第一章空间向量与立体几何单元检测基础卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 人教A版高二数学选择性必修一空间向量与立体几何单元基础卷，覆盖向量运算、空间几何证明等核心知识，通过基础题与存在性探究题，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|第1题向量线性运算、第6题法向量求解|基础概念辨析，注重空间向量基本运算| |多选题|3|第9题基底性质、第11题线面角计算|多维度概念理解，考查空间几何综合应用| |填空题|3|第12题向量中点表示、第14题方向向量与法向量|空间向量运算应用，强化符号意识| |解答题|6|第18题线面平行证明、第19题存在性探究|综合几何问题解决，培养创新意识与推理能力|

人教A版高二数学选择性必修一册第一章空间向量与立体几何单元检测卷 （基础卷02） 一、单选题 1．正六棱柱中，设，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 3．在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（    ） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 4．在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（    ） A．－1 B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 10．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 11．如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角为 三、填空题 12．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，线段EF的长度为1，则______. 13．在空间直角坐标系中，已知点，，则______． 14．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______. 四、解答题 15．求证：点在直线上的充要条件是对空间任意一个确定的点，存在实数使得. 16．已知向量，，是空间的一组单位正交基，向量，，是空间的另一组基．若向量在基下的坐标为，求在基下的坐标． 17．已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 18．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 19．如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点． (1)在B1B上是否存在一点P，使平面？ (2)在平面上是否存在一点N，使平面？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版选择性必修第一册第一章单元检测基础卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C D A A C AC AC 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求. 【详解】正六棱柱中， 故选：B 2．D 【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可. 【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误； 若，则､的长度相等但方向不确定，B错误； 向量不能比较大小，C错误； 由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确. 故选：D. 3．B 【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断 【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内， 即O，A，B，C四点不共面， 所以A、C、D选项说法正确，B错误． 故选：B 4．C 【分析】根据给定条件，利用空间两点间距离公式求出三角形边长作答. 【详解】点，则， ，， 而，所以一定为直角三角形. 故选：C 5．D 【分析】先求出与的坐标，再由与互相垂直，可得，从而可求出的值. 【详解】因为，， 所以，， 因为与互相垂直， 所以，解得， 故选：D 6．A 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 7．A 【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD. 【详解】解：在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 8．C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 9．AC 【分析】根据基底、直线的方向向量等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A正确，B错误； 对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确； 对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误. 故选：AC 10．AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 11．AD 【解析】A. 利用，三棱锥的体积为定值，正确 B. 利用平移法找异面直线所成的角，，和所成的角为，所以异面直线与所成的角为，故B错误 C. 若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误 D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确 【详解】解：对于A， 故三棱锥的体积为定值，故A正确 对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误 对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误 对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，， 设平面的法向量为则 ，即 令，则 所以直线与平面所成的角为，正确 故选：AD 【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题. 12． 【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解. 【详解】    因为E，F分别为AD，BC的中点，所以 所以， . 故答案为：. 13． 【分析】由坐标运算求解即可. 【详解】 故答案为： 14．-1 【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可. 【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面， 必有 ，即向量 与向量 共线， ，∴，解得； 故答案为：-1. 15．证明见解析. 【分析】由向量共线的线性关系证明即可. 【详解】证明：必要性 在直线上 ．所以点在直线上是的必要条件； 充分性 由， 所以在直线上，所以是点在直线上的充分条件， 题目得证． 16． 【分析】设，由空间向量基本定理列出方程组，即可求解． 【详解】由题意有， 设，则 则有，得， 在基下的坐标为 17．(1) (2) (3) 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【详解】（1）; （2）, 则； （3），则 18．证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面. 【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且, 由此可得，又因为直线平面，所以平面. 19．(1)不存在 (2)存在 【分析】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设点，由可得答案； （2）设，由可得答案. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则点A(1，0，0)，E，， ，＝． 假设存在点满足题意，于是， 所以 ，所以， 解得与矛盾， 故在上不存在点使平面． （2）假设在平面上存在点N，使平面． 设， 则，因为， 所以，解得， 故平面AA1B1B上存在点N，使平面． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $