第三单元 分数除法（单元考点梳理讲义)-2026-2027学年上学期六年级数学上册（人教版·新教材）

该小学数学讲义通过考点导图系统构建分数除法单元知识体系，分倒数的认识、分数除法运算、四则混合运算、解决问题四大考点梳理内容，结合易错点提示，用框架图呈现知识脉络，清晰展示重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“典例精讲+变式训练”设计，如工程问题中“将工作总量看作单位1，用效率和求合作时间”，培养运算能力与模型意识。每个考点配易错点提醒，基础学生可掌握方法，优秀学生能拓展思维，为教师精准教学提供支持。

人教版六年级数学上册单元考点梳理讲义（新教材） 第三单元 分数除法 目 录 第一部分 考点导图 第二部分 知识考点 第三部分 典例精讲 第四部分 变式训练 考点一：倒数的认识 1．倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 2．倒数的性质 （1）1的倒数是1； （2）0没有倒数； （3）真分数的倒数大于1； （4）假分数的倒数小于或等于1； （5）带分数的倒数小于1。 3．求倒数的方法 （1）分数的倒数：交换分子和分母的位置。 （2）整数（0 除外）的倒数：先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 【易错点】 （1）避免混淆“互为倒数”的表述，强调“互为”，即若a×b=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，不能单独说“某数是倒数”。 （2）0 没有倒数，这是高频易错点，需重点记忆；1的倒数容易误写成其他数，要明确1的倒数是自身。 （3）求带分数的倒数时，必须先把带分数化成假分数，再交换分子分母，不能直接对带分数的整数部分和分数部分颠倒。 考点02：分数除法运算 1．一个数除以整数 （1）分数的平均分：把一个数平均分成整数份，求其中的几份就是求这个数的几分之几是多少。 （2）一个数除以整数的计算方法 方法一（平均分思路）：用分子除以整数，分母不变（仅适用于分子能被整数整除的情况）。 方法二（通用思路）：转化为乘法，即分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 【易错点】 （1）整数必须不为0，因为0不能作除数，这是除法的基本规则，需始终牢记。 （2）方法一有局限性，当分子不能被整数整除时，必须用方法二，因此优先掌握 “乘倒数” 的通用方法。 （3）计算时要注意约分时机：可先约分再计算，避免计算后分子分母过大导致结果不是最简分数。 2．一个数除以分数 （1）定义：一个数除以分数，表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数；或表示求一个数里包含几个另一个分数。 （2）计算法则：一个数除以一个不为0的分数，等于这个数乘该分数的倒数。 【易错点】 （1）必须确保除数（分数）不为0，且转化为乘法时，是“乘除数的倒数”，不是“乘被除数的倒数”。 （2）计算过程中，能约分的要先约分，最后结果需化为最简分数或整数。 （3）小数除以分数时，若小数能和分数的分母直接约分，也可直接计算，但优先推荐将小数化成分数，避免小数与分数约分出错。 3．商与被除数的大小关系 （1）一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数； （2）一个数（0除外）除以1，商等于被除数； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。 【易错点】前提是“除数不为 0”。 考点三：分数四则混合运算 1．运算顺序：与整数四则混合运算顺序一致，遵循 “先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外的；同级运算（只有乘除或只有加减）从左往右依次计算”。 2．简便运算：整数的运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）同样适用于分数四则混合运算。 【易错点】 （1）严格遵循运算顺序，不可随意颠倒“先乘除后加减”的规则。 （2）运用运算定律简便计算时，要注意符号和数字的对应。 （3）计算过程中，分数的加减需先通分，乘除需注意约分，最后结果要化为最简分数，避免出现“假分数未化带分数”“分数未约分”等问题。 考点四：解决问题 类型1：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．计算公式：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量 2．解题思路 （1）先找单位“1”（未知，通常是“的”字前面的量）； （2）确定已知量（即已知的具体数量）； （3）找已知量对应分率（即已知量占单位“1”的几分之几）； （4）用公式求单位“1”。 【易错点】 （1）找单位“1”是关键，常见的单位“1” 标志词有“是”“占”“比”“相当于” 等，其后的量通常是单位“1”。 （2）避免将“已知量”与“几分之几”的位置颠倒。 类型2：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 1．计算公式 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数：已知量 ÷（1+几分之几）＝单位‘1’的量； （2）已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数：已知量÷（1－几分之几）＝单位‘1’的量。 2．解题思路：先确定单位“1”（“比” 后面的量），明确“多（或少）几分之几”是“比单位‘1’多（或少）单位‘1’的几分之几”，即已知量对应的分率是“1 +几分之几”（多）或“1－几分之几”（少），再用方程或算术法求解。 【易错点】 （1）区分“多（或少）几分之几”与“多（或少）具体数量”：前者是分率（无单位），需用“1±分率”找对应关系；后者是具体量（有单位），直接用“已知量±具体量”计算，避免混淆。 （2）列方程时，需明确“单位‘1’的量×（1 ±分率）=已知量”，不可漏“1”。 类型3：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．计算公式：另一部分量÷（1－已知部分量占总量的分率）＝总量 2．解题思路：总量是单位“1”，先求出“另一部分量”占总量的对应分率（用单位“1”减去“已知部分量的分率”），再根据 “分数除法的意义”——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用“另一部分量的具体值÷对应分率=总量”。 【易错点】 （1）找准单位“1”：单位“1”一定是“总量”（如绳子原长、总人数、工程总长），不能将“部分量”当作单位“1”。 （2）分率与具体量必须对应：必须确保“另一部分量的具体值”和“它对应的分率” 匹配。 类型4：两人合作的工程问题 （1）基本模型：工程问题通常将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为“单位时间内完成工作总量的几分之几”。 （2）核心公式： ①单人效率：工作效率=1÷单独用时 ②合作效率：效率和=甲工作效率+乙工作效率 ③合作时间：合作时间=1÷效率和 【易错点】 （1）效率是分数，对应每天完成几分之一； （2）不可把天数直接相加减，必须先求效率； （3）多个人合作同理，全部效率相加再除1； （4）有休息、分段施工题目，分段计算工作量再合并。 【典例题型1】倒数的认识 1．的倒数是（     ）。 A． B． C．5 D．2 【答案】D 【分析】依据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数。求分数的倒数只需将分子和分母调换位置。 【详解】调换分子和分母的位置是2，可得的倒数是2。 【练习】1．下面各数中，倒数是它本身的数是（     ）。 A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【典例题型2】自然数与倒数的和或差的问题 1．17的倒数与17的和是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个数的倒数与这个数的乘积是1，据此17的倒数是，那么再根据分数运算法则，即可求出。 【详解】17的倒数是 17＋＝＝ 故答案为：D 【点睛】本题考查倒数的意义是解决此题的关键。 【练习】1．若四个连续自然数的倒数的和为 ，那么这四个自然数中最大的数是（     ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【典例题型3】 分数的平均分 1．下面的图形中，能正确表示÷2的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据除法的意义可知，÷2表示把平均分成2份，求其中一份是多少，通过图形直观表示出这一过程。 表示把一个整体看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份；÷2表示把平均分成2份，求一份是多少；所以÷2的图形表示应该是：先表示出，再把这平均分成2份。 【详解】 A．，先把4个圆看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份涂色，表示；再把涂色部分看作单位“1”，平均分成3份，框出其中的2份，没有展示“把平均分成2份”的过程，图形不能正确表示÷2； B．，先把一个圆看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份画斜线，表示；再把斜线部分看作单位“1”，平均分成3份，取其中的一份画深色阴影，没有展示“把平均分成2份”的过程，图形不能正确表示÷2； C．，先把大长方形看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份画斜线，表示；再把斜线部分看作单位“1”，平均分成2份，取其中的一份画深色阴影，展示了“把平均分成2份”的过程，图形能正确表示÷2； D．，把整条线段看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，表示；线段下方的，还是把整条线段看作单位“1”，平均分成2份，取其中的1份；没有展示“把平均分成2份”的过程，图形不能正确表示÷2。 【练习】1．把 米长的彩带平均分成6段，每段长（     ）。 A．米 B． C．米 D． 【典例题型4】分数乘整数 1．等式中，（     ）表示的数最大。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用赋值法，设四个相等的算式结果为1，分别计算出a、b、c、d的值后比较大小即可。 【详解】假设 计算各字母的值： 所以b最大。 【练习】1．一项工程，甲组单独做需要12天能完成，乙组单独做需要18天能完成。甲、乙两组合作，一共需要（     ）天能完成这项工程。 A．7.2 B．6.4 C．5 D．4.8 【典例题型5】  分数与分数的除法 1．是一个数的，求这个数，列式是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知的对应量除以对应的分率即可。 【详解】所求的数是单位“1”，它的对应的量是，求单位“1”用除法，列式为： 。 【练习】1．一只蜗牛爬行 m需 小时，照这样的速度，这只蜗牛爬行1m需要（     ）小时，这只蜗牛1小时能爬行（     ）m。 A．； B．； C．； D．； 【典例题型6】 分数的乘、除法的混合运算 1．已知△×□＝10，则下列计算结果错误的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，结合分数乘除运算规则、除法的性质、乘法分配律分别计算各选项，找出错误结果。 对于除法算式，根据“除以一个数等于乘它的倒数”的规则将除法转化为乘法，再整理算式，代入计算验证。 对于连续除以两个数的算式，利用连续除以两个数等于除以这两个数的积，进行计算。 对于包含乘法分配律形式的算式，先提取公因数，再判断算式能否用代入计算，逐一核对每个选项的结果是否正确。 【详解】A．，A正确。 B．，仅知两数乘积，无法确定两数之和，结果不一定为8，B错误。 C．，C正确。 D． ，D正确。 【练习】1．爸爸每天到操场慢跑4圈，现在已经跑了半圈，大约用了3分钟。照这个速度，爸爸每天慢跑要用多长时间？下面列式错误的是（     ）。 A．4×（÷3） B．3÷（÷4） C．（3÷）×4 D．3×（4÷） 【典例题型7】 分数的四则混合运算  1．小明从家出发骑车到公园是一段上坡路，他的速度是10千米/时，原路返回时速度是15千米/时。他往返的平均速度是（     ）千米/时。 A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】求往返的平均速度，要用往返的总路程除以往返的总时间，不能直接把两个速度相加求平均值。把单程路程看作单位“1”，那么往返总路程就是2；分别用路程除以速度，求出上坡和返回的时间，相加得到总时间，最后用总路程÷总时间求出平均速度。 【详解】假设家到公园的路程为单位“1”。 上坡时间：1÷10＝ 返回时间：1÷15＝ 2÷（＋） ＝2÷（＋） ＝2÷ ＝2×6 ＝12（千米/时） 【练习】1．王老师买桌椅，他带的钱只买桌子可以买40张，只买椅子可以买60把，一桌一椅为一套。那么他最多可以买桌椅（     ）套。 A．30 B．25 C．24 D．20 【典例题型8】 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．一个长方形的周长是300厘米，如果将它的长增加，宽增加，新长方形的周长是368厘米。原来长方形的面积是多少？ 【答案】 5600平方厘米 【分析】先根据长方形周长公式求出原长方形和新长方形长与宽的和，再用假设法统一长和宽的增加比例，通过实际与假设的长度差求出原长，进而得到原宽，最后计算面积。 【详解】（厘米） （厘米） 假设长和宽都增加，则新的长与宽的和为： （厘米） （厘米） 原长：（厘米） 原宽：（厘米） 原面积（平方厘米） 答：原来长方形的面积是5600平方厘米。 【练习】1．某班举行国庆班队主题会，男、女主持人轮流上台主持节目。当男主持人在台上时，看到台下男生人数是台下总人数的 ，当女主持人在台上时，看到台下男生人数是台下总人数的 。这个班有学生多少人？ 【典例题型9】 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1．同学们收集树种。五年级收集了30千克，比六年级收集的少，六年级收集了多少千克？ 【答案】 42千克 【分析】把六年级收集的树种重量看作单位“1”，五年级收集的重量是六年级的，已知五年级收集的重量，求单位“1”的量用除法计算。 【详解】五年级收集的重量是六年级的 已知五年级收集了30千克，对应六年级重量的，六年级的重量 （千克） 答：六年级收集了42千克。 【练习】1．买一套书，在网上购买只用了120元，比在书店购买便宜了 ，如在书店购买需要多少元？ 【典例题型10】 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行了全程的，第二小时行驶了90千米，这时离乙城还有全程的，甲城到乙城的路程是多少千米？ 【答案】300千米 【分析】把甲城到乙城的总路程看作单位，用减去减去，即可求出第二小时行驶的路程占全程的分率，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出甲城到乙城的路程，据此解答。 【详解】 （千米） 答：甲城到乙城的路程是300千米。 【练习】1．记者在青包山有机葡萄基地采访时看到甲、乙、丙三队合作种植一批葡萄树，甲队种植了总棵数的 ，乙队种植了总棵数的 ，丙队种植了148棵。这批葡萄树一共有多少棵？ 【典例题型11】 两人合作的工程问题 1．敦煌莫高窟的壁画，甲组修复队每天修复，乙组修复队每天修复，丙组修复队每天修复。三个队伍合作修复完需要多少天？ 【答案】天 【分析】把全部壁画看作单位“1”，先用加法求出三个队一天合起来能修复几分之几，再用总工作量1除以三队的工作效率和，即可求出合作完成需要的天数。 【详解】1÷（＋＋） ＝1÷（＋＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：三个队伍合作修复完需要天。 【练习】1．一条公路，甲队单独修需20天完成，乙队单独修需30天完成。如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么乙队一共修了多少天？ 一、选择题 1．下面两个数互为倒数的是（     ）。 A．1和0 B．2.5和 C．和 D．和 2．某池塘的睡莲每天长大1倍，经过10天就遮满整个池塘，遮住半个池塘需要（     ）。 A．9天 B．5天 C．20天 D．2天 3．把米的彩带平均分成4段，每段是全长的（     ）。 A．米 B． C．米 D． 4．把一个西瓜的平均分给5个小朋友，每个小朋友分得这个西瓜的（     ）。 A． B． C． D． 5．一个数的倒数是，这个数的是（     ）。 A． B． C． D． 6．计算时，贝贝用了四种方法，下列方法错误的是（     ）。 ①    ②    ③    ④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 7．一项工程，甲单独完成要20天，乙单独完成要30天，甲乙两队合作，（     ）天完成这项工程的。 A．5天 B．3天 C．4天 D．2天 8．襄阳市某小区有一项绿化工程，总面积5公顷。甲队单独做需要10天能完成，乙队单独做需要15天能完成。如果甲、乙两队合作，多少天能完成这项绿化工程？下面列式正确的是（     ）。 A． B． C． D． 9．正式篮球比赛中，要求所用篮球的反弹高度在下落高度的间（包括两端）。赛前测试时，张老师让一个篮球从2m高处自由下落，测得反弹高度为。根据这一结果，你认为张老师应当采取的措施是（     ）。 A．直接使用 B．放一点气 C．充一点气 D．无法判断 10．计算结果小于的算式是（     ）。 A． B． C． D． 11．在直线上，M、N两点的位置如图所示，下列式子中正确的是（     ）。 A．N÷M＞N B．1÷M＜1 C．M＞N D．NM＞N 12．道口烧鸡是安阳的特色传统名菜之一，被誉为“中华第一鸡”。鸡肉中蛋白质的含量约占总质量的，脂肪含量约是蛋白质含量的，如果一只道口烧鸡中含有90.8克脂肪，那么求“这只道口烧鸡重多少克？”可以列式为（     ）。 A． B． C． D． 13．一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机小时耕地多少公顷？正确的列式是（     ）。 A． B． C． D． 14．师傅和徒弟生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，有事出去了，徒弟继续做了3天，完成了任务的，如果师傅单独完成，需要（     ）天。 A．10 B．15 C．20 D．12 15．某校开展“回收资源巧利用，绿色环保我先行”活动，五年级学生回收了120个易拉罐，是六年级学生回收易拉罐数量的，六年级学生回收易拉罐的数量占全校学生回收易拉罐总数量的，则该校一共回收了（     ）个易拉罐。 A．192 B．216 C．448 D．504 16．端午食粽的风俗，千百年来，在中国盛行不衰。在今年端午节来临之际，某工厂食堂买回3箱粽子为工人加餐，已知平均每箱粽子重62.8kg，第一箱粽子重65kg，是第二箱粽子重量的，则第三箱粽子重（     ）kg。 A．52 B．71.4 C．117 D．42.15 17．培优小学有学生720人，_______。阳光小学有多少人？如果求阳光小学学生人数的算式是，那么横线上应补充的条件是（     ）。 A．培优小学的学生人数比阳光小学多 B．培优小学的学生人数比阳光小学少 C．阳光小学的学生人数比培优小学多 D．阳光小学的学生人数比培优小学少 18．一件衣服降价后是120元，这件衣服原价是（     ）。 A．120÷ B．120× C．120÷（1－） D．120×（1－） 19．在“读书月”中，李江看一本《安徒生童话》，每天看这本书的，看了4天，还剩下66页没有看，这本书一共有（     ）页。 A．18 B．48 C．88 D．242 20．池塘里有鸭75只，_______________。鹅有多少只？如果求鹅的只数的算式是，那么横线上应补充的条件是（     ）。 A．鸭比鹅多 B．鸭比鹅少 C．鹅比鸭多 D．鹅比鸭少 21．有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮甲和乙各多少小时？（     ） A． B． C． D． E． F． 22．一条路长360千米，若甲队单独修，12天修完；若乙队单独修，18天修完。若两队合修，9天能修完吗？解决这个问题，三位同学想到了不同的解法。下面说法正确的是（     ）。 小丽：能，因为：算出7.2天就能完成。 小梅：能，因为：算出天就能完成。 小强：能，因为：等于6天，等于9天，合作时间应该大于6天，小于9天。 A．小丽、小梅、小强的解法都正确。 B．只有小丽和小梅的解法正确。 C．只有小梅和小强的解法正确。 D．只有小丽和小强的解法正确。 二、填空题 23．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )     ( ) ( )     ( )     ( ) 24．计算时，应先算( )法，再算( )法，结果是( )。 25．如果两个数m与n互为倒数，那么的计算结果是( )。 26．某饮料厂使用一种自动检测仪检测饮料瓶是否有缺陷，检测一个瓶子所用的时间为秒。半秒可以检测( )个瓶子。 27．一项工程，甲队单独做需要12天完成，那么4天可以完成这项工程的，要完成全部工程的，需要做（     ）天。 28．一项社区垃圾分类宣传活动，甲组单独完成需10天，乙组单独完成需12天。两组合作3天后，完成了这项活动的；剩下的任务由乙组单独完成，还需要天。 29．一项工程，由甲队单独做6天完成，甲、乙两队合作4天完成，则乙单独做需( )天完成。 30．甲数的等于乙数的（甲、乙两数都不为0），甲数( )乙数。（括号里填“大于”“小于”或“等于”） 31．如果m和n互为倒数，那么mn＝_________；如果m＋n＝250，那么m＋n＝_________。 32．一项工作，甲单独做9天可以完成，乙单独做6天可以完成。现在甲先做3天，余下的工作由甲、乙合作完成，余下的工作需要( )天完成。 33．《三国志》是由西晋史学家陈寿所著的一部记载三国时代历史的书籍。该书分为三部分，分别是《魏书》《蜀书》和《吴书》。其中《魏书》的卷数与其他两书之和的比是6∶7，《蜀书》的卷数与其他两书之和的比是3∶10，已知《吴书》有20卷，则《三国志》全书共有( )卷。 34．近年来，新能源汽车越来越受人们的欢迎。A小区去年拥有新能源汽车的家庭有160户，今年比去年多，则今年拥有新能源汽车的家庭有( )户；B小区今年拥有新能源汽车的家庭有72户，今年比去年多，则去年拥有新能源汽车的家庭有( )户。 三、计算题 35．直接写得数。                                                                                             36．用自己喜欢的方法计算。                        四、解答题 37．一批货物，甲车单独运需要12小时完成，乙车单独运需要15小时完成。甲、乙两车同时运，多少小时可以运完这批货物的？ 38．六年级举行“小发明”比赛，六（1）班交了35件作品，六（1）班比六（2）班多交，两个班一共交了多少件作品？ 39．学校图书室有45名同学在看书，其中女生占，后来又来了几名女生，这时女生占看书人数的，后来又来了多少名女生？ 40．据研究，人在地球上举起的质量是月球上能举起的质量的，是在火星上能举起的质量的，一名宇航员在月球上可以举起432kg的物体，在火星上可以举起多重的物体？ 41．我国快递行业发展迅速，物流自动化已是大势所趋。“双十一”活动结束后，某快递公司的3台智能分拣机器人小时共分拣货物万件，平均每台智能分拣机器人每小时分拣货物多少万件？ 42．某厂第一车间和第二车间共有职工229人。第一车间职工的和第二车间的8人参加“生产标兵”表彰大会，两个车间剩下的人数相等。第二车间有职工多少人？ 43．“绿色农场”采摘一批西红柿装箱运往超市销售。当采摘全部西红柿的时，装了5箱还多18千克，全部采摘完，共装了25箱。这批西红柿共多少千克？ 44．某社区开展了“粽子送老人，端午暖人心”活动。一号长者饭堂单独包粽子需要6小时完成；二号长者饭堂单独包粽子需要7小时完成。如果两个饭堂一起合作包粽子，需要多少小时完成？ 45．修一段公路，第一天修全程的多5千米，第二天修余下的少4千米，第三天修余下的多3千米，这样还剩下30千米没修完，求公路的全长？ 46．水池上有一根进水管和一根出水管，单开进水管，3小时可以将空池注满；单开出水管，4小时可以将满池水放完。现在先把进水管打开1小时，然后关闭进水管，再把出水管打开1小时，再关闭出水管，再将进水管打开1小时……如此下去，几小时后能将空水池注满？ 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学上册单元考点梳理讲义（新教材） 第三单元 分数除法 目 录 第一部分 考点导图 第二部分 知识考点 第三部分 典例精讲 第四部分 变式训练 考点一：倒数的认识 1．倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 2．倒数的性质 （1）1的倒数是1； （2）0没有倒数； （3）真分数的倒数大于1； （4）假分数的倒数小于或等于1； （5）带分数的倒数小于1。 3．求倒数的方法 （1）分数的倒数：交换分子和分母的位置。 （2）整数（0 除外）的倒数：先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 【易错点】 （1）避免混淆“互为倒数”的表述，强调“互为”，即若a×b=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，不能单独说“某数是倒数”。 （2）0 没有倒数，这是高频易错点，需重点记忆；1的倒数容易误写成其他数，要明确1的倒数是自身。 （3）求带分数的倒数时，必须先把带分数化成假分数，再交换分子分母，不能直接对带分数的整数部分和分数部分颠倒。 考点02：分数除法运算 1．一个数除以整数 （1）分数的平均分：把一个数平均分成整数份，求其中的几份就是求这个数的几分之几是多少。 （2）一个数除以整数的计算方法 方法一（平均分思路）：用分子除以整数，分母不变（仅适用于分子能被整数整除的情况）。 方法二（通用思路）：转化为乘法，即分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 【易错点】 （1）整数必须不为0，因为0不能作除数，这是除法的基本规则，需始终牢记。 （2）方法一有局限性，当分子不能被整数整除时，必须用方法二，因此优先掌握 “乘倒数” 的通用方法。 （3）计算时要注意约分时机：可先约分再计算，避免计算后分子分母过大导致结果不是最简分数。 2．一个数除以分数 （1）定义：一个数除以分数，表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数；或表示求一个数里包含几个另一个分数。 （2）计算法则：一个数除以一个不为0的分数，等于这个数乘该分数的倒数。 【易错点】 （1）必须确保除数（分数）不为0，且转化为乘法时，是“乘除数的倒数”，不是“乘被除数的倒数”。 （2）计算过程中，能约分的要先约分，最后结果需化为最简分数或整数。 （3）小数除以分数时，若小数能和分数的分母直接约分，也可直接计算，但优先推荐将小数化成分数，避免小数与分数约分出错。 3．商与被除数的大小关系 （1）一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数； （2）一个数（0除外）除以1，商等于被除数； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。 【易错点】前提是“除数不为 0”。 考点三：分数四则混合运算 1．运算顺序：与整数四则混合运算顺序一致，遵循 “先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外的；同级运算（只有乘除或只有加减）从左往右依次计算”。 2．简便运算：整数的运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）同样适用于分数四则混合运算。 【易错点】 （1）严格遵循运算顺序，不可随意颠倒“先乘除后加减”的规则。 （2）运用运算定律简便计算时，要注意符号和数字的对应。 （3）计算过程中，分数的加减需先通分，乘除需注意约分，最后结果要化为最简分数，避免出现“假分数未化带分数”“分数未约分”等问题。 考点四：解决问题 类型1：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．计算公式：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量 2．解题思路 （1）先找单位“1”（未知，通常是“的”字前面的量）； （2）确定已知量（即已知的具体数量）； （3）找已知量对应分率（即已知量占单位“1”的几分之几）； （4）用公式求单位“1”。 【易错点】 （1）找单位“1”是关键，常见的单位“1” 标志词有“是”“占”“比”“相当于” 等，其后的量通常是单位“1”。 （2）避免将“已知量”与“几分之几”的位置颠倒。 类型2：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 1．计算公式 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数：已知量 ÷（1+几分之几）＝单位‘1’的量； （2）已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数：已知量÷（1－几分之几）＝单位‘1’的量。 2．解题思路：先确定单位“1”（“比” 后面的量），明确“多（或少）几分之几”是“比单位‘1’多（或少）单位‘1’的几分之几”，即已知量对应的分率是“1 +几分之几”（多）或“1－几分之几”（少），再用方程或算术法求解。 【易错点】 （1）区分“多（或少）几分之几”与“多（或少）具体数量”：前者是分率（无单位），需用“1±分率”找对应关系；后者是具体量（有单位），直接用“已知量±具体量”计算，避免混淆。 （2）列方程时，需明确“单位‘1’的量×（1 ±分率）=已知量”，不可漏“1”。 类型3：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．计算公式：另一部分量÷（1－已知部分量占总量的分率）＝总量 2．解题思路：总量是单位“1”，先求出“另一部分量”占总量的对应分率（用单位“1”减去“已知部分量的分率”），再根据 “分数除法的意义”——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用“另一部分量的具体值÷对应分率=总量”。 【易错点】 （1）找准单位“1”：单位“1”一定是“总量”（如绳子原长、总人数、工程总长），不能将“部分量”当作单位“1”。 （2）分率与具体量必须对应：必须确保“另一部分量的具体值”和“它对应的分率” 匹配。 类型4：两人合作的工程问题 （1）基本模型：工程问题通常将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为“单位时间内完成工作总量的几分之几”。 （2）核心公式： ①单人效率：工作效率=1÷单独用时 ②合作效率：效率和=甲工作效率+乙工作效率 ③合作时间：合作时间=1÷效率和 【易错点】 （1）效率是分数，对应每天完成几分之一； （2）不可把天数直接相加减，必须先求效率； （3）多个人合作同理，全部效率相加再除1； （4）有休息、分段施工题目，分段计算工作量再合并。 【典例题型1】倒数的认识 1．的倒数是（     ）。 A． B． C．5 D．2 【答案】D 【分析】依据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数。求分数的倒数只需将分子和分母调换位置。 【详解】调换分子和分母的位置是2，可得的倒数是2。 【练习】1．下面各数中，倒数是它本身的数是（     ）。 A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义，逐一判断各选项的倒数是否为自身即可。 【详解】乘积为1的两个数互为倒数 A．0乘任何数积都不为1，0没有倒数，不符合题意。 B．，0.5的倒数是2，不是它本身，不符合题意。 C．，1的倒数是1，是它本身，符合题意。 D．，1.5的倒数是，不是它本身，不符合题意。 【典例题型2】自然数与倒数的和或差的问题 1．17的倒数与17的和是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个数的倒数与这个数的乘积是1，据此17的倒数是，那么再根据分数运算法则，即可求出。 【详解】17的倒数是 17＋＝＝ 故答案为：D 【点睛】本题考查倒数的意义是解决此题的关键。 【练习】1．若四个连续自然数的倒数的和为 ，那么这四个自然数中最大的数是（     ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据分数的基本性质，把化成，，因此四个自然数分别为3、4、5、6，然后找出最大的自然数即可。 【详解】 所以，这四个自然数分别为3、4、5、6，最大的数是6。 故答案为：D 【点睛】此题解答的关键在于把化成，然后进行拆分，找出这四个自然数。 【典例题型3】 分数的平均分 1．下面的图形中，能正确表示÷2的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据除法的意义可知，÷2表示把平均分成2份，求其中一份是多少，通过图形直观表示出这一过程。 表示把一个整体看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份；÷2表示把平均分成2份，求一份是多少；所以÷2的图形表示应该是：先表示出，再把这平均分成2份。 【详解】 A．，先把4个圆看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份涂色，表示；再把涂色部分看作单位“1”，平均分成3份，框出其中的2份，没有展示“把平均分成2份”的过程，图形不能正确表示÷2； B．，先把一个圆看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份画斜线，表示；再把斜线部分看作单位“1”，平均分成3份，取其中的一份画深色阴影，没有展示“把平均分成2份”的过程，图形不能正确表示÷2； C．，先把大长方形看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份画斜线，表示；再把斜线部分看作单位“1”，平均分成2份，取其中的一份画深色阴影，展示了“把平均分成2份”的过程，图形能正确表示÷2； D．，把整条线段看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，表示；线段下方的，还是把整条线段看作单位“1”，平均分成2份，取其中的1份；没有展示“把平均分成2份”的过程，图形不能正确表示÷2。 【练习】1．把 米长的彩带平均分成6段，每段长（     ）。 A．米 B． C．米 D． 【答案】C 【分析】彩带长度÷平均分成的段数＝每段长度，除以一个数等于乘这个数的倒数。 【详解】÷6＝×＝（米） 每段长米。 【典例题型4】分数乘整数 1．等式中，（     ）表示的数最大。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用赋值法，设四个相等的算式结果为1，分别计算出a、b、c、d的值后比较大小即可。 【详解】假设 计算各字母的值： 所以b最大。 【练习】1．一项工程，甲组单独做需要12天能完成，乙组单独做需要18天能完成。甲、乙两组合作，一共需要（     ）天能完成这项工程。 A．7.2 B．6.4 C．5 D．4.8 【答案】A 【分析】将总工程看作单位“1”，先分别计算甲、乙的工作效率（工作效率＝工作总量÷工作时间），再求出合作的效率和，最后用总工作量除以效率和得到合作所需时间。 【详解】甲组每天完成总工程的： 乙组每天完成总工程的： 两组合作每天完成总工程的： 合作完成需要的天数：（天） 因此，一共需要7.2天能完成这项工程。 【典例题型5】  分数与分数的除法 1．是一个数的，求这个数，列式是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知的对应量除以对应的分率即可。 【详解】所求的数是单位“1”，它的对应的量是，求单位“1”用除法，列式为： 。 【练习】1．一只蜗牛爬行 m需 小时，照这样的速度，这只蜗牛爬行1m需要（     ）小时，这只蜗牛1小时能爬行（     ）m。 A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】求爬行1m需要的时间，用总时间除以对应的爬行路程；求1小时爬行的路程，用爬行的路程除以对应的总时间。 【详解】爬行1m需要的时间： （小时） 1小时爬行的路程： （m） 【典例题型6】 分数的乘、除法的混合运算 1．已知△×□＝10，则下列计算结果错误的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，结合分数乘除运算规则、除法的性质、乘法分配律分别计算各选项，找出错误结果。 对于除法算式，根据“除以一个数等于乘它的倒数”的规则将除法转化为乘法，再整理算式，代入计算验证。 对于连续除以两个数的算式，利用连续除以两个数等于除以这两个数的积，进行计算。 对于包含乘法分配律形式的算式，先提取公因数，再判断算式能否用代入计算，逐一核对每个选项的结果是否正确。 【详解】A．，A正确。 B．，仅知两数乘积，无法确定两数之和，结果不一定为8，B错误。 C．，C正确。 D． ，D正确。 【练习】1．爸爸每天到操场慢跑4圈，现在已经跑了半圈，大约用了3分钟。照这个速度，爸爸每天慢跑要用多长时间？下面列式错误的是（     ）。 A．4×（÷3） B．3÷（÷4） C．（3÷）×4 D．3×（4÷） 【答案】A 【分析】跑半圈大约用了3分钟，则跑一圈用了（3÷）分钟，然后再乘4，据此计算后再逐一计算各选项的结果，对比即可找出错误列式。 【详解】 ＝3×2×4 ＝24（分钟） A．（分钟），结果错误。 B．（分钟），结果正确。 C．（分钟），结果正确。 D．（分钟），结果正确。 【典例题型7】 分数的四则混合运算  1．小明从家出发骑车到公园是一段上坡路，他的速度是10千米/时，原路返回时速度是15千米/时。他往返的平均速度是（     ）千米/时。 A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】求往返的平均速度，要用往返的总路程除以往返的总时间，不能直接把两个速度相加求平均值。把单程路程看作单位“1”，那么往返总路程就是2；分别用路程除以速度，求出上坡和返回的时间，相加得到总时间，最后用总路程÷总时间求出平均速度。 【详解】假设家到公园的路程为单位“1”。 上坡时间：1÷10＝ 返回时间：1÷15＝ 2÷（＋） ＝2÷（＋） ＝2÷ ＝2×6 ＝12（千米/时） 【练习】1．王老师买桌椅，他带的钱只买桌子可以买40张，只买椅子可以买60把，一桌一椅为一套。那么他最多可以买桌椅（     ）套。 A．30 B．25 C．24 D．20 【答案】C 【分析】把王老师带的总钱数看作单位“1”，先分别求出单张桌子、单把椅子的价格占总钱数的分率，再求出一套桌椅的价格对应的分率，最后用单位“1”除以一套的分率，即可得到可购买的套数。 【详解】 （套） 【典例题型8】 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．一个长方形的周长是300厘米，如果将它的长增加，宽增加，新长方形的周长是368厘米。原来长方形的面积是多少？ 【答案】 5600平方厘米 【分析】先根据长方形周长公式求出原长方形和新长方形长与宽的和，再用假设法统一长和宽的增加比例，通过实际与假设的长度差求出原长，进而得到原宽，最后计算面积。 【详解】（厘米） （厘米） 假设长和宽都增加，则新的长与宽的和为： （厘米） （厘米） 原长：（厘米） 原宽：（厘米） 原面积（平方厘米） 答：原来长方形的面积是5600平方厘米。 【练习】1．某班举行国庆班队主题会，男、女主持人轮流上台主持节目。当男主持人在台上时，看到台下男生人数是台下总人数的 ，当女主持人在台上时，看到台下男生人数是台下总人数的 。这个班有学生多少人？ 【答案】46人 【分析】根据题意可知，两种主持场景下台下总人数不变，把总人数看作单位“1”，台上始终有1名主持人，台下男生人数相差1人，对应分率差为与的差，所以用1人除以对应的分率，求出男生上台主持时下面的人数，最后再加上男主持人即可。 【详解】 1÷＝1×45 ＝ 45（人） 45 ＋ 1 ＝ 46（人） 答：这个班有学生46人。 【典例题型9】 已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1．同学们收集树种。五年级收集了30千克，比六年级收集的少，六年级收集了多少千克？ 【答案】 42千克 【分析】把六年级收集的树种重量看作单位“1”，五年级收集的重量是六年级的，已知五年级收集的重量，求单位“1”的量用除法计算。 【详解】五年级收集的重量是六年级的 已知五年级收集了30千克，对应六年级重量的，六年级的重量 （千克） 答：六年级收集了42千克。 【练习】1．买一套书，在网上购买只用了120元，比在书店购买便宜了 ，如在书店购买需要多少元？ 【答案】150元 【分析】网上购买比书店便宜，单位“1”是书店购买的价格，单位“1”未知，用除法计算。网上价格是书店价格的（1－）。用网上价格除以对应分率，求出书店购买的价格。 【详解】120÷（1－） ＝120÷ ＝120× ＝150（元） 答：在书店购买需要150元。 【典例题型10】 已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行了全程的，第二小时行驶了90千米，这时离乙城还有全程的，甲城到乙城的路程是多少千米？ 【答案】300千米 【分析】把甲城到乙城的总路程看作单位，用减去减去，即可求出第二小时行驶的路程占全程的分率，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出甲城到乙城的路程，据此解答。 【详解】 （千米） 答：甲城到乙城的路程是300千米。 【练习】1．记者在青包山有机葡萄基地采访时看到甲、乙、丙三队合作种植一批葡萄树，甲队种植了总棵数的 ，乙队种植了总棵数的 ，丙队种植了148棵。这批葡萄树一共有多少棵？ 【答案】 555棵 【分析】把这批葡萄树的总棵数看作单位“1”。丙队种植棵数对应的分率＝1－甲队种植棵数对应的分率－乙队种植棵数对应的分率；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，葡萄树的总棵数＝丙队种植的棵数÷对应分率。 【详解】 （棵） 答：这批葡萄树一共有555棵。 【典例题型11】 两人合作的工程问题 1．敦煌莫高窟的壁画，甲组修复队每天修复，乙组修复队每天修复，丙组修复队每天修复。三个队伍合作修复完需要多少天？ 【答案】天 【分析】把全部壁画看作单位“1”，先用加法求出三个队一天合起来能修复几分之几，再用总工作量1除以三队的工作效率和，即可求出合作完成需要的天数。 【详解】1÷（＋＋） ＝1÷（＋＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：三个队伍合作修复完需要天。 【练习】1．一条公路，甲队单独修需20天完成，乙队单独修需30天完成。如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么乙队一共修了多少天？ 【答案】9天 【分析】将公路总工作量看作单位“1”，用1除以单独的工作时间求出两队的工作效率，根据工作效率×时间＝工作总量，先算出甲队单独修5天的工作量，1－甲队5天的工作量＝甲乙合修的工作量，再除以两队的工作效率和，得到的合修天数就是乙队的工作天数。 【详解】1÷20＝ 1÷30＝ ＝ ＝ ＝ ＝9（天） 答：乙队一共修了9天。 一、选择题 1．下面两个数互为倒数的是（     ）。 A．1和0 B．2.5和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】乘积是的两个数互为倒数，计算各选项中两个数的乘积，乘积为的两个数互为倒数。 【详解】A．，乘积不是，不互为倒数； B．，，乘积不是，不互为倒数； C．，，乘积是，互为倒数； D．，乘积不是，不互为倒数。 2．某池塘的睡莲每天长大1倍，经过10天就遮满整个池塘，遮住半个池塘需要（     ）。 A．9天 B．5天 C．20天 D．2天 【答案】A 【分析】把整个池塘的面积看作单位“1”，通过倒推法得出睡莲生长的规律： 第10天长满整个池塘，即睡莲面积为“1”； 第9天睡莲面积是第10天面积的一半，即1÷2＝； 第8天睡莲面积是第9天面积的一半，即÷2＝×＝； …… 发现规律：前一天睡莲的面积是今天睡莲面积的一半； 由此可知，第9天睡莲面积是半个池子。 【详解】10－1＝9（天） 某池塘的睡莲每天长大1倍，经过10天就遮满整个池塘，遮住半个池塘需要9天。 3．把米的彩带平均分成4段，每段是全长的（     ）。 A．米 B． C．米 D． 【答案】B 【分析】所求为每段占全长的分率，与彩带具体长度无关，将全长看作单位“1”，用1除以4计算即可。 【详解】 4．把一个西瓜的平均分给5个小朋友，每个小朋友分得这个西瓜的（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把这个西瓜看作单位“1”，将要分的数量平均分成5份，求每份占单位“1”的几分之几，用除法计算。 【详解】＝＝，每个小朋友分得这个西瓜的。 5．一个数的倒数是，这个数的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据倒数的定义求出这个数，再用乘法计算这个数的是多少。 【详解】求这个数： 计算这个数的： 6．计算时，贝贝用了四种方法，下列方法错误的是（     ）。 ①    ②    ③    ④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 【答案】D 【分析】分数除以非0整数，若分子能被该整数整除，可直接用分子除以整数作新分子，分母不变；也可转化为分数乘这个整数的倒数计算；分数分子分母同时除以同一个非0数，分数大小不变，和分数除以整数的计算不同。 【详解】①，方法正确。②，方法正确。③不等于，方法错误。④，不等于的结果，方法错误。所以错误的是③④。 7．一项工程，甲单独完成要20天，乙单独完成要30天，甲乙两队合作，（     ）天完成这项工程的。 A．5天 B．3天 C．4天 D．2天 【答案】C 【分析】把这项工程的总工作量看作单位“1”，用1分别除以甲单独完成的天数和乙单独完成的天数，求出甲和乙的工作效率，再用工作量除以甲乙两队的工作效率之和，即可得到所需工作时间。 【详解】 ＝ ＝ ＝×12 ＝4（天） 8．襄阳市某小区有一项绿化工程，总面积5公顷。甲队单独做需要10天能完成，乙队单独做需要15天能完成。如果甲、乙两队合作，多少天能完成这项绿化工程？下面列式正确的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把这项绿化工程的工作总量看作单位“1”，甲队单独做10天完成，每天完成总量的，乙队单独做15天完成，每天完成总量的，合作所需时间等于工作总量除以两队的效率和。 【详解】A．用工作量÷两队的天数和，没有任何工程问题的数学意义，算式完全错误。 ​B．把总工程量看作单位“1”，应用单位“1”除以两队的工作效率和，不能用实际公顷数去除以分率效率，式子不成立。 ​C．这个式子算的是：一半工程甲做的时间 ＋ 一半工程乙单独做的时间，不是两队合作完成全部工程的时间。 ​D．把工程总量看作单位1，合作时间＝工作总量÷效率和，列式正确。 9．正式篮球比赛中，要求所用篮球的反弹高度在下落高度的间（包括两端）。赛前测试时，张老师让一个篮球从2m高处自由下落，测得反弹高度为。根据这一结果，你认为张老师应当采取的措施是（     ）。 A．直接使用 B．放一点气 C．充一点气 D．无法判断 【答案】A 【分析】先算出测试时篮球反弹高度是下落高度的几分之几，再和规定的范围比较，判断是否符合比赛要求，即可确定对应措施。 【详解】 ，， ，即反弹高度在下落高度的间，可直接使用。 10．计算结果小于的算式是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】0除以任何非0数得0；一个非0数乘1等于它本身；一个非0数乘大于1的数，结果大于它本身；一个非0数除以小于1的非0数，结果大于它本身。逐项分析即可解答。 【详解】A．，，结果小于，该选项符合题意； B．，结果等于，该选项不符合题意； C．，，结果大于，该选项不符合题意； D．，，结果大于，该选项不符合题意； 所以，计算结果小于的算式是。 11．在直线上，M、N两点的位置如图所示，下列式子中正确的是（     ）。 A．N÷M＞N B．1÷M＜1 C．M＞N D．NM＞N 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置，确定M、N的取值范围，M在0和1之间，N在1和2之间。一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于被除数。一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小‌。比较数轴上数的大小时，靠右的数更大。 【详解】A．0＜M＜1，所以N÷M＞N，选项说法正确。 B．0＜M＜1，所以1÷M＞1，选项说法错误。 C．数轴上右边的数总比左边的大，N在M右侧，所以M＜N，选项说法错误。 D．0＜M＜1，所以NM＜N，选项说法错误。 12．道口烧鸡是安阳的特色传统名菜之一，被誉为“中华第一鸡”。鸡肉中蛋白质的含量约占总质量的，脂肪含量约是蛋白质含量的，如果一只道口烧鸡中含有90.8克脂肪，那么求“这只道口烧鸡重多少克？”可以列式为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把这只道口烧鸡中蛋白质的含量看作单位“1”，脂肪含量是90.8克约占蛋白质含量的，蛋白质的含量＝脂肪的含量÷，再把这只道口烧鸡的总质量看作单位“1”，鸡肉中蛋白质的含量约占总质量的，这只道口烧鸡的总质量＝蛋白质的含量÷，所以这只道口烧鸡的总质量＝脂肪的含量÷÷，据此解答。 【详解】A．“”表示蛋白质的含量，“”表示这只道口烧鸡的总质量，该选项正确； B．“”表示脂肪含量的，而题中脂肪含量约是蛋白质含量的，应该先用“”表示出蛋白质的含量，再用蛋白质的含量除以表示这只道口烧鸡的总质量，该选项错误； C．“”表示蛋白质的含量，“”表示蛋白质含量的，不表示这只道口烧鸡的总质量，该选项错误； D．“”表示脂肪含量的，“”没有表示出蛋白质的含量，该算式不能求出这只道口烧鸡的总质量，该选项错误。 故答案为：A 13．一台拖拉机小时耕地公顷，这台拖拉机小时耕地多少公顷？正确的列式是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，需先求出拖拉机每小时耕地的公顷数（工作效率），再用工作效率乘新的工作时间，即可求出新的工作总量。 【详解】根据数量关系：工作效率 工作总量 工作时间。已知拖拉机小时耕地公顷，则每小时耕地的公顷数为： 再根据数量关系：工作总量 工作效率 工作时间。要求小时耕地多少公顷，列式为 对比选项，该算式与选项 B 一致。 14．师傅和徒弟生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，有事出去了，徒弟继续做了3天，完成了任务的，如果师傅单独完成，需要（     ）天。 A．10 B．15 C．20 D．12 【答案】A 【分析】将总工作量看作单位“1”，先求师徒合作的工作效率，把师傅做5天、徒弟做3天的情况转化为师徒合作3天加师傅单独做2天，依次计算师傅2天的工作量、师傅的工作效率，最后求出师傅单独完成的时间。 【详解】师徒合作每天完成总工作量的： 师徒合作3天完成的工作量： 师傅单独做2天的工作量： 师傅每天完成总工作量的： 师傅单独完成需要的时间：（天） 15．某校开展“回收资源巧利用，绿色环保我先行”活动，五年级学生回收了120个易拉罐，是六年级学生回收易拉罐数量的，六年级学生回收易拉罐的数量占全校学生回收易拉罐总数量的，则该校一共回收了（     ）个易拉罐。 A．192 B．216 C．448 D．504 【答案】C 【分析】先将六年级回收易拉罐的数量看作单位“1”，五年级回收的120个对应六年级的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，据此求出六年级回收的数量；再将全校回收总数量看作单位“1”，六年级回收数量对应全校的，用除法求出全校总数量。 【详解】 ＝ ＝448（个） 所以，该校一共回收了448个易拉罐。 16．端午食粽的风俗，千百年来，在中国盛行不衰。在今年端午节来临之际，某工厂食堂买回3箱粽子为工人加餐，已知平均每箱粽子重62.8kg，第一箱粽子重65kg，是第二箱粽子重量的，则第三箱粽子重（     ）kg。 A．52 B．71.4 C．117 D．42.15 【答案】B 【分析】用平均每箱粽子的重量乘箱数，求出粽子的总重量，再用第一箱粽子的重量除以，求出第二箱粽子的重量，最后用总重量减去前两箱的重量即可得到第三箱的重量。 【详解】62.8×3＝188.4（kg） 65÷＝65×＝52（kg） 188.4－65－52 ＝123.4－52 ＝71.4（kg） 所以，第三箱粽子重71.4 kg。 17．培优小学有学生720人，_______。阳光小学有多少人？如果求阳光小学学生人数的算式是，那么横线上应补充的条件是（     ）。 A．培优小学的学生人数比阳光小学多 B．培优小学的学生人数比阳光小学少 C．阳光小学的学生人数比培优小学多 D．阳光小学的学生人数比培优小学少 【答案】A 【分析】（）确定算式中单位“”的量：因为算式用除法计算，所以单位“”是未知量，即阳光小学人数为单位“”。 （）分析括号内的含义：如果是“”，那么说明已知量（培优小学人数）对应的分率比单位“”多。 【详解】①算式为除法运算，说明单位“1”是阳光小学的人数，属于未知量。 ②除数是，说明培优小学人数是阳光小学人数的，即培优小学的学生人数比阳光小学多。 18．一件衣服降价后是120元，这件衣服原价是（     ）。 A．120÷ B．120× C．120÷（1－） D．120×（1－） 【答案】C 【分析】已知现价是降价后是120元，把原价看作单位“1”，即现价对应原价的（1－），用120除以（1－）即可得出原价。 【详解】把原价看作单位“1”。 现价是原价的：1－ 原价：120÷（1－） 所以列式为：120÷（1－）。 故答案为：C 19．在“读书月”中，李江看一本《安徒生童话》，每天看这本书的，看了4天，还剩下66页没有看，这本书一共有（     ）页。 A．18 B．48 C．88 D．242 【答案】D 【分析】由题意可知，每天看这本书的，则4天看了这本书的×4＝，也就是还剩下这本书的1－＝没有看，对应的页数就是66页，根据部分的量÷部分的量占单位1的分率＝单位1的量，据此列式解答即可。 【详解】×4＝ 66÷（1－） ＝66÷ ＝66× ＝242（页） 则这本书一共有242页。 故答案为：D 20．池塘里有鸭75只，_______________。鹅有多少只？如果求鹅的只数的算式是，那么横线上应补充的条件是（     ）。 A．鸭比鹅多 B．鸭比鹅少 C．鹅比鸭多 D．鹅比鸭少 【答案】A 【分析】算式为除法，说明单位“1”是鹅的数量，说明鸭的数量是鹅的，即鸭比鹅多。 【详解】A．把鹅看作单位“1”，鸭的数量是鹅的，鹅的数量为，符合题意。 B．把鹅看作单位“1”，鸭的数量是鹅的，鹅的数量为，不符合题意。 C．把鸭看作单位“1”，鹅的数量是鸭的，鹅的数量为，不符合题意。 D．把鸭看作单位“1”，鹅的数量是鸭的，鹅的数量为，不符合题意。 21．有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮甲和乙各多少小时？（     ） A． B． C． D． E． F． 【答案】C 【分析】三人同时开始同时结束，共搬运两个仓库的货物，先求出三人效率和，算出总工作时间，再分别计算丙帮甲、乙的时长即可。 【详解】设每个仓库的工作总量为单位，总工作量为： 甲的效率为，乙的效率为，丙的效率为，三人效率和为： 总工作时间为：（小时） 甲完成的工作量为：，丙帮甲完成的工作量为： 丙帮甲的时间为：（小时） 丙帮乙的时间为：（小时） 22．一条路长360千米，若甲队单独修，12天修完；若乙队单独修，18天修完。若两队合修，9天能修完吗？解决这个问题，三位同学想到了不同的解法。下面说法正确的是（     ）。 小丽：能，因为：算出7.2天就能完成。 小梅：能，因为：算出天就能完成。 小强：能，因为：等于6天，等于9天，合作时间应该大于6天，小于9天。 A．小丽、小梅、小强的解法都正确。 B．只有小丽和小梅的解法正确。 C．只有小梅和小强的解法正确。 D．只有小丽和小强的解法正确。 【答案】A 【分析】小丽用总路程除以两队每天修路长度和得到合修时间，再与9天比较； 小梅将工作总量看作单位“1”，用工作总量除以两队工作效率和得到合修时间，再与9天比较； 小强通过判断合修时间介于6天和9天之间，得出9天能修完，据此解答即可。 【详解】小丽的计算： ＝7.2（天） 7.2＜9，解法正确 小梅的计算： （天） ，解法正确 小强的计算：（天） （天） 两队合修效率大于乙队的2倍、小于甲队的2倍，因此合修时间大于6天、小于9天，9天能修完，解法正确。 所以小丽、小梅、小强的解法都正确。 二、填空题 23．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＞ ＞ ＝ 【分析】（1）一个不为0的数除以大于1的数，商小于原数。 （2）一个不为0的数除以小于1（0除外）的数，商大于原数。 （3）除以一个数等于乘这个数的倒数。 （4）一个不为0的数，除以小于1（0除外）的数，商大于原数；乘小于1（0除外）的数，积小于原数。 （5）一个不为0的数，除以小于1（0除外）的数，商大于原数；乘小于1（0除外）的数，积小于原数。 （6）除以一个数等于乘这个数的倒数。 【详解】（1）因为4＞1，所以＜； （2）因为＜1，所以＞； （3）5的倒数是，所以＝； （4）因为＜1，所以＞8，＜8，因此＞。 （5）因为＜1，所以＞，＜，因此＞。 （6）的倒数是2，所以＝。 24．计算时，应先算( )法，再算( )法，结果是( )。 【答案】 乘 除 //1.5 【分析】有括号的算式中，先算括号里的，再算括号外的，据此解答。 【详解】算式中有括号，所以先算括号里的乘法，再算括号外的除法。 25．如果两个数m与n互为倒数，那么的计算结果是( )。 【答案】10 【分析】乘积为1的两个数互为倒数。因为m和n互为倒数，所以它们的乘积mn＝1，把mn＝1代入式子mn＋9即可求出结果。 【详解】因为m与n互为倒数 所以mn＝1 mn＋9 ＝1＋9 ＝10 26．某饮料厂使用一种自动检测仪检测饮料瓶是否有缺陷，检测一个瓶子所用的时间为秒。半秒可以检测( )个瓶子。 【答案】6 【分析】用瓶子数量除以时间，算出1秒可以检测多少个瓶子，再把瓶子的数量除以2就是半秒可以检测的数量。 【详解】 ＝6（个） 所以，半秒可以检测6个瓶子。 27．一项工程，甲队单独做需要12天完成，那么4天可以完成这项工程的，要完成全部工程的，需要做（     ）天。 【答案】；2 【分析】由题意知：一项工程，甲队单独做需要12天完成，所以甲队的工作效率是，第一空根据：工作总量＝工作时间×工作效率；第二空根据：工作时间＝工作总量÷工作效率，代入数据计算即可。 【详解】 ＝2（天） 所以4天可以完成这项工程的，要完成全部工程的，需要做2天。 28．一项社区垃圾分类宣传活动，甲组单独完成需10天，乙组单独完成需12天。两组合作3天后，完成了这项活动的；剩下的任务由乙组单独完成，还需要天。 【答案】； 【分析】把宣传活动看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别算出甲、乙两组的工作效率，再相加，算出甲、乙两组的工作效率之和。工作总量＝甲、乙两组的工作效率之和×工作时间，代入数值，求出甲、乙两组合作3天完成的工作量；用“1”减去甲、乙两组合作3天完成的工作量，就是剩下的工作量，根据工作时间＝工作量÷乙组的工作效率，代入数值，即可解答。 【详解】1÷10＝ 1÷12＝ （）×3 ＝（）×3 ＝×3 ＝ （1－）÷ ＝÷ ＝×12 ＝（天） 29．一项工程，由甲队单独做6天完成，甲、乙两队合作4天完成，则乙单独做需( )天完成。 【答案】12 【分析】将这项工程的工作总量看作“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，先表示出甲乙两队的效率和，和甲队的工作效率，用减法计算出乙队的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，列式计算即可。 【详解】将这项工程的工作总量看作“1”。 ＝12（天） 所以乙单独做需12天完成。 30．甲数的等于乙数的（甲、乙两数都不为0），甲数( )乙数。（括号里填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】小于 【分析】假设甲数的等于乙数的等于20，用除法算出甲数和乙数，再比较。 【详解】假设甲数的等于乙数的等于20。 甲数： 乙数： 35＜36 所以，甲数小于乙数。 31．如果m和n互为倒数，那么mn＝_________；如果m＋n＝250，那么m＋n＝_________。 【答案】 150 【分析】互为倒数的两个数乘积：m×n＝1，根据乘法交换律调整算式顺序，先算m×n，再根据乘法分配律，提取相同的因数，代入m＋n进行计算。 【详解】mn＝m×n＝1＝； m＋n＝×（m＋n）＝×250＝150。 32．一项工作，甲单独做9天可以完成，乙单独做6天可以完成。现在甲先做3天，余下的工作由甲、乙合作完成，余下的工作需要( )天完成。 【答案】/2.4/ 【分析】把这项工作总量看作单位“1”。工作效率工作总量工作时间，甲单独做9天完成，甲的工作效率是；乙单独做6天完成，乙的工作效率是。 先求出甲单独做3天完成的工作量，再用单位“1”减去甲已完成的工作量，求出余下的工作量。最后用余下的工作量除以甲、乙的工作效率之和，即可求出余下的工作需要的天数。 【详解】 （天） 33．《三国志》是由西晋史学家陈寿所著的一部记载三国时代历史的书籍。该书分为三部分，分别是《魏书》《蜀书》和《吴书》。其中《魏书》的卷数与其他两书之和的比是6∶7，《蜀书》的卷数与其他两书之和的比是3∶10，已知《吴书》有20卷，则《三国志》全书共有( )卷。 【答案】65 【分析】已知《魏书》卷数与其他两书之和的比是6∶7，则《魏书》卷数占全书总卷数的比例为（）。已知《蜀书》卷数与其他两书之和的比是3∶10，则《蜀书》卷数占全书总卷数的比例为（）。因此，《吴书》卷数占全书总卷数的比例为，又已知《吴书》有20卷，用20除以即可解答。 【详解】把《三国志》全书看作单位“1”。 20÷ ＝20÷ ＝20÷ ＝20× ＝65（卷） 《三国志》全书共有65卷。 34．近年来，新能源汽车越来越受人们的欢迎。A小区去年拥有新能源汽车的家庭有160户，今年比去年多，则今年拥有新能源汽车的家庭有( )户；B小区今年拥有新能源汽车的家庭有72户，今年比去年多，则去年拥有新能源汽车的家庭有( )户。 【答案】 180 64 【分析】A小区中，去年户数是单位“1”，今年比去年多，今年就是去年的1＋，用去年数量乘这个分率得到今年户数； B小区中，去年户数是单位“1”，今年对应分率是1＋，已知今年数量，用除法求出单位“1”（去年户数）。 【详解】A小区今年拥有新能源的户数： 160×（1＋） ＝160× ＝180（户） B小区去年拥有新能源的户数： 72÷（1＋） ＝72÷ ＝72× ＝64（户） 三、计算题 35．直接写得数。                                                                                             【答案】；20；；； ；0；6； 【详解】略 36．用自己喜欢的方法计算。                        【答案】；； 【分析】除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将分数乘、除混合运算转化为分数连乘，先约分，再计算； 根据减法性质a－b－c＝a－（b＋c）得，先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算括号外面的除法； 将0.75化为分数，分别通分计算括号里的减法和加法，再将结果相乘。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 四、解答题 37．一批货物，甲车单独运需要12小时完成，乙车单独运需要15小时完成。甲、乙两车同时运，多少小时可以运完这批货物的？ 【答案】5小时 【分析】可设一批货物的总量为，因为甲车单独运12小时可以运完，乙车单独运15小时可以运完，则甲、乙工作效率分别为：、，再根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间解答即可。 【详解】÷（） ＝ ＝5（小时） 答：5小时可以运完。 38．六年级举行“小发明”比赛，六（1）班交了35件作品，六（1）班比六（2）班多交，两个班一共交了多少件作品？ 【答案】 63件 【分析】把六（2）班交的作品数看作单位“1”，六（1）班交的作品数对应六（2）班的，先用除法求出六（2）班的作品数，再将两个班的作品数相加得到总数。 【详解】（件） （件） 答：两个班一共交了63件作品。 39．学校图书室有45名同学在看书，其中女生占，后来又来了几名女生，这时女生占看书人数的，后来又来了多少名女生？ 【答案】7人 【分析】解题时抓住男生人数不变的特点，先求出男生人数，再根据后来男生占总人数的分率用男生人数除以男生人数占比求出后来的总人数，最后用后来总人数减去原来总人数，就能得到新来女生的人数。 【详解】45×（1－）÷（1－）－45 ＝45×÷－45 ＝20×－45 ＝52－45 ＝7（人） 答：后来又来了7名女生。 40．据研究，人在地球上举起的质量是月球上能举起的质量的，是在火星上能举起的质量的，一名宇航员在月球上可以举起432kg的物体，在火星上可以举起多重的物体？ 【答案】 192千克 【分析】先将月球上能举起的质量看作单位“1”，用乘法求出地球上能举起的质量；再将火星上能举起的质量看作单位“1”，用除法求出火星上能举起的质量。 【详解】 （千克） 答：在火星上可以举起192千克的物体。 41．我国快递行业发展迅速，物流自动化已是大势所趋。“双十一”活动结束后，某快递公司的3台智能分拣机器人小时共分拣货物万件，平均每台智能分拣机器人每小时分拣货物多少万件？ 【答案】万件 【分析】求单台单位时间的工作量，用总分拣量依次除以分拣时间和机器人台数，即可求解。 【详解】 （万件） 42．某厂第一车间和第二车间共有职工229人。第一车间职工的和第二车间的8人参加“生产标兵”表彰大会，两个车间剩下的人数相等。第二车间有职工多少人？ 【答案】112人 【分析】先将第一车间人数看作单位“1”。由两车间剩下的人数相等，可知第二车间减少8人后的人数等于第一车间人数的，则第一车间人数的（）是（）人，用除法先求出第一车间人数，再计算第二车间人数。 【详解】 （人） 第一车间人数：（人） 第二车间人数：（人） 答：第二车间有职工112人。 43．“绿色农场”采摘一批西红柿装箱运往超市销售。当采摘全部西红柿的时，装了5箱还多18千克，全部采摘完，共装了25箱。这批西红柿共多少千克？ 【答案】810千克 【分析】把西红柿总质量看作单位“1”，先根据总箱数求出5箱对应总质量的分率，总重量的等于5箱加18千克，也就是总重量的比总重量的刚好多出18千克。用减计算18千克对应的总重量占比，然后用18除以对应的占比得出总质量即可。 【详解】5箱对应总质量的分率： 18千克对应的分率： 西红柿总质量：（千克） 答：这批西红柿共810千克。 44．某社区开展了“粽子送老人，端午暖人心”活动。一号长者饭堂单独包粽子需要6小时完成；二号长者饭堂单独包粽子需要7小时完成。如果两个饭堂一起合作包粽子，需要多少小时完成？ 【答案】小时 【分析】将包粽子的总工作量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出两个饭堂的工作效率，再求出合作的工作效率和，最后用总工作量除以效率和求出合作时间。 【详解】1÷6＝ 1÷7＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 答：需要小时完成。 45．修一段公路，第一天修全程的多5千米，第二天修余下的少4千米，第三天修余下的多3千米，这样还剩下30千米没修完，求公路的全长？ 【答案】330千米 【分析】已知第三天修余下的多3千米，还剩下30千米没修完，把第二天修完后余下的长度看作单位“1”，那么第三天修完后剩下的30千米加上3千米，正好是第二天修完后余下长度的（1－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出第二天修完后余下的长度为（30＋3）÷（1－）＝44（千米）； 已知第二天修余下的少4千米，剩下44千米；把第一天修完后余下的长度看作单位“1”，那么44千米减去4千米，正好是第一天修完后余下长度的（1－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出第一天修完后余下的长度为（44－4）÷（1－）＝160（千米）； 已知第一天修全程的多5千米，剩下160千米；把公路的全长看作单位“1”，那么160千米加上5千米，正好是全长的（1－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出公路的全长为（160＋5）÷（1－）＝330（千米）。 【详解】（30＋3）÷（1－） ＝33÷ ＝33× ＝44（千米） （44－4）÷（1－） ＝40÷ ＝40×4 ＝160（千米） （160＋5）÷（1－） ＝165÷ ＝165×2 ＝330（千米） 答：公路的全长是330千米。 【点睛】本题采用倒推法，从最后剩下的长度逐步往前推算，根据每天修路的长度与剩下长度的关系，找准单位“1”，区分三个单位“1”的不同，单位“1”未知，根据分数除法的意义逐步求出公路的全长。 46．水池上有一根进水管和一根出水管，单开进水管，3小时可以将空池注满；单开出水管，4小时可以将满池水放完。现在先把进水管打开1小时，然后关闭进水管，再把出水管打开1小时，再关闭出水管，再将进水管打开1小时……如此下去，几小时后能将空水池注满？ 【答案】17小时 【分析】注满水一定发生在进水管工作阶段，先扣除最后1小时进水管的注水量，剩余水量由完整的“进1小时、出1小时”周期完成，算出周期数后加上最后1小时即可得到总时间。 【详解】将满池水的总量看作单位“1”。 进水管每小时注水量： 出水管每小时放水量： 每个周期（2小时，进1小时、出1小时）净注水量： 最后1小时进水管可注的水，需要周期完成的水量： 需要的完整周期数：（个） 总时间：（小时） 答：17小时后能将空水池注满。 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