21.4一元二次方程的根与系数的关系（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四制） 数学八年级上册

21.4一元二次方程的根与系数的关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、一元二次方程根与系数关系的推导 对于一般形式的一元二次方程（其中），当判别式时，方程有两个实数根。设这两个根为和，根据求根公式可推导出：两根之和，两根之积。 二、根与系数关系的核心结论（韦达定理） 1. 两根之和：对于一元二次方程（，），两根、满足。 2. 两根之积：两根、满足。 （注：该关系由法国数学家韦达提出，故也称为“韦达定理”） 三、根与系数关系的前提条件 使用根与系数关系的必要条件： 1. 方程必须是一元二次方程，即二次项系数； 2. 方程必须有实数根，即判别式。 （若方程无实数根，即，则不存在实数根，根与系数关系在实数范围内不适用） 四、根与系数关系的应用场景 1. 已知方程求两根的和与积：直接代入公式和计算。 2. 已知一根求另一根：若已知方程的一个根，可通过或求出另一根。 3. 构造一元二次方程：若已知两个数 (m) 和 (n)，以这两个数为根的一元二次方程可表示为（二次项系数为1时）。 4. 已知两根的关系求方程中的参数：例如已知两根之和或之积的值，反推方程中未知系数 (a)、(b)、(c) 的值（需结合判别式验证方程是否有实根）。 5. 解决与两根相关的代数式计算：如求（可转化为）、（可转化为）等。 型 习 练 题 一、单选题 1．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 3．已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中两实数根之和为2的是（    ）． A． B． C． D． 5．下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 6．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．4050 B．4054 C． D． 二、填空题 7．已知一元二次方程的两根为，则 ． 8．若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是 ． 9．写一个两根和为2的一元二次方程 ． 10．若、是一元二次方程的两个根，则 ． 三、解答题 11．已知的一元二次方程的两个实数根分别为、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 12．已知、是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 13．关于x的方程． (1)若该方程没有实数根，求k的取值范围； (2)若是该方程的一个根，请求出它的另一个根． 14．已知一元二次方程 的一个根是1， (1)方程的另一个根是多少？ (2)求k的值． 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两根满足，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.4一元二次方程的根与系数的关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、一元二次方程根与系数关系的推导 对于一般形式的一元二次方程（其中），当判别式时，方程有两个实数根。设这两个根为和，根据求根公式可推导出：两根之和，两根之积。 二、根与系数关系的核心结论（韦达定理） 1. 两根之和：对于一元二次方程（，），两根、满足。 2. 两根之积：两根、满足。 （注：该关系由法国数学家韦达提出，故也称为“韦达定理”） 三、根与系数关系的前提条件 使用根与系数关系的必要条件： 1. 方程必须是一元二次方程，即二次项系数； 2. 方程必须有实数根，即判别式。 （若方程无实数根，即，则不存在实数根，根与系数关系在实数范围内不适用） 四、根与系数关系的应用场景 1. 已知方程求两根的和与积：直接代入公式和计算。 2. 已知一根求另一根：若已知方程的一个根，可通过或求出另一根。 3. 构造一元二次方程：若已知两个数 (m) 和 (n)，以这两个数为根的一元二次方程可表示为（二次项系数为1时）。 4. 已知两根的关系求方程中的参数：例如已知两根之和或之积的值，反推方程中未知系数 (a)、(b)、(c) 的值（需结合判别式验证方程是否有实根）。 5. 解决与两根相关的代数式计算：如求（可转化为）、（可转化为）等。 型 习 练 题 一、单选题 1．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵ m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 2．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意，得到：，，代入求值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故选：C． 3．已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可． 【详解】∵方程 中，，， ∴ 故选：A． 4．下列方程中两实数根之和为2的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元二次方程根与系数的关系，判别式．一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，且方程需有实数根，即判别式，分别计算各选项的两根之和及判别式，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，不符合题意； B、∵，∴，不符合题意； C、∵，∴ ，且，符合题意； D、∵，∴，，无实数根，不符合题意； 故选：C． 5．下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1． 【详解】解：A．，，； B．，，； C．，，； D．，，； 只有D选项的两根之和为1． 故选：D． 6．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．4050 B．4054 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．已知一元二次方程的两根为，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系，得 ，， 则 ， 故答案为：14． 8．若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】设方程的另一个根a，根据根与系数之间的关系得，求出a即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 【详解】解：设方程的另一个根为 ， ∵一元二次方程有一个根是1， ∴，即， 即另一个根是． 故答案为： 9．写一个两根和为2的一元二次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系，两根和等于，因此可设，，并任意选择构造方程即可． 【详解】解：由根与系数的关系，设一元二次方程为，则两根和． 取，则，取，得方程． 故答案为（答案不唯一）． 10．若、是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，根据根与系数的关系，可得： ， 则． 故答案为：． 三、解答题 11．已知的一元二次方程的两个实数根分别为、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， 对于（1），根据一元二次方程有两个实数根得，求出解集即可； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题得，， 方程有两个实数根， ， 解得； （2）解：由题得，，， ， 即， 解得． 12．已知、是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系（为二次项系数、为一次项系数），结合，进行计算解题即可． 【详解】解：由题意得：， 化简得 解得或 方程有两个实数根 解得 则不符合题意，舍去， 的值为． 答：的值为． 13．关于x的方程． (1)若该方程没有实数根，求k的取值范围； (2)若是该方程的一个根，请求出它的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解不等式即可得到答案； （2）由根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， 解得； （2）解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为． 14．已知一元二次方程 的一个根是1， (1)方程的另一个根是多少？ (2)求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）根据求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）设，另一个根为， ∵ ∴； （2） ∵， ∴， ∴． 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两根满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据根与系数的关系可得，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $