第四单元 圆（单元考点梳理讲义)-2026-2027学年上学期六年级数学上册（人教版·新教材）

该小学数学讲义通过考点导图系统构建“圆”单元知识体系，以知识考点模块梳理圆和扇形的认识、周长、面积及组合图形计算四大核心内容，用图文结合方式呈现圆心半径特征、公式推导过程及易错点，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于典例精讲与变式训练结合，如“方中圆面积计算”题型引导学生通过分割转化理解半径平方与面积关系，培养几何直观和空间观念。分层设计选择、填空、解答题，易错点提示帮助学生规避误区，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准化教学。

人教版六年级数学上册单元考点梳理讲义（新教材） 第四单元 圆 目 录 第一部分 考点导图 第二部分 知识考点 第三部分 典例精讲 第四部分 变式训练 考点一：圆和扇形的认识 1．圆的认识 （1）圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。 （3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 （4）圆的特征 ①圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。 ②在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。d＝2r，或r＝d。 （5）用圆规画圆的方法 ①先把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离； ②再把带有针尖的一只脚固定在一点上； ③然后把装有铅笔的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 2．扇形的认识 （1）弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 （2）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 （4）扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 【易错点】 （1）同一圆内“半径与直径的关系”不适用不同圆：d=2r仅在“同一个圆或等圆”中成立，若两个圆大小不同（半径不同），则直径与半径的2倍关系不成立。 （2）圆的对称轴是“直径所在的直线”，且对称轴有无数条。 （3）扇形的“构成条件”：扇形必须同时满足“由两条半径和一条弧围成”且“两条半径的顶点在圆心”两个条件，缺一不可。 考点二：圆的周长 1．圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。一般用字母C表示。 2．测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。 3．圆周率：圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率。一般用字母π表示。在计算时，一般保留两位小数，即π≈3.14。 4．圆的周长： ，或。 5．半圆的周长：，或。 6．圆周长的一半： 。 【易错点】 （1）圆周率（π）的取值规范：计算时需按题目要求取π的值（如题目未说明，默认取3.14），且π是比值，无单位，不能说“π=3.14cm”。 （2）公式的灵活运用：已知半径求周长时，需先算“2r”再乘π（即C=2πr），避免漏乘2；已知周长求半径时，需先除以π再除以2，避免顺序颠倒。 考点三：圆的面积 1．圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 2．圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。 拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 3．圆的面积计算公式：S= 4．半圆的面积： ÷2 5．圆环： （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。 （2）计算公式： ，或 。 【易错点】圆环面积的计算关键：计算圆环面积时，需先明确“外圆半径（R）” 和“内圆半径（r）”，不能用“外圆直径减内圆直径”再算半径；且公式π（R2−r2）需先算“R²-r²”，再乘π，避免先“R-r”再平方。 考点四：含圆的组合图形的周长与面积 1．周长计算 （1）拆分图形：识别组合图形中的直线部分和曲线部分（曲线部分多为圆或半圆的周长）。 （2）计算各部分长度：直线部分求和，曲线部分按圆/半圆周长公式计算。 （3）总周长=直线部分长度+曲线部分长度（注意：组合图形中重合的边不算周长）。 2．面积计算 （1）拆分或补全：将组合图形拆为基础图形，或补全为完整图形。 （2）计算各基础图形面积。 （3）总面积=各基础图形面积的和/差。 【易错点】 （1）周长计算不遗漏曲线部分。 （2）面积计算不重复/漏算。 （3）统一单位：所有基础图形的边长、半径单位需一致，避免混合单位计算导致结果错误。 【典例题型1】圆的概念及特点 1．在平整的桌面上滚动一个圆，圆心运动的轨迹是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同一个圆内，所有的半径都相等，因此在平整的桌面上滚动一个圆，圆心的高度不变，运动的轨迹在一条直线上。 【详解】 在平整的桌面上滚动一个圆，因为所有的半径都相等，圆心运动的轨迹是。 【练习】1．在一个圆内，最长的线段有（     ）条。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【典例题型2】弧、圆心角、扇形的认识 1．关于圆和扇形的认识，下列各种说法中，有（     ）是正确的。 ①因为扇形的大小与圆心角的大小紧密相关，所以圆心角大的扇形面积一定大于圆心角小的扇形面积； ②所有半径都相等； ③在一个圆里面画的线段中，直径最长； ④圆有无数条对称轴，扇形和半圆都有无数条对称轴； ⑤半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 A．①②③④⑤ B．①②④ C．②④ D．③⑤ 【答案】D 【分析】①因为扇形面积公式为（n表示圆心角），和圆心角、半径两个因素有关，所以判断时要考虑半径是否相同。 ②因为只有同圆或等圆的半径才相等，所以判断时要注意前提条件是否存在。 ③因为直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，所以直径是圆内最长的线段。 ④圆有无数条对称轴，但扇形只有1条对称轴，半圆也只有1条对称轴，不是无数条。 ⑤画圆时，圆心定在哪里圆就出现在哪里，半径画多长圆就有多大，所以圆心决定位置、半径决定大小。 【详解】①扇形面积由圆心角大小和半径长度共同决定，半径不确定时，圆心角大的扇形面积不一定更大，说法错误； ②只有同圆或等圆的半径才全部相等，缺少前提条件，说法错误； ③在同一个圆中画的所有线段里，直径是最长的，说法正确； ④圆有无数条对称轴，扇形和半圆都只有1条对称轴，说法错误； ⑤圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确。 正确的说法是③和⑤。 【练习】1．李师傅在制作蛋糕时，准备往一个装有半盒奶油的长方体裱花盒里，放入等底等高的一个圆柱形巧克力块和一个圆锥形巧克力块，当这两个巧克力块都浸没在奶油中时，奶油刚好装满裱花盒。李师傅用统计图来表示它们三者的体积与长方体裱花盒容积之间的关系，表示正确的是（     ）。 A． B． C． D． 【典例题型3】与圆相关的轴对称图形  1．要使大、小两个圆组成的图形有无数条对称轴，应采用画法（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆有无数条对称轴，所有对称轴都经过圆心。想要大小两个圆组成的图形拥有无数条对称轴，必须让两个圆圆心重合（同心圆）。 【详解】A．圆心不重合，只有1条对称轴； B．圆心不重合，只有1条对称轴； C．圆心不重合，只有1条对称轴； D．大小圆共用同一个圆心（同心圆），有无数条对称轴。 【练习】1．下面图形中对称轴最多的是（ ）。 A． B． C． D． 【典例题型4】圆的周长 1．一个圆的周长是2024厘米，如果半径增加1厘米，那么周长增加（     ）厘米。 A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设原来圆的半径为r，半径增加1厘米后为（r＋1）厘米，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，分别计算变化前后的周长，求差即可得到周长增加的长度。 【详解】设原来圆的半径为r，原来的周长： 半径增加1厘米后的周长： 增加的周长：（厘米） 周长增加厘米。 【练习】1．我国古代数学史上关于圆的研究有很多记载，下面描述了圆心到圆上的距离一样长的是（     ）。 A．“圆，一中同长也” B．“没有规矩，不成方圆” C．“径一而周三” D．“圆出于方，方出于矩” 【典例题型5】 半圆的周长 1．如下图，两只蚂蚁分别选择甲、乙两条路线从A地爬向B地，下面说法正确的是（     ）。 A．甲路线长 B．乙路线长 C．两条路线一样长 D．不能确定甲、乙两条路线哪条长 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，分别计算两条路线的长度，并比较。 【详解】假设A到B的总长度是D： 甲路线是直径为D的圆的半圆弧，长度＝π×D÷2。 乙路线是两个小半圆弧的和，假设两个小圆的直径分别是d1和d2，从图里能看出d1＋d2＝D，那么乙的总长度＝π×d1÷2 ＋ π×d2÷2 ＝ π×（d1＋d2）÷2 ＝ π×D÷2。 所以两条路线的长度是相等的。 【练习】1．下图是一个半圆，求它的周长的正确算式是（     ）。 A． B． C． D． 【典例题型6】 圆的周长的应用 1．冬季给树木“穿冬衣”时，工作人员用28.26m长的麻绳在一棵树的树干上缠绕了18圈。下列算式中，能求出该树干横截面直径的是（     ）。 A．28.26÷18 B．28.26÷18÷3.14 C．28.26÷18÷3.14÷2 D．28.26÷18÷3.14×2 【答案】B 【分析】先求出麻绳绕树干1圈的长度（麻绳总长度除以缠绕圈数），也就是树干横截面的周长，再结合圆的周长公式计算直径（）。 【详解】 树干横截面的周长：， 直径，代入周长算式得直径为。 【练习】1．烈士陵园内有一个直径为10米的圆形花坛，步长约为0.5米的小晨绕花坛走一圈，大约需要走（     ）步。（π取3.14） A．16 B．31 C．63 D．126 【典例题型7】 含圆的组合图形的周长 1．如图，大小正方形的边长分别是8cm和3cm，阴影部分的周长是（     ）cm。 A．28.56 B．34.56 C．37.56 D．40.56 【答案】B 【分析】根据图示，阴影部分的周长等于2个8厘米，加2个3厘米，加半径是8厘米的圆周长的，圆的周长公式：C＝2πr（π取3.14），据此代入数值即可解答。 【详解】8×2＋3×2＋2×3.14×8÷4 ＝16＋6＋12.56 ＝34.56（厘米） 所以阴影部分的周长是34.56厘米。 【练习】1．如图，图A的周长和图B的周长相比较，（     ）。 A．图A大 B．图B大 C．一样大 D．无法比较 【典例题型8】 圆的面积 1．北京天坛是中国现存最大的古代祭祀性建筑群。其中祈年殿的底部是周长约为75.36米的圆。祈年殿的占地面积大约是多少平方米？ 【答案】452.16平方米 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，求出底面圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出占地面积。 【详解】75.36÷（2×3.14） ＝75.36÷6.28 ＝12（米） 3.14×122 ＝3.14×144 ＝452.16（平方米） 答：祈年殿的占地面积大约是452.16平方米。 【练习】1．光明小学有一个直径12米的圆形花圃。为了便于学生参观，学校打算在花圃周围铺上一条2米宽的鹅卵石小路。这条鹅卵石小路的面积有多少平方米？ 【典例题型9】圆的面积的应用 1．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 【答案】2.5434平方米 【分析】站在圈内的脚位置不变，跳跳球旋转形成一个圆，绳长90 厘米就是圆的半径，活动面积就是这个圆的面积，先把单位换算成米，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】90厘米＝0.9米 3.14×0.92 ＝3.14×0.81 ＝2.5434（平方米） 答：每个人的活动面积至少是2.5434平方米。 【练习】1．如图，草地上有一个长5m、宽3m的小屋，在小屋的墙角处有一个木桩，木桩上拴着一只羊。如果拴羊的绳子长6m，那么这只羊可以吃到的草的范围是多少平方米？（羊的身长和打结处忽略不计） 【典例题型10】  圆环的面积 1．工作人员准备在一座半径为40米的圆形公园外围，修建一条宽2米的环形步道。 (1)这条环形步道的面积是多少平方米？ (2)若草坪面积占改造后公园（含步道）总面积的，则草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）环形步道的面积即为圆环的面积。需先求出内圆半径和外圆半径，外圆半径等于内圆半径加上步道宽度，再利用圆环面积公式进行计算。 （2）求公园总面积的是多少，用公园总面积乘。 【详解】（1）（米） （平方米） 答：这条环形步道的面积是514.96平方米。 （2） （平方米） 答：草坪的面积是4154.22平方米。 【练习】1．如图，学校新建了一个直径是6米的回形喷水池，沿着水池的外沿修建了一条宽是2米的环形草坪。环形草坪的面积是多少？ 【典例题型11】  求最大面积 1．李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【答案】； 方案一；方案一的圆形鱼池的面积是28.26平方米，方案二的半圆形鱼池的面积是25.12平方米。28.26＞25.12，建议李叔叔选择方案一。 【分析】方案一：在长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；连接长方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，宽的一半长度作为圆的半径，据此画出这个圆形鱼池； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形鱼池的占地面积； 方案二：在长方形里画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长；以一条长边的中心为圆心，以长的一半长度为半圆的半径，据此画出这个半圆形鱼池； 根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形鱼池的占地面积； 比较两种方案鱼池的占地面积，建议选择面积大的鱼池。 【详解】图略 方案一： 圆形鱼池的直径是6米，半径是6÷2＝3（米） 圆形鱼池的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 方案二： 半圆形鱼池的直径是8米，半径是8÷2＝4（米） 半圆形鱼池的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方米） 28.26＞25.12 答：我建议李叔叔选择方案一。因为在同样大小的长方形空地上，方案一的鱼池占地面积更大。 【练习】1．如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 【典例题型12】 方中圆和圆中方的面积问题 1．课堂上老师组织探究活动：已知正方形的面积是40平方厘米，求涂色部分的面积。淘气举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积。” (1)淘气说得对吗？如果对，请你在图上将淘气的想法表示出来。如果不对，请说明理由。 (2)涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)对； (2)8.6平方厘米 【分析】（1）由图可知，圆的直径等于大正方形的边长，把正方形分成四个相等的小正方形后，圆的半径等于小正方形的边长，由“”可知，半径的平方等于小正方形的面积，每个小正方形的面积等于大正方形面积的，最后根据“”可以求出圆的面积； （2）先根据淘气的说法求出圆的面积，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积。 【详解】（1）分析可知，淘气说得对，作图略 （2）半径的平方：40÷4＝10（平方厘米） 圆的面积：3.14×10＝31.4（平方厘米） 涂色部分的面积：40－31.4＝8.6（平方厘米） 答：涂色部分的面积是8.6平方厘米。 【练习】1．奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【典例题型13】  扇形的周长和面积 1．淘淘有一个半径为4厘米的鲜花饼，他把鲜花饼切成若干个大小相同的小扇形，分给其他小朋友吃。奇奇取走3块以后，剩下的这块鲜花饼的平面图如图所示，剩下的这块鲜花饼的周长是多少厘米？ 【答案】26.84厘米 【分析】先观察图形：整个鲜花饼原本被平均分成了12个完全相同的小扇形，奇奇取走3块后，剩下的部分占整个圆的； 剩下图形的周长由两部分组成：第一部分是剩下的圆弧长度是整圆周长的，第二部分是缺口处的两条半径。计算后相加即可。 【详解】整圆周长：2×半径×π＝2×4×3.14＝25.12（厘米） 段圆弧长：（厘米） 缺口处的两条半径长度和：4×2＝8（厘米） 剩下的这块鲜花饼的周长：18.84＋8＝26.84（厘米） 答：剩下的这块鲜花饼的周长是26.84厘米。 【练习】1．如下图，利用两面墙作边，用栅栏围成一个扇形羊圈。已知羊圈的直径是10米，则围成的羊圈面积是多少平方米？至少需要多少米长的栅栏？ 一、选择题 1．下面不一定是轴对称图形的是（     ）。 A．圆 B．正方形 C．等腰梯形 D．平行四边 2．下面说法正确的是（     ）。 A．大圆的圆周率小于小圆的圆周率 B．圆周率是一个准确值，等于3.14 C．圆周率是一个无限不循环小数 D．圆周率的大小会随圆的半径变大而增大 3．一个半圆形，它的半径是r，它的周长是（     ）。 A． B． C． D． 4．如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的直径（     ）。 A．相等 B．圆周率大的圆的直径小 C．圆周率大的圆的直径大 D．无法确定 5．外圆半径为R，内圆半径为r的圆环的面积等于（     ）。 A．2πR－2πr B．π（R－r）2 C．πR2－πr2 D．π（R＋r）2 6．在同一个平面内，由大小不同的两个圆组成的图形（     ）。 A．没有对称轴 B．只有一条对称轴 C．只有两条对称轴 D．有一条或无数条对称轴 7．如果一个圆的半径增加1cm，那么它的周长增加（     ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．1 8．篮球场的三分线由两部分组成（如下图），一部分是半径为6.75m的半圆弧线，另一部分是与端线垂直的两条线段，每段长1.575m。三分线大约长（     ）米。 A．3.14×6.75＋1.575×2 B．3.14×6.75×2＋1.575 C．3.14×（6.75＋1.575） D．3.14×6.75＋1.575 9．在一块长8厘米、宽4厘米的储能电池金属底板上画最大圆形散热片，这个散热片的面积是（     ）平方厘米。 A．12.56 B．28.26 C．6.28 D．无法确定 10．小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面的纸片最合适的是（     ）。 A．长是8厘米，宽是6厘米的长方形 B．边长是4厘米的正方形 C．长是9厘米，宽是8厘米的长方形 D．周长是28厘米的正方形 11．第七小学有个劳动实践基地，五（1）班同学准备用同一种长度的篱笆围一个小花圃。下面说法正确的是（     ）。 A．围成长方形的面积大 B．围成正方形的面积大 C．围成圆形的面积大 D．围成不规则图形的面积大 12．如图中，三角形的面积是6平方米，圆的面积是（     ）平方米。 A．37.68 B．9.42 C．28.26 D．18.84 13．用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（     ）。 A．甲剩的多 B．乙剩的多 C．丙剩的多 D．剩的一样多 14．“转化”是小学阶段重要的数学思想，下面运用该思想的有（     ）。 A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 15．如图是由3个半圆组成的图形，图中阴影部分的周长是（     ）厘米。 A． B．3aπ C． D．3aπ＋6a 16．把一个圆剪拼成一个近似梯形（如图）。如果这个近似梯形的周长是，下面哪种说法是错误的？（     ） A．梯形的高是 B．圆的半径是 C．梯形的上底与下底的和为 D．圆的面积为 二、填空题 17．在同一个圆中，所有的半径都( )，所有的直径都( )，直径的长是半径的( )。 18．从长8厘米，宽6厘米的长方形中截取一个最大的圆，所截圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，剩余部分的面积是( )平方厘米。 19．把一张直径是4cm的圆形纸片分成若干（偶数）等份。剪开后拼成一个近似长方形（如图所示），这个长方形的周长比原来圆的周长增加了( )cm。 20．图中圆上各点是半圆的等分点，相邻各圆之间的距离相等，M点与B点在同一圆上。那么。 (1)图中阴影部分的面积是( )平方米。 (2)P点在O点的( )偏( )( )度方向，距离( )米。 (3)B点在O点的( )偏( )( )度方向，距离( )米。 21．如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 22．“外方内圆”与“外圆内方”是中国古代建筑中常见的设计。 如果外面正方形的边长是4cm，那么内圆的面积是( )cm2；如果外圆的直径是8cm，那么圆内大正方形的面积是( )cm2。 23．如图，圆的直径是12厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 24．如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 25．如图所示为一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场。若篱笆长9.42m，则这个养鸡场的面积是( )。 26．有一个圆形花坛，直径是14m，在它的周围修一条2m宽的小路，沿环形小路的外围每隔6m装一盏灯，一共安装( )盏灯。（π取值为3） 27．如下图，在这个长方形中正好可以画一个最大的半圆，已知长方形的长为10cm，半圆的周长是( )cm。 28．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是( )厘米，小圆滚动中扫过的面积是( )平方厘米。（结果保留π） 29．数学也是可以表达“爱”的，临近毕业，小丽想用圆规为数学张老师画一幅心形祝福卡，下图是她画的设计图。如果她想在“心形”的边线处贴上一圈金丝线，需要金丝线( )厘米。（不计损耗） 三、计算题 30．计算下面图形的表面积。 31．求阴影部分的面积（π取值为3.14）。 32．计算下面图形阴影部分的面积。 33．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 34．计算下面图形的周长。 35．求下图中阴影部分的面积。 36．求图形中阴影部分的面积。 37．计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm） 38．计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm） 39．计算图中涂色部分的面积。（单位：cm） 四、解答题 40．“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”，这句诗描绘了雨滴在水面激起圆形波纹的景象。现有一个长7米、宽6米的长方形水池，若波纹从池中心向外扩散，直至碰到池边，所形成的最大圆的周长和面积分别是多少？ 41．水转筒车是一种以水流作为动力、取水灌田的工具，又称“水轮”“水车”等，是中国古代人民的杰出发明（如图）。工人师傅要给一个水轮绑竹筒，已知水轮的半径是9米，如果每隔3.14米绑一个竹筒，那么工人师傅需要准备多少个竹筒？ 42．探测车车轮的外圆直径是50厘米。如果火星表面有一个圆形陨石坑，直径为10米，探测车绕坑一周车轮需要转动多少圈？（π取3.14） 火星表面陨石坑 43．一个靠墙的半圆形的养鸭场（如右图），靠墙的直径长8米，如果其他部分围成篱笆，篱笆有多长？ 44．如图，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，她们分别从A、B两处出发，沿各自所在的跑道内侧跑一圈，最后都到达终点。为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差多少米？ 45．公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 46．草地上有一个木屋，木屋地基是一个边长为5米的正方形（如图），A点是木屋的一角，在A点有一个木桩，用10米长的绳子把一头牛拴在木桩上。这头牛的最大活动面积是多少平方米？ 47．如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1∶2∶1，和为24厘米，图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？ 48．学校运动会就要举行了，操场跑道的形状和大小如下图。两边是半圆形，中间是长方形。（取3.14） （1）淘气沿着第二道（由里向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行200米赛跑，为了公平起见，请问第3道的起跑线与第1道相差多少米？ 49．生物在进化过程中，为了生存，部分动物的骨、植物的茎等是空心的，更抗弯、更轻量化。 (1)工人师傅制作了一个抗弯空心塑料零件（如图）。为了保护塑料零件，需要在零件侧面贴一层保护膜，这个零件至少需要多少平方厘米的保护膜？ (2)这个空心塑料零件底面的内圆直径和外圆直径之比是8∶11。该零件的体积是多少立方厘米？ 50．汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域。有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（下图所示）是司机视线的盲区。卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线。 下图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，圆心角，求此“右转危险区”的面积和周长。 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学上册单元考点梳理讲义（新教材） 第四单元 圆 目 录 第一部分 考点导图 第二部分 知识考点 第三部分 典例精讲 第四部分 变式训练 考点一：圆和扇形的认识 1．圆的认识 （1）圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。 （3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 （4）圆的特征 ①圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。 ②在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。d＝2r，或r＝d。 （5）用圆规画圆的方法 ①先把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离； ②再把带有针尖的一只脚固定在一点上； ③然后把装有铅笔的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 2．扇形的认识 （1）弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 （2）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 （4）扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 【易错点】 （1）同一圆内“半径与直径的关系”不适用不同圆：d=2r仅在“同一个圆或等圆”中成立，若两个圆大小不同（半径不同），则直径与半径的2倍关系不成立。 （2）圆的对称轴是“直径所在的直线”，且对称轴有无数条。 （3）扇形的“构成条件”：扇形必须同时满足“由两条半径和一条弧围成”且“两条半径的顶点在圆心”两个条件，缺一不可。 考点二：圆的周长 1．圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。一般用字母C表示。 2．测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。 3．圆周率：圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率。一般用字母π表示。在计算时，一般保留两位小数，即π≈3.14。 4．圆的周长： ，或。 5．半圆的周长：，或。 6．圆周长的一半： 。 【易错点】 （1）圆周率（π）的取值规范：计算时需按题目要求取π的值（如题目未说明，默认取3.14），且π是比值，无单位，不能说“π=3.14cm”。 （2）公式的灵活运用：已知半径求周长时，需先算“2r”再乘π（即C=2πr），避免漏乘2；已知周长求半径时，需先除以π再除以2，避免顺序颠倒。 考点三：圆的面积 1．圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 2．圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。 拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 3．圆的面积计算公式：S= 4．半圆的面积： ÷2 5．圆环： （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。 （2）计算公式： ，或 。 【易错点】圆环面积的计算关键：计算圆环面积时，需先明确“外圆半径（R）” 和“内圆半径（r）”，不能用“外圆直径减内圆直径”再算半径；且公式π（R2−r2）需先算“R²-r²”，再乘π，避免先“R-r”再平方。 考点四：含圆的组合图形的周长与面积 1．周长计算 （1）拆分图形：识别组合图形中的直线部分和曲线部分（曲线部分多为圆或半圆的周长）。 （2）计算各部分长度：直线部分求和，曲线部分按圆/半圆周长公式计算。 （3）总周长=直线部分长度+曲线部分长度（注意：组合图形中重合的边不算周长）。 2．面积计算 （1）拆分或补全：将组合图形拆为基础图形，或补全为完整图形。 （2）计算各基础图形面积。 （3）总面积=各基础图形面积的和/差。 【易错点】 （1）周长计算不遗漏曲线部分。 （2）面积计算不重复/漏算。 （3）统一单位：所有基础图形的边长、半径单位需一致，避免混合单位计算导致结果错误。 【典例题型1】圆的概念及特点 1．在平整的桌面上滚动一个圆，圆心运动的轨迹是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同一个圆内，所有的半径都相等，因此在平整的桌面上滚动一个圆，圆心的高度不变，运动的轨迹在一条直线上。 【详解】 在平整的桌面上滚动一个圆，因为所有的半径都相等，圆心运动的轨迹是。 【练习】1．在一个圆内，最长的线段有（     ）条。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】D 【分析】两端都在圆上且经过圆心的线段是直径，直径是圆内最长的线段。 【详解】在同一个圆中，符合直径特征的线段可以画出无数条，因此圆内最长的线段有无数条。 【典例题型2】弧、圆心角、扇形的认识 1．关于圆和扇形的认识，下列各种说法中，有（     ）是正确的。 ①因为扇形的大小与圆心角的大小紧密相关，所以圆心角大的扇形面积一定大于圆心角小的扇形面积； ②所有半径都相等； ③在一个圆里面画的线段中，直径最长； ④圆有无数条对称轴，扇形和半圆都有无数条对称轴； ⑤半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 A．①②③④⑤ B．①②④ C．②④ D．③⑤ 【答案】D 【分析】①因为扇形面积公式为（n表示圆心角），和圆心角、半径两个因素有关，所以判断时要考虑半径是否相同。 ②因为只有同圆或等圆的半径才相等，所以判断时要注意前提条件是否存在。 ③因为直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，所以直径是圆内最长的线段。 ④圆有无数条对称轴，但扇形只有1条对称轴，半圆也只有1条对称轴，不是无数条。 ⑤画圆时，圆心定在哪里圆就出现在哪里，半径画多长圆就有多大，所以圆心决定位置、半径决定大小。 【详解】①扇形面积由圆心角大小和半径长度共同决定，半径不确定时，圆心角大的扇形面积不一定更大，说法错误； ②只有同圆或等圆的半径才全部相等，缺少前提条件，说法错误； ③在同一个圆中画的所有线段里，直径是最长的，说法正确； ④圆有无数条对称轴，扇形和半圆都只有1条对称轴，说法错误； ⑤圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确。 正确的说法是③和⑤。 【练习】1．李师傅在制作蛋糕时，准备往一个装有半盒奶油的长方体裱花盒里，放入等底等高的一个圆柱形巧克力块和一个圆锥形巧克力块，当这两个巧克力块都浸没在奶油中时，奶油刚好装满裱花盒。李师傅用统计图来表示它们三者的体积与长方体裱花盒容积之间的关系，表示正确的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，奶油体积占裱花盒容积的，也就是奶油的百分比占圆的一半；因为将三者加起来刚好将裱花盒装满，所以圆柱与圆锥的体积之和占裱花盒容积的，也就是奶油的体积＝圆柱体积＋圆锥体积；等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱扇形圆心角是圆锥扇形圆心角的3倍；综上，奶油应该占圆的一半，圆柱圆心角是圆锥圆心角的3倍，据此解答即可。 【详解】A．扇形并没有标出角度，但通过奶油体积的占比比一半要少，可知不符合题意； B．180°－45°＝135°，135°÷45°＝3，从扇形可知奶油体积占一半，圆柱的圆心角是圆锥圆心角的3倍，符合题意； C．180°－60°＝120°，120°÷60°＝2，从扇形可知奶油体积占一半，圆柱的圆心角是圆锥圆心角的2倍，不符合题意； D．从扇形可知奶油体积的占比比一半要少，不符合题意。 【典例题型3】与圆相关的轴对称图形  1．要使大、小两个圆组成的图形有无数条对称轴，应采用画法（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆有无数条对称轴，所有对称轴都经过圆心。想要大小两个圆组成的图形拥有无数条对称轴，必须让两个圆圆心重合（同心圆）。 【详解】A．圆心不重合，只有1条对称轴； B．圆心不重合，只有1条对称轴； C．圆心不重合，只有1条对称轴； D．大小圆共用同一个圆心（同心圆），有无数条对称轴。 【练习】1．下面图形中对称轴最多的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，画出各个图形所有的对称轴即可解答。 【详解】 A． ，有4条对称轴。        B．，有4条对称轴。         C．，有6条对称轴。         D．，有3条对称轴。 【典例题型4】圆的周长 1．一个圆的周长是2024厘米，如果半径增加1厘米，那么周长增加（     ）厘米。 A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设原来圆的半径为r，半径增加1厘米后为（r＋1）厘米，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，分别计算变化前后的周长，求差即可得到周长增加的长度。 【详解】设原来圆的半径为r，原来的周长： 半径增加1厘米后的周长： 增加的周长：（厘米） 周长增加厘米。 【练习】1．我国古代数学史上关于圆的研究有很多记载，下面描述了圆心到圆上的距离一样长的是（     ）。 A．“圆，一中同长也” B．“没有规矩，不成方圆” C．“径一而周三” D．“圆出于方，方出于矩” 【答案】A 【分析】题干中“圆心到圆上的距离一样长”指的是圆的半径长度都相等，逐项分析即可。 【详解】A．“圆，一中同长也” 出自《墨经》，“一中”表示有一个中心（圆心），“同长”表示从中心到周边的距离相等（半径相等），符合题意，此选项正确。 B．“没有规矩，不成方圆” 是指画圆需要圆规，画方需要直尺，强调做事需要遵循规则，没有描述圆的半径特征，此选项错误。 C．“径一而周三” 是指圆的周长大约是直径的3倍，反映的是圆周率的早期认识，此选项错误。 D．“圆出于方，方出于矩” 是指圆可以从正方形切割而来，正方形可以用矩尺画出来，描述的是图形的形成，此选项错误。 【典例题型5】 半圆的周长 1．如下图，两只蚂蚁分别选择甲、乙两条路线从A地爬向B地，下面说法正确的是（     ）。 A．甲路线长 B．乙路线长 C．两条路线一样长 D．不能确定甲、乙两条路线哪条长 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，分别计算两条路线的长度，并比较。 【详解】假设A到B的总长度是D： 甲路线是直径为D的圆的半圆弧，长度＝π×D÷2。 乙路线是两个小半圆弧的和，假设两个小圆的直径分别是d1和d2，从图里能看出d1＋d2＝D，那么乙的总长度＝π×d1÷2 ＋ π×d2÷2 ＝ π×（d1＋d2）÷2 ＝ π×D÷2。 所以两条路线的长度是相等的。 【练习】1．下图是一个半圆，求它的周长的正确算式是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】半圆的周长等于圆周长的一半加上直径的长度，利用圆的周长公式：C＝，由此求得半圆的周长后选择正确答案即可。 【详解】根据分析得，半圆的周长＝， 半径＝15厘米，代入得： ＝3.14×15＋15×2 ＝47.1＋30 ＝77.1（厘米） 所以半圆的周长为：。 【典例题型6】 圆的周长的应用 1．冬季给树木“穿冬衣”时，工作人员用28.26m长的麻绳在一棵树的树干上缠绕了18圈。下列算式中，能求出该树干横截面直径的是（     ）。 A．28.26÷18 B．28.26÷18÷3.14 C．28.26÷18÷3.14÷2 D．28.26÷18÷3.14×2 【答案】B 【分析】先求出麻绳绕树干1圈的长度（麻绳总长度除以缠绕圈数），也就是树干横截面的周长，再结合圆的周长公式计算直径（）。 【详解】 树干横截面的周长：， 直径，代入周长算式得直径为。 【练习】1．烈士陵园内有一个直径为10米的圆形花坛，步长约为0.5米的小晨绕花坛走一圈，大约需要走（     ）步。（π取3.14） A．16 B．31 C．63 D．126 【答案】C 【分析】小晨绕圆形花坛走一圈，所走路程就是花坛的周长。先用圆的周长公式C＝πd求一圈的长度，再用一圈的长度除以每步约0.5米，求大约需要走的步数。 【详解】3.14×10＝31.4（米） 31.4÷0.5＝62.8（步）≈63（步） 所以小晨大约需要走63步。 【典例题型7】 含圆的组合图形的周长 1．如图，大小正方形的边长分别是8cm和3cm，阴影部分的周长是（     ）cm。 A．28.56 B．34.56 C．37.56 D．40.56 【答案】B 【分析】根据图示，阴影部分的周长等于2个8厘米，加2个3厘米，加半径是8厘米的圆周长的，圆的周长公式：C＝2πr（π取3.14），据此代入数值即可解答。 【详解】8×2＋3×2＋2×3.14×8÷4 ＝16＋6＋12.56 ＝34.56（厘米） 所以阴影部分的周长是34.56厘米。 【练习】1．如图，图A的周长和图B的周长相比较，（     ）。 A．图A大 B．图B大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】解答这道题需正确分析图A和图B周长的组成，然后再进行比较。图A的周长包括正方形的两条边长和直角扇形的弧长。图B的周长也包括正方形的两条边长和直角扇形的弧长。据此解答。 【详解】根据分析： 图A的周长＝正方形的两条边长＋直角扇形的弧长。 图B的周长＝正方形的两条边长＋直角扇形的弧长。 所以图A的周长＝图B的周长 故答案为：C 【典例题型8】 圆的面积 1．北京天坛是中国现存最大的古代祭祀性建筑群。其中祈年殿的底部是周长约为75.36米的圆。祈年殿的占地面积大约是多少平方米？ 【答案】452.16平方米 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，求出底面圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出占地面积。 【详解】75.36÷（2×3.14） ＝75.36÷6.28 ＝12（米） 3.14×122 ＝3.14×144 ＝452.16（平方米） 答：祈年殿的占地面积大约是452.16平方米。 【练习】1．光明小学有一个直径12米的圆形花圃。为了便于学生参观，学校打算在花圃周围铺上一条2米宽的鹅卵石小路。这条鹅卵石小路的面积有多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】小路是环形，面积等于外圆面积减去内圆面积，圆的面积＝（取3.14，r是半径），d＝2r（d是直径，r是半径），外圆的半径＝内圆的半径＋2，内圆的半径用圆形花圃的直径除以2，，再代入环形面积公式计算。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×－3.14× ＝3.14×64－3.14×36 ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：这条鹅卵石小路的面积有87.92平方米。 【典例题型9】圆的面积的应用 1．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 【答案】2.5434平方米 【分析】站在圈内的脚位置不变，跳跳球旋转形成一个圆，绳长90 厘米就是圆的半径，活动面积就是这个圆的面积，先把单位换算成米，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】90厘米＝0.9米 3.14×0.92 ＝3.14×0.81 ＝2.5434（平方米） 答：每个人的活动面积至少是2.5434平方米。 【练习】1．如图，草地上有一个长5m、宽3m的小屋，在小屋的墙角处有一个木桩，木桩上拴着一只羊。如果拴羊的绳子长6m，那么这只羊可以吃到的草的范围是多少平方米？（羊的身长和打结处忽略不计） 【答案】92.63平方米 【分析】根据题意，这只羊可以吃到的草的范围如下图阴影部分所示。阴影部分①的面积是以6米为半径圆面积的，阴影部分②的面积是以3米为半径圆面积的，阴影部分③的面积是以1米为半径圆面积的。将三块阴影部分面积加在一起即为这只羊可以吃到的草的范围大小。据此解答。 【详解】×3.14×＋×3.14×＋×3.14× ＝×3.14×36＋×3.14×＋×3.14× ＝×3.14×36＋×3.14×9＋×3.14×1 ＝84.78＋7.065＋0.785 ＝92.63（平方米） 答：这只羊可以吃到的草的范围是92.63平方米。 【典例题型10】  圆环的面积 1．工作人员准备在一座半径为40米的圆形公园外围，修建一条宽2米的环形步道。 (1)这条环形步道的面积是多少平方米？ (2)若草坪面积占改造后公园（含步道）总面积的，则草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）环形步道的面积即为圆环的面积。需先求出内圆半径和外圆半径，外圆半径等于内圆半径加上步道宽度，再利用圆环面积公式进行计算。 （2）求公园总面积的是多少，用公园总面积乘。 【详解】（1）（米） （平方米） 答：这条环形步道的面积是514.96平方米。 （2） （平方米） 答：草坪的面积是4154.22平方米。 【练习】1．如图，学校新建了一个直径是6米的回形喷水池，沿着水池的外沿修建了一条宽是2米的环形草坪。环形草坪的面积是多少？ 【答案】50.24平方米 【分析】圆的面积＝（取3.14，r是半径），求喷水池的半径，用喷水池的直径除以2；先求出喷水池的面积；求大圆半径，用喷水池的半径加环形草坪的宽度，再计算大圆的面积，最后求环形草坪的面积，用大圆的面积减去喷水池的面积， 【详解】6÷2＝3（米） 3＋2＝5（米） 3.14×－3.14× ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：环形草坪的面积是50.24平方米。 【典例题型11】  求最大面积 1．李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【答案】； 方案一；方案一的圆形鱼池的面积是28.26平方米，方案二的半圆形鱼池的面积是25.12平方米。28.26＞25.12，建议李叔叔选择方案一。 【分析】方案一：在长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；连接长方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，宽的一半长度作为圆的半径，据此画出这个圆形鱼池； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形鱼池的占地面积； 方案二：在长方形里画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长；以一条长边的中心为圆心，以长的一半长度为半圆的半径，据此画出这个半圆形鱼池； 根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形鱼池的占地面积； 比较两种方案鱼池的占地面积，建议选择面积大的鱼池。 【详解】图略 方案一： 圆形鱼池的直径是6米，半径是6÷2＝3（米） 圆形鱼池的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 方案二： 半圆形鱼池的直径是8米，半径是8÷2＝4（米） 半圆形鱼池的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方米） 28.26＞25.12 答：我建议李叔叔选择方案一。因为在同样大小的长方形空地上，方案一的鱼池占地面积更大。 【练习】1．如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 【答案】小羊A吃到草的面积大一些，相差3π平方米。 【分析】观察图形可知，小羊A能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的，小羊B能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的一半加上半径是（4－2）米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，分别求出小羊A和小羊B的面积，据此进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝12π（平方米） ＝ ＝ ＝9π（平方米） 12π平方米＞9π平方米 12π—9π＝3π（平方米） 答：小羊A吃到菜的面积大一些，相差3π平方米。 【点睛】本题考查圆的面积，明确小羊A和小羊B吃草的范围是解题的关键。 【典例题型12】 方中圆和圆中方的面积问题 1．课堂上老师组织探究活动：已知正方形的面积是40平方厘米，求涂色部分的面积。淘气举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积。” (1)淘气说得对吗？如果对，请你在图上将淘气的想法表示出来。如果不对，请说明理由。 (2)涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)对； (2)8.6平方厘米 【分析】（1）由图可知，圆的直径等于大正方形的边长，把正方形分成四个相等的小正方形后，圆的半径等于小正方形的边长，由“”可知，半径的平方等于小正方形的面积，每个小正方形的面积等于大正方形面积的，最后根据“”可以求出圆的面积； （2）先根据淘气的说法求出圆的面积，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积。 【详解】（1）分析可知，淘气说得对，作图略 （2）半径的平方：40÷4＝10（平方厘米） 圆的面积：3.14×10＝31.4（平方厘米） 涂色部分的面积：40－31.4＝8.6（平方厘米） 答：涂色部分的面积是8.6平方厘米。 【练习】1．奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】98平方厘米 【分析】圆周长＝2r＝d，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【详解】如图： 43.96÷3.14＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝98÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：中间最大正方形的面积是98平方厘米。 【典例题型13】  扇形的周长和面积 1．淘淘有一个半径为4厘米的鲜花饼，他把鲜花饼切成若干个大小相同的小扇形，分给其他小朋友吃。奇奇取走3块以后，剩下的这块鲜花饼的平面图如图所示，剩下的这块鲜花饼的周长是多少厘米？ 【答案】26.84厘米 【分析】先观察图形：整个鲜花饼原本被平均分成了12个完全相同的小扇形，奇奇取走3块后，剩下的部分占整个圆的； 剩下图形的周长由两部分组成：第一部分是剩下的圆弧长度是整圆周长的，第二部分是缺口处的两条半径。计算后相加即可。 【详解】整圆周长：2×半径×π＝2×4×3.14＝25.12（厘米） 段圆弧长：（厘米） 缺口处的两条半径长度和：4×2＝8（厘米） 剩下的这块鲜花饼的周长：18.84＋8＝26.84（厘米） 答：剩下的这块鲜花饼的周长是26.84厘米。 【练习】1．如下图，利用两面墙作边，用栅栏围成一个扇形羊圈。已知羊圈的直径是10米，则围成的羊圈面积是多少平方米？至少需要多少米长的栅栏？ 【答案】58.875平方米；23.55米 【分析】由图可知，羊圈的面积占整个圆面积的，需要栅栏的长度占整个圆周长的，利用“”“”分别求出羊圈的面积和需要栅栏的长度，据此解答。 【详解】3.14×（10÷2）2× ＝3.14×25× ＝78.5×0.75 ＝58.875（平方米） 3.14×10× ＝31.4×0.75 ＝23.55（米） 答：围成的羊圈面积是58.875平方米，至少需要23.55米长的栅栏。 一、选择题 1．下面不一定是轴对称图形的是（     ）。 A．圆 B．正方形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】轴对称的定义和特征：具有对称性的图形称为轴对称图形。轴对称图形对折后，中间这条折痕所在的直线就是这个图形的对称轴。轴对称图形的特征是对称轴两边的图形能够完全重合，对称点到对称轴的距离相等。 【详解】A．圆沿任意一条直径所在的直线对折，两侧图形都能完全重合，有无数条对称轴，一定是轴对称图形； B．正方形沿对边中点连线或对角线对折，两侧图形能完全重合，有4条对称轴，一定是轴对称图形； C．等腰梯形沿上下底中点的连线对折，两侧图形能完全重合，有1条对称轴，一定是轴对称图形； D．普通平行四边形沿任意直线对折，两侧都不能完全重合，只有特殊的平行四边形（如长方形、菱形）才是轴对称图形，因此平行四边形不一定是轴对称图形。 2．下面说法正确的是（     ）。 A．大圆的圆周率小于小圆的圆周率 B．圆周率是一个准确值，等于3.14 C．圆周率是一个无限不循环小数 D．圆周率的大小会随圆的半径变大而增大 【答案】C 【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π是一个常数（约等于3.14），它是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。据此逐项分析解答。 【详解】A．圆周率是固定值，与圆的大小无关，大圆和小圆的圆周率相等，原说法错误。 B．圆周率是无限不循环小数，3.14是它的近似值，不是准确值，原说法错误。 C．圆周率是无限不循环小数，原说法正确。 D．圆周率大小固定，不会随圆的半径变化而改变，原说法错误。 3．一个半圆形，它的半径是r，它的周长是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】半圆的周长由圆周长的一半和一条直径的长度组成，分别计算两部分再求和即可。 【详解】2πr÷2＋2r ＝πr＋2r 一个半圆形，它的半径是r，它的周长是πr＋2r。 4．如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的直径（     ）。 A．相等 B．圆周率大的圆的直径小 C．圆周率大的圆的直径大 D．无法确定 【答案】A 【分析】圆的圆周率是固定不变的常数，圆的周长公式：圆的周长＝圆周率×直径，变形可得：直径＝圆的周长÷圆周率。 【详解】圆周率是固定不变的常数，所有圆的圆周率都一样，现在两个圆周长相等，除以同一个固定的圆周率，算出来的直径肯定相等。 5．外圆半径为R，内圆半径为r的圆环的面积等于（     ）。 A．2πR－2πr B．π（R－r）2 C．πR2－πr2 D．π（R＋r）2 【答案】C 【分析】圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，圆的面积计算公式为S＝πr2（r为圆的半径）。 【详解】外圆面积：πR2 内圆面积：πr2 圆环面积：πR2－πr2 或πR2－πr2＝π（R2－r2） 6．在同一个平面内，由大小不同的两个圆组成的图形（     ）。 A．没有对称轴 B．只有一条对称轴 C．只有两条对称轴 D．有一条或无数条对称轴 【答案】D 【分析】先区分两个大小不同的圆的两种位置情况，再结合轴对称图形的定义判断对称轴数量即可。 【详解】如果两个圆的圆心不重合，只有过两个圆心的1条直线是对称轴； 如果两个圆是圆心重合的同心圆，所有过圆心的直线都是对称轴，有无数条。 因此这个组合图形有一条或无数条对称轴。 7．如果一个圆的半径增加1cm，那么它的周长增加（     ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．1 【答案】B 【分析】假设圆原来的半径是1cm，根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，分别求出半径增加前后的周长，求差即可得到周长增加的长度。 【详解】假设圆原来的半径是1cm。 原来的周长：2×3.14×1＝6.28（cm） 半径增加后的周长：2×3.14×（1＋1） ＝2×3.14×2 ＝12.56（cm） 增加的周长：12.56－6.28＝6.28（cm） 8．篮球场的三分线由两部分组成（如下图），一部分是半径为6.75m的半圆弧线，另一部分是与端线垂直的两条线段，每段长1.575m。三分线大约长（     ）米。 A．3.14×6.75＋1.575×2 B．3.14×6.75×2＋1.575 C．3.14×（6.75＋1.575） D．3.14×6.75＋1.575 【答案】A 【分析】根据求出圆的周长，再除以2即可求出圆周长的一半，即半圆弧线长度，再加上两条线段的长度即可。 【详解】半圆的长为：2×3.14×6.75÷2，整理可得3.14×6.75 两条线段长为：1.575×2 三分线长为：3.14×6.75＋1.575×2 9．在一块长8厘米、宽4厘米的储能电池金属底板上画最大圆形散热片，这个散热片的面积是（     ）平方厘米。 A．12.56 B．28.26 C．6.28 D．无法确定 【答案】A 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，由直径求出圆的半径，再根据圆的面积公式：计算即可。 【详解】圆的半径：（厘米） 圆的面积： （平方厘米） 10．小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面的纸片最合适的是（     ）。 A．长是8厘米，宽是6厘米的长方形 B．边长是4厘米的正方形 C．长是9厘米，宽是8厘米的长方形 D．周长是28厘米的正方形 【答案】C 【分析】圆的面积＝，圆的面积÷，计算出圆的半径。如果要从纸片里剪出一个圆形纸片，则纸片的短边不小于圆的直径，据此分析。 【详解】50.24÷3.14＝16，4×4＝16 所以面积是50.24平方厘米的圆形纸片，它的半径是4厘米，直径是8厘米。 A．6＜8，长是8厘米，宽是6厘米的长方形，无法剪出一个直径8厘米的圆形； B．4＜8，边长是4厘米的正方形，无法剪出一个直径8厘米的圆形； C．8＝8，长是9厘米，宽是8厘米的长方形，可以剪出一个直径8厘米的圆形； D．28÷4＝7，周长是28厘米的正方形，它的边长是7厘米，7＜8，无法剪出一个直径8厘米的圆形。 11．第七小学有个劳动实践基地，五（1）班同学准备用同一种长度的篱笆围一个小花圃。下面说法正确的是（     ）。 A．围成长方形的面积大 B．围成正方形的面积大 C．围成圆形的面积大 D．围成不规则图形的面积大 【答案】C 【分析】当周长固定时，圆的面积最大，不规则图形：通常面积小于规则图形，且无法超越圆形的最大面积特征。 【详解】准备用同一种长度的篱笆围一个小花圃。即周长一定，记为。 借助长方形和圆的面积公式推导: （1）设长方形的长为，宽为，周长，面积。 当时，即为正方形时，面积最大为 （2）设圆的半径为，周长，面积。 12.56＜16 所以圆的面积更大。 故答案为：C 12．如图中，三角形的面积是6平方米，圆的面积是（     ）平方米。 A．37.68 B．9.42 C．28.26 D．18.84 【答案】D 【分析】根据图示可知，正方形的面积等于三角形面积的4倍，再根据圆的直径等于正方形的边长，6×4计算正方形的面积，再除以4就是圆的半径的平方，再乘π计算圆的面积即可。 【详解】6×4÷4×3.14＝18.84（平方米） 圆的面积是18.84平方米。 13．用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（     ）。 A．甲剩的多 B．乙剩的多 C．丙剩的多 D．剩的一样多 【答案】D 【详解】假设正方形的边长是6，则甲图形圆的半径是6÷3÷2＝1，乙图形的圆的半径是6÷2÷2＝1.5，丙图形圆的半径是6÷2＝3，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2，用正方形的面积减去圆的面积和或圆的面积求出剩下的面积，再进行比较即可解答。 【解答】设正方形的边长是6。 甲：6÷3÷2＝1 6×6－3.14×12×9 ＝6×6－3.14×1×9 ＝36－28.26 ＝7.74 乙：6÷2÷2＝1.5 6×6－3.14×1.52×4 ＝6×6－3.14×2.25×4 ＝36－28.26 ＝7.74 丙：6÷2＝3 6×6－3.14×32 ＝6×6－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74 7.74＝7.74＝7.74 所以白铁皮剩下的废料一样多。 14．“转化”是小学阶段重要的数学思想，下面运用该思想的有（     ）。 A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】①把不规则图形通过割补法转化成长方形； ②只是图形补全，没有转化计算； ③把圆柱转化成长方体； ④把异分母分数加法转化成同分母分数加法，都用到了转化。 【详解】①把左边的半圆平移到右边空缺处，把不规则图形转化成完整长方形，用到转化。 ②只是画出图形的另一半，属于轴对称画图，没有转化计算，没有用到转化思想。 ③把圆柱切拼转化成长方体，推导体积公式，用到转化。 ④把异分母分数通分，转化成同分母分数再计算，用到转化。 ①③④符合。 15．如图是由3个半圆组成的图形，图中阴影部分的周长是（     ）厘米。 A． B．3aπ C． D．3aπ＋6a 【答案】B 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长分为三部分，分别是直径为a、直径为2a，直径为（a＋2a）的圆周长一半的和，根据圆的周长公式：，分别把数据代入公式算出各自周长，相加后再除以2即可得解。 【详解】π×a＝πa（厘米） π×2a＝2πa（厘米） π×（a＋2a） ＝π×3a ＝3aπ（厘米） （πa＋2πa＋3aπ）÷2 ＝（3aπ＋3aπ）÷2 ＝6aπ÷2 ＝3aπ（厘米） 图中阴影部分的周长是3aπ厘米。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 16．把一个圆剪拼成一个近似梯形（如图）。如果这个近似梯形的周长是，下面哪种说法是错误的？（     ） A．梯形的高是 B．圆的半径是 C．梯形的上底与下底的和为 D．圆的面积为 【答案】C 【分析】圆被平均分成16个小扇形，所有小扇形的弧长之和是圆的周长，小扇形的半径就是圆的半径，剪拼成近似梯形后，梯形的高和腰是由两个小扇形的半径r组成，即高和腰的长度都是2r；梯形的上底与下底之和是8个小扇形的弧长，即16个弧长的小扇形弧长的一半，即圆周长的一半。根据“8个小扇形的弧长＋4条半径的长度＝梯形的周长”的等量关系，设圆的半径为r，列出关于r的方程，然后逐项分析四个选项即可。 【详解】解：设这个圆的半径为。 A．梯形的高是：2×2＝4（cm），说法正确； B．圆的半径是r＝2cm；说法正确； C．梯形的上底与下底的和为： （厘米） ＝ ＝ ＝（厘米） 所以，说法错误 D．圆的面积为：＝＝12.56（平方厘米），说法正确； 故答案为： 【点睛】关键点是明确圆剪拼成近似梯形后，各部分与圆的半径、周长的对应关系。 二、填空题 17．在同一个圆中，所有的半径都( )，所有的直径都( )，直径的长是半径的( )。 【答案】 相等 相等 2倍 【分析】根据圆的基础性质：在同一个圆里，从圆心到圆上任意一点的线段都是半径，所以所有半径长度都相等；经过圆心且两端都在圆上的线段是直径，所有直径长度也都相等；一条直径刚好可以拆成2条同圆的半径，所以直径长度是半径的2倍。 【详解】在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长是半径的2倍。 18．从长8厘米，宽6厘米的长方形中截取一个最大的圆，所截圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，剩余部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 3 18.84 19.74 【分析】从长方形中截取一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的宽除以2得到圆的半径；圆的周长C＝πd，算出圆的周长；圆的面积，长方形面积＝长×宽，用长方形面积减去所截的圆的面积即可得到剩余部分的面积。 【详解】半径：6÷2＝3（厘米） 周长：3.14×6＝18.84（厘米） 剩余部分的面积： 8×6－3.14×32 ＝48－3.14×9 ＝48－28.26 ＝19.74（平方厘米） 19．把一张直径是4cm的圆形纸片分成若干（偶数）等份。剪开后拼成一个近似长方形（如图所示），这个长方形的周长比原来圆的周长增加了( )cm。 【答案】4 【分析】根据圆面积公式的推导方法可知，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度。据此解答。 【详解】4÷2×2＝4（cm） 这个长方形的周长比原来圆的周长增加了4cm。 20．图中圆上各点是半圆的等分点，相邻各圆之间的距离相等，M点与B点在同一圆上。那么。 (1)图中阴影部分的面积是( )平方米。 (2)P点在O点的( )偏( )( )度方向，距离( )米。 (3)B点在O点的( )偏( )( )度方向，距离( )米。 【答案】(1)1413 (2) 北 西 30 40 (3) 北 东 60 50 【分析】结合图示可知，相邻各圆之间的距离相等，M点与B点在同一圆上，图上相邻圆间距代表实际距离10米。 （1）实际距离＝相邻圆间距间隔数，计算出阴影部分对应的内外半径OP和OB的实际距离，利用半圆面积公式：，阴影部分的面积等于两个半圆的面积的差，由此解答本题； （2）由（1）已求出P点与O点的实际距离，图中圆上各点是半圆的等分点，图上把半圆180°平均分成12份，∠MOP是2份，计算出∠MOP的度数，利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，结合图示去确定方向。 （3）由（1）已求出B点与O点的实际距离，图中圆上各点是半圆的等分点，图上把半圆180°平均分成12份，∠MOB是4份，计算出∠MOB的度数，利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，结合图示确定方向。 【详解】（1）（米） （米） （平方米） （2） P点在O点的北偏西30度方向，距离40米。 （3） B点在O点的北偏东60度方向，距离50米。 21．如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】18.84 【分析】观察图形可得：阴影部分的面积＝以AB＇为直径的半圆的面积＋扇形ABB＇的面积－以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB＇；扇形的圆心角是60°，半径为6厘米，然后再根据扇形的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝3.14×（36×） ＝3.14×6 ＝18.84（平方厘米） 22．“外方内圆”与“外圆内方”是中国古代建筑中常见的设计。 如果外面正方形的边长是4cm，那么内圆的面积是( )cm2；如果外圆的直径是8cm，那么圆内大正方形的面积是( )cm2。 【答案】 12.56 32 【分析】外方内圆，正方形的边长＝圆的直径，直径÷2＝半径，半径代入公式：圆面积S＝πr2，求出内圆面积；“外圆内方”：外圆的直径是正方形的对角线长度，将正方形沿一条对角线分成了两个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，该底边上的高是圆的半径，所以一个三角形的面积＝直径×半径÷2，正方形面积＝三角形面积×2＝直径×半径÷2×2＝直径×半径，代入数值求出正方形面积。 【详解】圆面积： 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 正方形面积： 8×（8÷2） ＝8×4 ＝32（cm2） 23．如图，圆的直径是12厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】41.04 【分析】由题中图可知，求阴影部分的面积是圆的面积减去空白正方形的面积，已知圆直径是12厘米，根据圆的面积等于求出圆的面积，空白正方形的面积可以用两个三角形面积相加计算，三角形面积底乘高除以2，即用直径乘半径除以2，最后再乘2即可。（） 【详解】圆的直径是12厘米，圆的半径是12÷2＝6（厘米） 圆的面积＝（平方厘米） 三角形面积＝12×6÷2＝36（平方厘米） 空白正方形的面积＝36×2＝72（平方厘米） 阴影部分的面积＝113.04－72＝41.04（平方厘米） 所以阴影部分的面积是41.04平方厘米。 24．如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】4 【分析】面积最大的三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积即可。 【详解】4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 所以这个三角形的面积是4平方厘米。 25．如图所示为一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场。若篱笆长9.42m，则这个养鸡场的面积是( )。 【答案】14.13 【分析】根据图形可知篱笆长度为圆周长的一半。圆的周长，据此算出半径。养鸡场的面积为圆面积的一半。圆的面积，据此计算即可。 【详解】 26．有一个圆形花坛，直径是14m，在它的周围修一条2m宽的小路，沿环形小路的外围每隔6m装一盏灯，一共安装( )盏灯。（π取值为3） 【答案】9 【分析】花坛直径＋小路宽×2＝大圆直径，根据圆的周长＝πd，求出大圆周长，再根据封闭图形植树，棵数＝段数，用大圆周长÷间距即可。 【详解】14＋2×2＝18（m） 3×18＝54（m） 54÷6＝9（盏） 27．如下图，在这个长方形中正好可以画一个最大的半圆，已知长方形的长为10cm，半圆的周长是( )cm。 【答案】25.7 【分析】半圆的半径为长方形长的一半，半圆的周长＝直径＋圆周长的一半（πr）。 【详解】半圆的周长＝10＋3.14×（10÷2） ＝10＋3.14×5 ＝10＋15.7 ＝25.7（cm） 28．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是( )厘米，小圆滚动中扫过的面积是( )平方厘米。（结果保留π） 【答案】 22π 132π 【分析】当小圆紧贴大圆滚动一周时，小圆圆心的运动轨迹是一个以大圆圆心为圆心，半径为大圆半径与小圆半径之和的圆。大圆半径为8厘米，小圆半径为3厘米，因此小圆圆心轨迹的半径为8＋3＝11厘米。根据圆的周长公式C＝2πr（其中C为周长，r为半径），小圆圆心移动的路程为2π×11＝22π（厘米）。 小圆滚动扫过的区域是一个环形，这个环形的外圆半径是大圆半径加上2倍的小圆半径（小圆紧贴大圆外侧滚动，扫过区域的最外侧到大圆圆心的距离是大圆半径加上小圆的直径），内圆半径就是大圆的半径。外圆半径为8＋3×2＝14（厘米），内圆半径为8厘米。根据圆环面积公式S＝π（R2－r2）（其中S为圆环面积，R为外圆半径，r为内圆半径），扫过的面积为π×（142－82），求出结果即可。 【详解】解小圆圆心移动的路程： 轨迹半径：8＋3＝11（厘米） 路程：2×π×11＝22π（厘米） 小圆滚动扫过的面积： 外圆半径：8＋3×2＝8＋6＝14（厘米） 面积：π×（142－82） ＝π×（196－64） ＝132π（平方厘米） 小圆圆心移动的路程是22π厘米，小圆滚动中扫过的面积是132π平方厘米。 29．数学也是可以表达“爱”的，临近毕业，小丽想用圆规为数学张老师画一幅心形祝福卡，下图是她画的设计图。如果她想在“心形”的边线处贴上一圈金丝线，需要金丝线( )厘米。（不计损耗） 【答案】25.12 【分析】观察图形可知，每个小正方形的边长为2厘米，心形的全部边线都是圆弧，这些圆弧一共是8段半径为2厘米的四分之一圆弧，拼接后刚好相当于2个完整的半径为2厘米的圆。圆的周长C＝2πr，算出1个圆的周长，再乘2即可求出金丝线的长度。 【详解】2×3.14×2×2 ＝6.28×2×2 ＝12.56×2 ＝25.12（厘米） 三、计算题 30．计算下面图形的表面积。 【答案】395.64dm2 【分析】根据底面周长求出底面半径，先求出底面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，求出圆柱侧面积，根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，求圆柱表面积即可。 【详解】（dm） （dm2） （dm2） （dm2） 31．求阴影部分的面积（π取值为3.14）。 【答案】150.72平方厘米 【分析】如图，最外面圆的半径是（6＋4）厘米，大圆的半径是6厘米，小圆的半径是4厘米。根据圆的面积S＝πr2，代入数据计算出最外面圆的面积、大圆的面积以及小圆的面积。那么阴影部分的面积＝最外面圆的面积－大圆的面积－小圆的面积。 【详解】3.14×（6＋4）2－3.14×62－3.14×42 ＝3.14×102－3.14×36－3.14×16 ＝3.14×100－3.14×36－3.14×16 ＝314－113.04－50.24 ＝150.72（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是150.72平方厘米。 32．计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】 10.75cm2 【分析】计算该阴影部分面积时，可通过“长方形面积减去半圆面积”求解：先确定长方形的长为10cm，宽等于圆的半径（10÷2＝5cm），再算出两个圆心角为90°的扇形合起来是一个半圆，最后用长方形面积减去半圆面积即可。 【详解】10÷2＝5（cm） 10×5－3.14×52÷2 ＝50－39.25 ＝10.75（cm2） 阴影部分的面积是10.75cm2。 33．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】21.87平方厘米 【分析】正方形的边长为6厘米，圆的直径为6厘米，阴影部分的面积＝正方形的面积－半圆的面积，正方形的面积：S＝a2，圆的面积：S＝πr2。 【详解】6÷2＝3（厘米） 6×6－3.14×32÷2 ＝36－3.14×9÷2 ＝36－14.13 ＝21.87（平方厘米） 34．计算下面图形的周长。 【答案】91.4cm 【分析】封闭图形一周的长度叫做周长，图中周长是直径为20cm圆周长的一半，加3条20cm长的线段，用算出圆的周长除以2再加20乘3即可。 【详解】 （cm） 35．求下图中阴影部分的面积。 【答案】66.5cm2 【分析】根据圆的面积公式：，先算半径为10cm的四分之一大圆的面积；再算右下角空白大三角形的面积；再算右侧边长为6cm的小正方形面积；阴影面积＝四分之一大圆面积＋小正方形面积－空白大三角形面积。 【详解】 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） ＝ ＝48（cm2） 6×6＝36（cm2） 78.5＋36－48＝66.5（cm2） 36．求图形中阴影部分的面积。 【答案】22.88平方厘米 【分析】阴影部分的面积等于梯形的面积减去半圆的面积。由题中图上数据可知，圆的半径是4厘米，所以梯形的上底是8厘米，高是4厘米，下底是16厘米，由此分别计算出梯形的面积和半圆的面积相减即可。（） 【详解】梯形上底：4＋4＝8（厘米） 梯形的高＝圆的半径＝4厘米 梯形的面积：（8＋16）×4÷2 ＝24×4÷2 ＝48（平方厘米） 半圆的面积： （平方厘米） 阴影部分面积：48－25.12＝22.88（平方厘米） 37．计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】24cm2 【分析】把右侧半圆里的阴影部分，补到左侧半圆的空白处，阴影部分就拼成了一个上底为8－4＝4cm、下底为8cm、高为4cm的梯形，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可解答。 【详解】（8－4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 38．计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】29.44 【分析】由图可知，梯形的上底是5cm，梯形的高和圆的半径都是4cm，梯形的下底等于圆的直径加上8。先求出梯形的面积和圆的面积，再用梯形的面积减去四分之一圆的面积即可求出阴影部分的面积。 梯形的面积公式，圆的面积公式。 【详解】梯形的下底：（cm） 梯形的面积： （） 圆的面积：（） 阴影部分面积： （） 39．计算图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】7.5cm2 【分析】采用割补法，把右侧月牙形涂色部分移到左侧空白弧形区域，两块涂色部分拼接后刚好组成一个直角梯形，找到梯形的上底、下底和高，再用公式计算。 【详解】梯形上底：4－3＝1（cm） 梯形下底：4cm，高：3cm （1＋4）×3÷2 ＝5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（cm2） 四、解答题 40．“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”，这句诗描绘了雨滴在水面激起圆形波纹的景象。现有一个长7米、宽6米的长方形水池，若波纹从池中心向外扩散，直至碰到池边，所形成的最大圆的周长和面积分别是多少？ 【答案】周长18.84米，面积28.26平方米 【分析】波纹从池中心扩散至池边形成的最大圆，其直径等于长方形水池的较短边，所以圆的直径为6米，半径为6÷2＝3（米），圆的周长：C＝2πr，圆的面积：S＝πr2；把数据代入圆的周长、面积公式计算即可。 【详解】长方形水池长7米、宽6米，，因此最大圆的直径等于长方形的宽，为6米。 6÷2＝3（米） （米） （平方米） 答：最大圆的周长是18.84米，面积是28.26平方米。 41．水转筒车是一种以水流作为动力、取水灌田的工具，又称“水轮”“水车”等，是中国古代人民的杰出发明（如图）。工人师傅要给一个水轮绑竹筒，已知水轮的半径是9米，如果每隔3.14米绑一个竹筒，那么工人师傅需要准备多少个竹筒？ 【答案】18个 【分析】因为水轮是圆形，所以首先需要根据圆的周长公式计算水轮的周长，其中为水轮半径。 因为竹筒是沿圆周均匀间隔绑定，属于封闭路线的植树问题，所以竹筒数量等于周长除以相邻两个竹筒的间隔距离。 【详解】3.14×9×2÷3.14＝18（个） 答：工人师傅需要准备18个竹筒。 42．探测车车轮的外圆直径是50厘米。如果火星表面有一个圆形陨石坑，直径为10米，探测车绕坑一周车轮需要转动多少圈？（π取3.14） 火星表面陨石坑 【答案】20圈 【分析】分别求出车轮的外圆周长和陨石坑的周长，再用陨石坑的周长除以车轮的外圆周长。注意要先统一单位。 【详解】50厘米＝0.5米 （3.14×10）÷（3.14×0.5） ＝31.4÷1.57 ＝20（圈） 答：探测车绕坑一周车轮需要转动20圈。 43．一个靠墙的半圆形的养鸭场（如右图），靠墙的直径长8米，如果其他部分围成篱笆，篱笆有多长？ 【答案】12.56米 【分析】根据题意，围篱笆的部分是半圆的弧长。已知直径的长度，根据半圆的弧长解答。 【详解】 （米） 答：篱笆的长度为12.56米。 44．如图，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，她们分别从A、B两处出发，沿各自所在的跑道内侧跑一圈，最后都到达终点。为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差多少米？ 【答案】6.28米 【分析】跑道由两条直道和两端半圆形弯道组成。相邻跑道直道长度相等，周长差只来源于弯道；内外弯道合起来是大小两个同心圆。相邻跑道半径相差跑道宽度1m，周长差＝外圆周长－内圆周长。根据圆的周长公式C＝2πr，内圆半径为32米，相邻外圆半径比内圆半径多1米，即32＋1＝33（米），代入周长公式求解即可。 【详解】32＋1＝33（米） 2×3.14×33－2×3.14×32 ＝6.28×33－6.28×32 ＝207.24－200.96 ＝6.28（米） 答：静静和欢欢的起跑线应相差6.28米。 45．公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【详解】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 46．草地上有一个木屋，木屋地基是一个边长为5米的正方形（如图），A点是木屋的一角，在A点有一个木桩，用10米长的绳子把一头牛拴在木桩上。这头牛的最大活动面积是多少平方米？ 【答案】274.75平方米 【分析】因为木桩在正方形木屋的角A点，木屋挡住了的活动范围，所以牛先拥有以A为圆心、10米为半径的圆形活动区域；当牛绕到木屋相邻的两个墙角时，绳子被墙角限制，剩余绳长为10−5＝5米，在这两个墙角又各形成一个半径5米的小圆，两部分合起来正好是一个半圆。最后把大圆的面积与半圆的面积相加，即可求出这头牛的最大活动面积。根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值计算即可。 【详解】3.14×102× ＝3.14×100× ＝314× ＝235.5（平方米）   3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方米） 235.5＋39.25＝274.75（平方米） 答：这头牛的最大活动面积是274.75平方米。 47．如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1∶2∶1，和为24厘米，图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？ 【答案】11.61平方厘米 【分析】 先根据上底、下底、高的比例与三者的和，按比例分配求出三个量的具体长度。甲的面积＋①的面积＝半圆的面积，乙的面积＋①的面积＝梯形的面积－扇形的面积（大圆面积的），用梯形的面积减去扇形的面积再减去半圆的面积，也就是甲与乙的面积之差。 【详解】1＋2＋1＝4（份） 上底：24×＝6（厘米） 下底：6×2＝12（厘米） 高：6×1＝6（厘米） 梯形面积： （6＋12）×6÷2 ＝18×6÷2 ＝108÷2 ＝54（平方厘米） 扇形面积： 3.14×62× ＝3.14×36× ＝113.04× ＝28.26（平方厘米） 半圆面积： 3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 甲与乙的面积之差：54－28.26－14.13＝11.61（平方厘米） 答：图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少11.61平方厘米。 48．学校运动会就要举行了，操场跑道的形状和大小如下图。两边是半圆形，中间是长方形。（取3.14） （1）淘气沿着第二道（由里向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行200米赛跑，为了公平起见，请问第3道的起跑线与第1道相差多少米？ 【答案】（1）206.76米； （2）12.56米。 【分析】（1）两个半圆形的跑道合起来就是一个圆，先求出第二道两个半圆的直径，即32＋1×2，根据圆的周长公式＝πd，求出圆的周长再加上两条直跑道的长，即可求得淘气跑了多少米。 （2）先求出相邻的两个跑道相隔的距离，即道宽乘2π，则第3道和第1道相差（3－1）个这样的距离，相乘即可。 【详解】（1） ＝（32＋2）×3.14＋50×2 ＝34×3.14＋50×2 ＝106.76＋100 （米）   答：淘气跑了206.76米。   （2） （米）          答：第3道的起跑线与第1道相差12.56米。 49．生物在进化过程中，为了生存，部分动物的骨、植物的茎等是空心的，更抗弯、更轻量化。 (1)工人师傅制作了一个抗弯空心塑料零件（如图）。为了保护塑料零件，需要在零件侧面贴一层保护膜，这个零件至少需要多少平方厘米的保护膜？ (2)这个空心塑料零件底面的内圆直径和外圆直径之比是8∶11。该零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)2763.2平方厘米 (2)7159.2立方厘米 【分析】（1）圆柱侧面积＝底面周长×高，底面周长＝圆周率×底面直径； （2）将比的前后项看成份数，外圆直径÷对应份数＝一份数，一份数×内圆直径对应份数＝内圆直径，零件的体积＝底面积×高，零件底面是圆环，圆环面积＝圆周率×（外圆半径的平方－内圆半径的平方）。 【详解】（1）3.14×22×40＝2763.2（平方厘米） 答：这个零件至少需要2763.2平方厘米的保护膜。 （2）22÷11×8＝16（厘米） 16÷2＝8（厘米） 22÷2＝11（厘米） （立方厘米） 答：该零件的体积是7159.2立方厘米。 50．汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域。有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（下图所示）是司机视线的盲区。卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线。 下图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，圆心角，求此“右转危险区”的面积和周长。 【答案】面积18.06平方米，周长33.98米 【分析】观察图形可知，“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积＋扇形O2BC的面积－扇形O1AD的面积； “右转危险区”的周长＝弧AD长度＋AB＋CD＋弧BC的长度，据此解答。 【详解】10×10－4×4＋3.14×42× －3.14×102× ＝100－16＋12.56－78.5 ＝18.06（平方米）； 3.14×10×2×＋（10－4）×2＋3.14×4×2× ＝3.14×5＋12＋3.14×2 ＝21.98＋12 ＝33.98（米） 答：“右转危险区”的面积是18.06平方米，周长是33.98米。 【点睛】此题考查了有关扇形的周长和面积计算，找出面积和周长都包含哪些部分，认真计算即可。 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $