精品解析：重庆西南大学附属中学校2026-2027学年九年级上学期数学开学收心练习

2027届数学定时训练 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在答题卡上对应位置． 1. 的倒数是( ) A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 在以下标志中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 下列调查方式你认为最合适的是（ ） A. 了解孝义市中学生完成家庭作业的时间，采用全面调查 B. 高铁站乘客安检，采用抽样调查 C. 为了了解某品牌电动车的续航里程，采用抽样调查 D. 某企业招聘，对应聘人员面试采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样调查和全面调查的特点逐项分析即可． 【详解】解：A.了解孝义市中学生完成家庭作业的时间，宜采用抽样调查，故原说法不合适； B.高铁站乘客安检，宜采用全面调查，故原说法不合适； C.为了了解某品牌电动车的续航里程，宜采用抽样调查，故合适； D.某企业招聘，对应聘人员面试，宜采用全面调查，故原说法不合适； 故选：C． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4. 估计的计算结果应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：． ∵， ∴， ∴． 5. 如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 6. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A. 该反比例函数图像经过点 B. y随x的增大而增大 C. 该反比例函数图像经过第一、三象限 D. 该反比例函数图像关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴该反比例函数图像不经过点，不符合题意； B、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； D、∵此函数是反比例函数， ∴该反比例函数图像关于原点对称，正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图是按一定规律排列的，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，……，按照这样的规律，则当◇的个数是个时，☆的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图形找到规律，即可求解． 【详解】解：∵第个图中有个◇与个☆， 第个图中有个◇与个☆， 第个图中有个◇与个☆， …… ∴第个图中有个◇与个☆， 当时，得：， ∴当◇的个数是个时，☆的个数是个． 8. 如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数都成立，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，由二次函数图象得到：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于负半轴，由此得到系数之间的关系，逐一判定即可． 【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于负半轴， ∴，对称轴直线， ∴， ∴，故①正确； ∵图像过点且对称轴为直线， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，，即，故②错误； 当时，，即， 又， ∴，故③错误； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最小值，即， ∴对于任意实数，都成立， ∴对于任意实数，都成立，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共2个， 故选：B ． 9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 10. 已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有8个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①符合题意； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②不符合题意 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的线上． 11. 2026年5月，我国科学家在月球背面探测中发现某种矿物质颗粒的直径约为米．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知点与点关于原点对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征．根据平面内关于原点对称的点：横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，且， 即，， ∴． 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式，写出相应不等式并求解是解题的关键．根据关于的一元二次方程有实数根，得出且，计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为_____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，连接，由矩形的性质可得O、B、M三点共线，且，则可得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． ∵点M为矩形的对称中心， ∴O、B、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，以O为圆心，4为半径作圆，，直径于点H，点E为上一动点，于点F，则弦的长度为 ______；当点E在上的运动过程中，线段的长度的最小值为 _____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识．过点O作于点K，连接，由垂径定理和勾股定理求出，，由得到，由三角形外角性质和等边对等角求出，由含的直角三角形的性质求出，则，由直角三角形斜边中线的性质得到由即可得的最小值是． 【详解】解：连接，，过点O作于点K，连接， ∵直径于点H， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴K是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值是， 故答案为：， 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“幸运三和数”．例如：四位数，，是“幸运三和数”．则最小的“幸运三和数”是___________；对于“幸运三和数”，记，．若为整数，且，则满足条件的的值为___________． 【答案】 ①. 1723 ②. 2715 【解析】 【分析】本题考查了新定义数字问题、代数式化简与整数整除性质的综合应用，解题的关键是紧扣“幸运三和数”的定义，结合代数式等式推导数位间的关系，利用整数特征确定各数位数字的取值． ①求最小的“幸运三和数”：遵循四位数从小到大的数位规律，千位取最小非零值，再依次尝试最小的百位数字，结合的定义，找到能使c、d为非零且与a、b互不相等的数字的最小组合，确定四位数； ②求满足条件的：先将展开化简，代入消去，得到a、c的关系式，设利用整数性质确定a、c的唯一值；再将a、c代入定义式得与的关系，结合为整数的整除条件，试值确定b、d，最终得到符合条件的四位数 【详解】解：①要使四位数最小，千位取最小非零整数， 依次尝试百位的最小取值：时，，得，无正整数解； 时，，得，无正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，取，，均为非零整数且与a、b互不相等． 故最小的“幸运三和数”为1723． ② 由，得， 由“幸运三和数”定义，得， 代入上式： 设（为正整数，a、c为的整数），则， ， 因为正整数，试值： 时，，符合条件； 时，非整数，舍去． 故且，解得，． 将，代入，得， ， 又为整数， 代入，，， ． 因b、d为的整数，且数字互不相等，试值： 要使为整数，则应为12的倍数, ∵， ∴必须是12的倍数， 又因为的数字 当时，，数字2、7、1、5互不相等，且， 故． 故答案为：1723；2715． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解． 【答案】，和和 【解析】 【分析】考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式 即； 解不等式 即， 该不等式的解集为：， 该不等式组的非负整数解为和和 18. 如图，为平行四边形的对角线，点为的中点． （1）尺规作图：过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，证明四边形为菱形． 证明：为中点，， ①________，． ． 四边形为平行四边形， ． ②________． ． ， ． 在与中， ． ④________． ． 四边形为菱形． 【答案】（1） （2）①；②；③；④ 【解析】 【小问1详解】 解：以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于两点，以该两点分别为圆心，以大于该两点之间的距离为半径作弧，两弧交于一点，过该点与点作直线，分别交，于点，，连接，． 【小问2详解】 解：为中点，， ，． ． 四边形为平行四边形， ． ． ． ， ． 在与中 ． ． ． 四边形为菱形． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】 【解析】 【分析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再解一元一次不等式组，求出整数解，最后代值计算． 【详解】解：原式 ． 不等式组： 解不等式组得：-1≤a≤2， ∴a的整数解是-1，0，1，2． 又∵a≠1且a≠0，a≠-1，a为整数， ∴a可取值为2． 当a=2时，原式= 故答案为． 【点睛】考查了分式的混合运算和一元一次不等式组的整数解，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 20. 某中学组织八年级学生开展安全教育素养提升活动．活动结束后，学校开展安全知识达标竞赛，竞赛成绩（单位：分，满分为10分）分为A，B，C，D四个等级，对应得分依次为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取男生、女生各25名的竞赛成绩进行整理分析，并绘制成相关统计图表如下． 性别 平均数 中位数 众数 女生 8.72 9 男生 8.72 8 请根据所给信息解答下列问题： （1）______，______，请将条形统计图补充完整． （2）小李认为，男生和女生竞赛成绩的平均数相同，因此男生和女生的竞赛成绩一样好．你认为小李的结论是否片面，并说明理由（写出一条即可）． （3）若八年级共有300名学生（男生、女生各一半）参加本次知识竞赛，且规定获得10分为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少名． 【答案】（1）9；10；补全条形图如图所示： （2）小李的结论是片面的．理由：虽然男生和女生的平均数相同，但女生的中位数（9分）高于男生的中位数（8分），说明女生的整体成绩分布偏向高分段，或者女生的众数（9 分）与男生的众数（10分）不同，说明高分段人数分布不同，仅凭平均数无法全面评价成绩的好坏 （3）102名 【解析】 【分析】（1）将25名女生的竞赛成绩从大到小排列，第13个数据在B组，再结合中位数的定义可得答案，由八年级男生竞赛成绩扇形统计图可知男生竞赛成绩在A等级的人数占比最大，结合众数的定义可得答案；由女生竞赛成绩统计图可得，女生竞赛成绩在C等级的学生人数，再补全统计图即可； （2）分别从平均数，中位数角度出发分析即可； （3）由优秀率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵随机抽取男生、女生各25名的竞赛成绩，女生竞赛成绩中位数应按从大到小排列的第13位同学的成绩，从女生竞赛成绩条形统计图可知女生竞赛成绩中位数落在B等级范围内， ∴； ∵从男生竞赛成绩扇形统计图可知男生竞赛成绩在A等级的人数占比最大， ∴抽取男生的竞赛成绩中，男生竞赛成绩的众数； 由女生竞赛成绩统计图可知，女生竞赛成绩C等级学生人数为(人)， 补全条形统计图略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，样本中A等级（10分）的人数为： 女生：7人 ，男生：(人)， 样本中A等级的总人数为：(人)， 样本总人数为：(人)， 八年级成绩为优秀的学生人数约为：(名)， 答：估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为 优秀的学生共有102名． 21. （列方程解应用题）重庆作为“网红打卡城市”．吸引了大量游客前来游玩，为了给游客更好的城市体验感，重庆市政花费48万元购买“月季花”和“杜鹃花”种植在主干路上，已知“月季花”和“杜鹃花”的单价分别为150元和100元，“月季花”购买数量比“杜鹃花”购买数量多1200株． （1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买多少株？ （2）重庆市政计划安排工人种植这批花，为缩短工期，工人实际每天种植的数量比原计划增加了，这样可以提前15天完成种植任务，则原计划每天种植多少株？ 【答案】（1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买3600株； （2）原计划每天种植株． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设购买“杜鹃花”株，则购买“月季花”株，根据“花费48万元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设原计划每天种植株，则实际每天种植株，根据“提前15天完成种植任务”列出分式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设购买“杜鹃花”株，则购买“月季花”株， 根据题意得 ， 解得， 则“月季花”和“杜鹃花”一共购买株， 答：“月季花”和“杜鹃花”一共购买3600株； 【小问2详解】 解：设原计划每天种植株，则实际每天种植株， 根据题意得 ， 解得， 经检验是原方程的解， 答：原计划每天种植株． 22. 如图，在矩形中，，，动点，均以每秒个单位长度的速度分别从点，点同时出发，其中点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积大于时的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：当时，，当时，，当时，，依次描点再连接 该函数图象如图所示： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，矩形的性质： （1）当点P在，点Q在上运动时，即时，当时，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）当时，，当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解； （3）观察函数图象，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 则相遇时间为； ， 当时，点在上，在上， ∴ 当时， ∴ 综上可得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 当时，，当时， 结合函数图象，可得时， 23. 公园里有一条围绕河CE修建的五边形健身步道．清晨，小屹和爸爸到公园晨练．从B前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东方向，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） （1）求AE的长度（结果精确到1米） （2）小屹选择线路①，爸爸选择线路②，小屹跑步速度是110米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小屹和爸爸同时从B处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小屹和爸爸谁先到达D处？（结果精确到0.1） 【答案】（1）的长度是564米 （2）小屹先到达D处 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构建直角三角形： （1）过点A作于点H，易得四边形是矩形，推出是等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可； （2）解，求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人的速度，进行比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点H，则； 由题意知，即， 故四边形是矩形， ∴米，； ∴， 即是等腰直角三角形， ∴米， 由勾股定理得：（米）， ∴的长度是564米． 【小问2详解】 由（1）知，四边形是矩形， ∴米， ∴米； ∵点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向， ∴； 在中，， 则米，米； ∴（米）， （米）， 小屹到达D处的时间为：（分）． 爸爸到达D处的时间为：（分）． ∵， ∴小屹先到达D处． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1）； （2），的最小值为：； （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴交点及对称轴为求解即可； （2）连接，过作轴交于，当最大时，最大，得到点坐标，过作的平行线，过作，两平行线交于点，当三点共线时最小； （3）原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，分别求出直线的解析式，再与新抛物线解析式联立方程组求解即可. 【小问1详解】 解：∵在抛物线上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴， 而，设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：； 【小问3详解】 解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴，解得：（舍）或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的横坐标为或． 25. 如图，在中，，点D是边上一点，连接． （1）如图1，当且时，将线段绕着点D逆时针旋转到，连接，，若，求的度数； （2）如图2，过点D作于点E，线段的垂直平分线交于点F，点G为线段的中点，连接，，，，求证：； （3）如图3，，，过点D作，交于点M，点N是直线上一动点，点H是平面内一动点，连接，，，，当且时，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 解：如图1， 延长至W，使，连接，，交于V， ∵G是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵点F在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，，从而，进而，进而得出，从而得出结果； （2）延长至W，使，连接，，交于V，可证得，，进而推出，从而，进一步得出结论； （3）如图所示，过点作且，连接，，，先求出，则，证明，得到，则，由此得到，进而推出，即，则点在以为直径的圆上运动，取中点，连接，，故当、、三点共线且点在上时，有最小值，最小值为，在中，由勾股定理求得，进而得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵线段绕着点D逆时针旋转到， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点作且，连接，，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 点在以为直径的圆上运动，取中点，连接，， 则， ， 当、、三点共线且点在上时，有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得， 的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为，确定圆的条件，平行线间的距离处处相等，平行四边形的性质和判定，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届数学定时训练 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在答题卡上对应位置． 1. 的倒数是( ) A. 7 B. C. D. 2. 在以下标志中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列调查方式你认为最合适的是（ ） A. 了解孝义市中学生完成家庭作业的时间，采用全面调查 B. 高铁站乘客安检，采用抽样调查 C. 为了了解某品牌电动车的续航里程，采用抽样调查 D. 某企业招聘，对应聘人员面试采用抽样调查 4. 估计的计算结果应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 5. 如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A. 该反比例函数图像经过点 B. y随x的增大而增大 C. 该反比例函数图像经过第一、三象限 D. 该反比例函数图像关于原点对称 7. 如图是按一定规律排列的，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，……，按照这样的规律，则当◇的个数是个时，☆的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数都成立，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有8个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的线上． 11. 2026年5月，我国科学家在月球背面探测中发现某种矿物质颗粒的直径约为米．将数据用科学记数法表示为______． 12. 已知点与点关于原点对称，则_______． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为_____ ． 15. 如图，以O为圆心，4为半径作圆，，直径于点H，点E为上一动点，于点F，则弦的长度为 ______；当点E在上的运动过程中，线段的长度的最小值为 _____ 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“幸运三和数”．例如：四位数，，是“幸运三和数”．则最小的“幸运三和数”是___________；对于“幸运三和数”，记，．若为整数，且，则满足条件的的值为___________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解． 18. 如图，为平行四边形的对角线，点为的中点． （1）尺规作图：过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，证明四边形为菱形． 证明：为中点，， ①________，． ． 四边形为平行四边形， ． ②________． ． ， ． 在与中， ． ④________． ． 四边形为菱形． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 20. 某中学组织八年级学生开展安全教育素养提升活动．活动结束后，学校开展安全知识达标竞赛，竞赛成绩（单位：分，满分为10分）分为A，B，C，D四个等级，对应得分依次为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取男生、女生各25名的竞赛成绩进行整理分析，并绘制成相关统计图表如下． 性别 平均数 中位数 众数 女生 8.72 9 男生 8.72 8 请根据所给信息解答下列问题： （1）______，______，请将条形统计图补充完整． （2）小李认为，男生和女生竞赛成绩的平均数相同，因此男生和女生的竞赛成绩一样好．你认为小李的结论是否片面，并说明理由（写出一条即可）． （3）若八年级共有300名学生（男生、女生各一半）参加本次知识竞赛，且规定获得10分为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少名． 21. （列方程解应用题）重庆作为“网红打卡城市”．吸引了大量游客前来游玩，为了给游客更好的城市体验感，重庆市政花费48万元购买“月季花”和“杜鹃花”种植在主干路上，已知“月季花”和“杜鹃花”的单价分别为150元和100元，“月季花”购买数量比“杜鹃花”购买数量多1200株． （1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买多少株？ （2）重庆市政计划安排工人种植这批花，为缩短工期，工人实际每天种植的数量比原计划增加了，这样可以提前15天完成种植任务，则原计划每天种植多少株？ 22. 如图，在矩形中，，，动点，均以每秒个单位长度的速度分别从点，点同时出发，其中点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积大于时的取值范围． 23. 公园里有一条围绕河CE修建的五边形健身步道．清晨，小屹和爸爸到公园晨练．从B前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东方向，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） （1）求AE的长度（结果精确到1米） （2）小屹选择线路①，爸爸选择线路②，小屹跑步速度是110米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小屹和爸爸同时从B处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小屹和爸爸谁先到达D处？（结果精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25. 如图，在中，，点D是边上一点，连接． （1）如图1，当且时，将线段绕着点D逆时针旋转到，连接，，若，求的度数； （2）如图2，过点D作于点E，线段的垂直平分线交于点F，点G为线段的中点，连接，，，，求证：； （3）如图3，，，过点D作，交于点M，点N是直线上一动点，点H是平面内一动点，连接，，，，当且时，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $