Q使得直线CQ与直线BC与的夹角等于∠OBC,若存在，请直接写出点 Q的坐标，不存在，请说明理由. 4.(23-24八年级下，黑龙江哈尔滨月考)如图，在平面直角坐标系中，∠CDB=90°，将Rt△BCD进行折叠， 使B与C重合，折痕交BD于A,连接AC交y轴于F,AD=7. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求线段AF的长度； (2)动点E从F出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线FA运动，设运动时间为t,ADE的面积为S, 若D到4C的距离为35，求S与t之间的关系，（不用写出t的取值范围） 18 (3)在(2)的条件下，当t=9时，动点E停止运动.连接BE,此时满足2LAEB-∠DBC=180°，求E 点坐标。 5.(23-24九年级上广西南宁月考)【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业 余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题.请托里拆利解答：如图①，给定不在一条 直线上的三个点A、B、C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置.托里拆利成功地解决了 费马的问题.后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的 点称为ABC的费马一托里拆利点. D 图① 图② 图③ 图④ 【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△APC,连接PP', .ZPAP'=60,AP=AP',PC=P'C' ∴△APP'为等边三角形， .AP=PP', .PA+PB+PC=PP'+PB+PC 点C可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC为定长， 当B、P、P、C四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小. (I)观察图②中∠APB、∠BPC和∠CPA,试猜想这三个角的大小关系， (2)【类比探究】如图③，在直角三角形ABC内部有一动点P,LACB=90°，∠BAC=30°，连接 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PA,PB,PC,若BC=2.求PA+PB+PC的最小值； (3)【拓展应用】己知正方形ABCD内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为√2+√6，求出 此正方形的边长。 6.(23-24八年级下·重庆期中)如图1，在平面直角坐标系中，直线4：y=-x+6与4交于点E(e,4),☑与x 轴，y轴分别交于C,D两点，与x轴，y轴分别交于A,B两点，且0B=)OC y米 图1 图2 图3 (1)求直线的解析式： (2)如图2，在射线EC上有一动点F,连接AF、BF,M为x轴上一动点，连接FM、BM,当 S么s3SAMc时，求BM-FM的最大值 (3)如图3，在(2)的条件下，将△CFM沿直线平移得到△C'FM',若在平移过程中△BC'F'是以BF 为一腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标。 题型02双动点引发的组合图形面积等分问题 城方法 考向分析：此类题型通常涉及两个动点，分别在不同射线或线段上运动（如一个在底边上，一个在腰上）。 题目要求在某一时刻，这两个动点与某些定点构成的组合图形（如梯形、不规则四边形）面积等于原图形 面积的一半（或特定比例）。核心得分点在于割补法求面积以及建立双动点之间的联动关系。 解题方法： 1.找关联，消元化一：若两个动点运动速度不同，需通过时间t将它们各自走过的路程表示出来。若一个 动点的位置由另一个决定，需先求出两者的函数关系式，最终将目标面积化为关于单一变量（通常是 时间t)的表达式。 2. 割补求面积：将要求的组合图形分割成两个易计算的三角形（或用一个大图形减去一个小图形），分别 用含变量的代数式表示其面积。 3. 列比例（或等值）方程：根据“部分面积是整体面积的几分之几”列出一元二次方程。 4.求解判断：解方程，若求得的解在各自动点的合法运动范围内，则存在；否则不存在。 答题模板： 1.设：设其中一个关键动点为x(或时间为t),并表示出另一动点坐标或长度。 2. 割/补：过转折点作垂线，将目标四边形分割为两个以动点所在边为底边的三角形。 3.列：分别写出两个三角形的面积表达式并求和，令其等于预设面积（或整体面积的一半），列出方程。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.解：化简为一元二次方程标准形式ax2+bx+c=0,求解。 5.答：判断解的有效性并作答。 1.(25-26八年级下·安徽合肥期中)如图，在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=14cm,动点P从D点出 发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若 其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止.运动时间为t,将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折， 得到四边形PD'CQ,射线QC经过点A时，可以是() D 0 A.t=3 B. 10 C.t= D.t=4 2.(2026天津河西一模)如图，在ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=20cm,点M从点B出发，以 1cm/s的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点A同时出发，以2cm/s的速度沿边AC向终点C运动. 规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s,当1=5s时，点M, N的位置如图所示.有下列结论： ①当1=公S时，AM=N:②当1=5s时，MN的长度最小：③1有两个不同的值满足aAMV前积为 40V3cm2. 其中，正确结论的个数是（) M C A.0 B.1 C.2 D.3 3.(24-25九年级上·四川成都期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=30cm,BC=25Cm,动点P从 点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动.设 动点P运动时间为t(t>0),当PQ=BC时，则t的值为 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 4.(23-24九年级上·海南海口·阶段检测)如图，ABC是边长为10cm的等边三角形.动点P和动点9分别 从点B和点C同时出发，沿着ABC逆时针运动，已知动点P的速度为1cm/s,动点Q的速度为2cm/s ,设动点P、动点Q的运动时间为s. BP (1)当t为何值时，两个动点第一次相遇； (2)从出发到第一次相遇这一过程中，当t为何值时，以P,Q,C为顶点的三角形的面积为8V3cm? 5.(25-26九年级上·山西临汾·月考)综合与探究 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=9cm,点P从点A出发，沿AB边向终点B以1cm/s的速度移 动，同时点Q从点B出发，沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动.若其中有一个动点先到达终点，则 两个动点同时停止运动，设运动时间为s. D B (I)填空：AP=cm,BQ=cm;(用含t的代数式表示) (2)当t(t≠0)为何值时，P0=4cm? ()③在动点P,Q运动过程中，是否存在菜一时刻使得五边形APOCD的面积为矩形面积的号？若存在， 12 请求出此时t的值；若不存在，请说明理由 6.(25-26九年级上·山西临汾·阶段检测)综合与探究 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点M、N是两个动点. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M B (I)如果AC、BD(AC>BD)的长（单位：cm)是关于x的一元二次方程x2-20x+96=0的两个实数 根，求AB的长 (2)若动点M从A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B出发，沿BD方向 以1cm/s的速度匀速直线运动到点D.(当点M运动到C点时，点N也随之停止运动).若M、N同时 出发，设运动时间为t秒，求t为何值时，△MON的面积为2cm2? 题型03几何运动中的存在性与临界点探究问题 啸方法 考向分析：此类题型通常以“是否存在某一时刻，使得某两条线段相等（如构成等腰三角形）”或“使得某 条线段达到某一长度”发问。核心得分点在于正向推导建立方程，并熟练运用根的判别式（△）判定解的 现实存在性。 解题方法： 1.盲解盲打列方程：假设存在这样的时刻，完全按照前两种题型的方法，利用几何定理（如勾股定理逆 定理、等腰三角形两腰相等)列出关于t的一元二次方程。 2. 算判别式定乾坤：不直接求根，而是计算该一元二次方程的判别式△=b2-4ac。 (I)若△<0，则方程无实数根，说明在运动过程中不可能出现题目所述情况。 (2)若△≥0，则方程有实数根，需进一步验证求出的t是否符合实际运动范围。 3. 综合下结论：结合代数计算与几何实际，给出“存在”或“不存在”的明确结论。 答题模板： 1.假设：假设存在这样的时刻，使得题目条件成立。 2.列：利用几何关系（全等、相似、等腰、勾股等）推导出关于t的一元二次方程。 3.判：计算判别式△=b2-4ac。 4. 结： (I)若△0，则得出结论：“不存在这样的时刻”。 (2)若△≥0，则求出t,检验是否在动点定义域内，再下结论。 1.(25-26九年级上·山东青岛·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始 沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cms的速度 移动.点P,Q分别从点A,B同时出发，当点Q运动到点C时；两点停止运动，设运动时间为1秒. (t>0) 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ (2)连接PC,是否存在t的值，使得△PQC的面积等于6Cm2?若存在，请求出此时t的值；若不存在， 请说明理由 (3)是否存在t的值，使得BPQ的面积与五边形APOCD的面积之比等于2：13？若存在，请求出此时t的 值；若不存在，请说明理由， (4)连接AQ将△AQC沿AC折叠得△AQ'C,是否存在某一时刻t,使点Q落在线段AD上？若存在，请 求出此时t的值：若不存在，请说明理由. 2.(24-25九年级上山东青岛月考)如图，在ABC中，4B=90°，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开 始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动.与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速 度移动，点P、Q分别从点A,B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动时间为：s (t>0 A B (1)填空：BQ= cm,PB= cm;(用含t的代数式表示) (2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4cm2？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. (3)连接PC,是否存在t的值.使得△PQC的面积等于6Cm2,若存在请求出此时t的值；若不存在，请 说明理由. (4)是否存在t的值，使得BPQ的面积与四边形APQC的面积之比等于2：13？若存在，请求出此时t的 值；若不存在，请说明理由. 3.(25-26九年级上·山东青岛月考)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,点E从点A出发沿AB方向 以1cm/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿BC方向以2cm/秒的速度向点C匀速运动， 连接DE,DF,EF,当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是 t秒(0<t≤2) 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)当t为何值时，△BEF是等腰三角形？ (2)当F为BC边的中点时，求此时EF的长度. (3)是否存在某一时刻t,使点D在线段EF的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理 由. (④是否存在某一时刻k,使6DEF的面积是矩形ABCD面积的，若存在，请求出1值，若不存在，请说 明理由 4.(25-26九年级上·广西北海·月考)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,现有两点P ,Q分别从点A和点C同时出发，沿边AB,CB向终点B移动.已知点P,Q的速度分别为2cms, 1cms,且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P,Q两点移动时间为s, B← oc (1)AP= cm,BQ=cm(用含x的代数式表示)： (2)问是否存在这样的x,使得四边形APQC的面积等于16Cm2?若存在，请求出此时x的值；若不存在， 请说明理由. 5.(25-26八年级下·北京·课后作业)如图，在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=2cm,点P以2cm/s的 速度从顶点A出发，沿折线A-B-C向点C运动，同时点Q以Icms的速度从顶点C出发，沿CD向点 D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动 / 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B ()两动点运动儿秒时，四边形P8CQ的面积是长方形48CD面积的号？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为√5℃m？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明 理由 6.(25-26八年级下·江苏苏州·期中)如图，在直角坐标系中，平行四边形0ABC的边 0A=8,0C=4V2,∠A0C=45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点0以每秒√2个 单位的速度从点O向点C运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为， (1)点B的坐标为 (2)当t为何值时，△APQ的面积是12？ (3)在(2)的条件下，在平面内是否存在点M,使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.