精品解析：云南文山州马关县第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试卷

马关县第一中学2024年春季学期高一年级第三次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，求出全集，再利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为，又, 所以， 故选：A. 2. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 ，化简得到求解. 【详解】解：因为复数 满足 ， 所以， 所以的虚部为-3， 故选：D 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数 B. 某品牌新能源汽车最大续航里程 C. 检测一批灯泡的使用寿命 D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间 【答案】D 【解析】 【分析】结合普查和抽查的适用条件即可求解. 【详解】A ，B选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查； C选项的检测具有毁损性，适合抽查； D选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查， 故选：D. 4. 经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2：3：6，取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人的人数为12，则n=（ ） A. 36 B. 44 C. 56 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样的抽取方法计算的值. 【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中中年人的人数为12， 则，解得． 故选：B 5. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到的解集为，从而得到必要性成立，充分性不成立. 【详解】由，得到，即，所以时，能得出， 当时，不妨取，此时， 故时，得不出， 所以是“”是的必要不充分条件. 故选：B． 6. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D. 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 综上， 故选：C 8. 在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，再由余弦定理和不等式可求得，代入面积公式可得结果. 【详解】由于，且外接圆的直径为4，不妨设外接圆的半径为， 所以. 由余弦定理得， 可得，即，当且仅当时，等号成立； 则， 即当时，面积的最大值是. 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，得， ∴，，，. 故ABD正确. 10. 某校抽取了某班20名学生的数学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格． 成绩 80 95 100 105 110 115 123 人数 2 3 3 5 4 2 1 下列结论正确的是（ ） A. 这20人成绩的众数为105 B. 这20人成绩的极差为43 C. 这20人成绩的分位数为95 D. 这20人成绩的平均数为97 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据众数是出现次数最多的数判断；对于B，极差是最大值减最小值可判断；对于C，根据百分位数的计算公式即可求得；对于D，根据平均数的计算公式即可求得. 【详解】根据表格可知：这20人成绩的众数为105，故A对； 极差为，故B对； 又，所以分位数为，故错； 平均数为，故D错. 故选：AB． 11. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题中图象可得，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】对于函数， 由图可知，则， 所以， 又因为， 则，解得， 又因为，则，所以， 则 ． 对于A：的最小正周期为，A正确； 对于B：对于，令，解得， 所以的对称轴方程为，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以在上的值域为，故C正确； 对于D：令，解得， 所以的单调递增区间为，D正确， 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，内角对应的边分别为，已知．则角________；若，则的值为________ 【答案】 ①. #### ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得第一空，利用余弦定理可得第二空. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又因为，所以． （2）在中，由余弦定理得， 代入数据解得，所以． 故答案为：；. 13. 同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为，则的概率是___. 【答案】 【解析】 【分析】列出满足的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】同时抛掷两枚骰子共有种结果，其中满足有：， ， ， ，共种结果， 所以的概率为． 故答案为： 14. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.  【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处, 设球O与母线切于M点,所以,所以 (R为球O的半径), 所以与全等, 所以,同理， 所以， ，所以， 所以圆台的内切球半径，内切球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为与的夹角是 所以， 【小问2详解】 因为， 设和的夹角为， 则. 16. 如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）当时，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 因为，所以四点共面， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面即可； （2）先根据线面垂直的判定证明平面，再根据求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，故平面， 又因为互相平分，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 又因为， 所以三棱锥的体积为. 17. 对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.20 24 n m p 2 0.04 合计 M 1 （1）求出表中M，p及图中a的值； （2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数） 【答案】（1），， （2）144 （3），18.1，18.3 【解析】 【分析】（1）借助频数、频率与总数之间的关系计算即可得； （2）以所得频率估计概率计算即可得； （3）借助众数、中位数及平均数的定义计算即可得. 【小问1详解】 由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以， 所以，解得，所以，； 【小问2详解】 估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为； 【小问3详解】 估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是． 因为，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足： ， 解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1， 由， 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3. 18. 已知命题：“，使等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； 【小问2详解】 由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 19. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，交于点，连接， 为的中点，在平行四边形中为的中点， 是的中位线，可得， 平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标为，由平面，则即可求出，从而确定点坐标，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，，又， 故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 设点的坐标为，则，， 因为平面，平面，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 所以 ，则， 又，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2024年春季学期高一年级第三次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数 B. 某品牌新能源汽车最大续航里程 C. 检测一批灯泡的使用寿命 D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间 4. 经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2：3：6，取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人的人数为12，则n=（ ） A. 36 B. 44 C. 56 D. 64 5. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 6. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 某校抽取了某班20名学生的数学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格． 成绩 80 95 100 105 110 115 123 人数 2 3 3 5 4 2 1 下列结论正确的是（ ） A. 这20人成绩的众数为105 B. 这20人成绩的极差为43 C. 这20人成绩的分位数为95 D. 这20人成绩的平均数为97 11. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 的单调递增区间为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，内角对应的边分别为，已知．则角________；若，则的值为________ 13. 同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为，则的概率是___. 14. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.  四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 16. 如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）当时，求三棱锥的体积． 17. 对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.20 24 n m p 2 0.04 合计 M 1 （1）求出表中M，p及图中a的值； （2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数） 18. 已知命题：“，使等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 19. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $