21.5.2 反比例函数 教学设计（含单元教学设计） 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象特征与性质，通过复习反比例函数概念及描点法画函数图象，以一次函数画图经验为支架，自然引入“反比例函数图象是什么样”的探究，衔接前后知识脉络。 此资料以“合作探究”为核心，引导学生自主描点连线绘制双曲线，观察归纳k值对象限分布和增减性的影响，结合几何绘图软件动态演示k值变化，培养几何直观与推理能力。例题与练习层次分明，如根据象限求参数范围、分类讨论点坐标问题，提升应用意识，助力学生夯实数形结合基础，为教师提供清晰可操作的教学路径。

学 科《二次函数与反比例函数》单元教学设计 数学 年 级 九 设计者 教材版本 沪科版 册、章 上册第二十一章 课标要求 1.探索二次函数的图象与性质：理解二次函数概念，会画二次函数图象，掌握开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值；会用配方法将二次函数化为顶点式，能求解二次函数解析式（一般式、顶点式、交点式），利用二次函数解决最值、实际应用问题；理解二次函数与一元二次方程的关系，利用图象求近似解、判断根的情况。 2.探索反比例函数的图象与性质：理解反比例函数概念，掌握反比例函数表达式y=(k)；会画双曲线图象，掌握k的正负对图象位置、增减性的影响；会求反比例函数解析式，解决简单实际问题，体会反比例函数模型。 3.体会函数是刻画变量变化规律的数学模型，感悟数形结合思想，会用图象分析函数问题；提升建模能力、运算能力、逻辑推理能力，能解决函数综合题；体会变量与对应思想，建立函数思维，提升数学抽象素养。 4. 经历观察、探究、猜想、验证过程，学会用数形结合、转化思想解决问题；结合实际情境建立函数模型，解决利润、面积、行程等实际应用问题。 内容分析 本章是初中函数板块的核心内容，承接一次函数，是初中阶段两类核心非线性函数：二次函数、反比例函数。二次函数是典型的抛物线模型，是后续高中函数学习的基础，是中考重点，重在构建抛物线图象性质、解析式求解、方程转化、实际建模体系，强化数形结合、配方法转化、建模思想，是学生从线性函数走向非线性函数的关键转折点。反比例函数是双曲线模型，刻画反比例变化关系，核心是理解常数k的几何意义、变量反比例变化规律、双曲线增减性与对称性，常和一次函数、几何图形综合出题。整体单元核心任务：建立函数模型思维，掌握图象,解析式,性质三位一体学习方法，打通代数计算和几何图象，完善初中函数知识框架，为后续函数学习、综合题型学习奠定基础。 学情分析 九年级学生已经学习过一元二次方程、一次函数、平面直角坐标系，具备基础变量对应意识和图象读图能力，但存在明显难点：从线性均匀变化（一次函数）转向非线性变化（抛物线、双曲线），对分段增减性、顶点最值、k几何意义理解容易混淆，数形转化不熟练；配方法变形易错、计算出错、规范解题书写不足，难以把实际问题转化为函数模型；处于具象思维向抽象函数思维过渡阶段，容易死记结论，忽略图象本质与变量变化规律；以图象探究为主线，反复数形对照，加强变式训练，区分两类函数性质差异，落实规范解题步骤，破除易错点，建立完整函数学习范式。 单元目标 （一）教学目标 1.能准确说出二次函数、反比例函数的定义，识别函数表达式形式，在平面直角坐标系中规范画出两类函数图象，准确区分抛物线与双曲线的图象特征，掌握函数图象上点的坐标与解析式的对应关系。 2.熟练掌握二次函数三种解析式（一般式、顶点式、交点式）、反比例函数标准式y= (k=0)的求解方法；能根据题目条件选择合适形式求函数解析式，掌握配方法转化二次函数顶点式。 3.掌握二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，反比例函数k的几何意义、象限分布、增减性；能结合图象分析函数性质，解决比较函数值、求取值范围等基础问题。 4.理解二次函数与一元二次方程的内在联系，能利用抛物线图象判断一元二次方程根的情况、求解方程近似根；能结合一次函数、几何图形完成简单函数综合计算与证明。 5.能建立二次函数、反比例函数模型解决实际问题，如面积最值、利润最值、行程反比例变化问题，体会数形结合、数学建模思想，提升逻辑推理与代数运算能力。 （二）教学重点、难点 重点： 1.二次函数、反比例函数的图象与核心性质，解析式的求解与互化。 2.数形结合分析函数变化规律，利用函数性质解决计算、几何、实际应用问题。 3.二次函数与一元二次方程的关联，k的几何意义。 难点： 1.配方法变形二次函数，区分两类非线性函数的增减性规律，避免混淆。 2.将实际情境抽象为函数模型，利用函数最值解决应用题。 3.函数与几何、方程的综合题型，灵活转化代数条件与图象信息。 单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 活动1：复习回顾 活动2：二次函数概念的引入 21.1二次函数 活动3：例题讲解与应用 活动1：引入课题 21.2.1二次函数y=的图象与性质(第一课时) 活动2：探究作图，归纳抛物线基础特征 二次函数与反比例函数 活动3：例题讲解与巩固练习 活动1：回顾a>0时抛物线图象与性质 活动2：探究a与抛物线的开口关系 21.2.1二次函数y=的图象与性质(第二课时) 活动3：探究a<0时抛物线的性质 活动4：例题讲解 活动1：引入课题 21.2.2二次函数y=+bx+c的图象与性质(第一课时) 活动2：探究y=与的关系 活动3：例题讲解与综合应用 21.2.2二次函数y=+bx+c的图象与性质(第二课时) 活动1：引入课题 活动2：探究y=与的关系 活动3：例题讲解与综合应用 21.2.2二次函数y=+bx+c的图象与性质(第三课时) 活动2：探究的图象与性质 活动1：引入课题 活动3：例题讲解与拓展提升 活动1：引入课题，提出一般式转化顶点式需求 21.2.2二次函数y=+bx+c的图象与性质(第四课时) 活动2：探究配方法，推导一般式化顶点式步骤 活动3：推导顶点坐标、对称轴通用公式 活动4：例题讲解与拓展提升 活动4：例题讲解与拓展提升 活动3：分类例题讲解，对应不同条件选解析式求解 活动2：探究一般式、顶点式、交点式适用条件 活动1：引入课题 21.2.3二次函数解析式的确定 二次函数与反比例函数 活动1：复习抛物线顶点、交点概念 活动2：探究抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程根的联系 21.3二次函数与一元二次方程(第一课时) 活动3：利用图象判断方程根的三种情况 活动4：例题讲解与拓展提升 活动3：例题讲解与拓展提升 活动2：借助图象估算方程近似根 活动1：引入课题 21.3二次函数与一元二次方程(第二课时) 活动1：生活图形情境引入，建立面积函数模型 活动2：探究自变量取值范围限制下的最值求解 21.4二次函数的应用(第一课时) 活动3：面积类应用题分步讲解 活动4：例题讲解与拓展提升 活动1：引入课题 21.4二次函数的应用(第二课时) 活动2：实际问题转化为二次函数解决问题 活动3：例题讲解与拓展提升 21.4二次函数的应用(第三课时) 活动1：引入课题 活动2：球类运动轨迹的二次函数问题 活动3：例题讲解与拓展提升 活动1：引入课题 活动2：概括反比例函数的定义 21.5反比例函数(第一课时) 二次函数与反比例函数 活动3：例题讲解与拓展提升 活动1：引入课题 活动2：探究反比例函数的性质 21.5反比例函数(第二课时) 活动3：例题讲解与拓展提升 活动1：引入课题 活动2：探究反比例函数解析式的确定方法 21.5反比例函数(第三课时) 活动3：例题讲解与拓展提升 活动1：课题引入 21.5反比例函数(第四课时) 活动2：建立反比例函数模型解决实际问题 活动3：例题讲解与拓展提升 （二）课时安排 课时编号 单元主要内容 课时数 21.1 二次函数 1 21.2 二次函数的图象与性质 7 21.3 二次函数与一元二次方程 2 21.4 二次函数的应用 3 21.5 反比例函数 4 达成评价 课题 课时目标 达成评价 评价任务 21.1二次函数 1.通过生活实例抽象变量关系式，理解二次函数的定义，能说出二次函数解析式结构特征，区分二次项、一次项、常数项，明确a≠0的核心要求； 2.能根据实际情境列出二次函数关系式，识别自变量取值范围，辨析二次函数、一次函数、反比例函数的区别。 能独立判断给出的代数式是否为二次函数，并用完整语言说明判断依据； 能根据文字情境列出二次函数表达式，准确标注各项系数与自变量限制条件。 任务一：概念辨析； 任务二:总结概念； 任务三:例题讲解。 21.2.1二次函数y=的图象与性质(第一课时) 1.学会用描点法绘制 y=这类二次函数的图象，认识抛物线，掌握抛物线的基本特征：对称轴、顶点、开口方向； 2.通过观察图象，归纳当a>0时y=的增减性、最值，体会数形结合思想，提升函数图象观察、读图分析能力，能初步利用图象性质解决简单问题。 1.能够独立用描点法画出 y=，y=等函数图象，准确说出对称轴、顶点坐标； 2.能正确表述a>0时 y=的增减性与最小值； 3.可以根据图象性质比较函数值大小，完成基础读图习题。 任务一：描点作图任务，绘制 y=图象并标注对称轴、顶点； 任务二：图象观察探究，总结a>0时 y=图象特征、增减性、最值； 任务三：基础巩固练习，比较函数值、判断图象相关结论正误； 任务四：课堂小测，当堂检测图象性质基础应用 21.2.1二次函数y=的图象与性质(第二课时) 1.会用描点法画出 a<0时 y=的图象，掌握这类抛物线的顶点、对称轴、开口方向特征； 2.归纳 a<0 时 y= 的增减性与最大值，完整总结a>0和a<0 两种情况下 y= 的图象与性质，理解 ∣a∣ 对开口宽窄的影响； 3.能够运用 y= 的性质比较函数值、求解自变量取值、解决简单计算题型，深化数形结合思想。 1.能够独立画出 y=−x2、y=−2x2 等抛物线图象，准确标注顶点、对称轴、开口方向； 2.能完整区分 a>0、a<0 时抛物线增减性、最值差异，正确表述整体性质； 3.可灵活运用性质比较函数值、求解参数，正确完成辨析类习题。 任务一：回顾检测，复述 a>0 时y=的图象与性质； 任务二：作图探究，绘制 a<0 类型抛物线并归纳图象性质 任务三：对比辨析，完成 a 正负两类函数性质判断题、函数值比较题； 任务四：巩固练习，参数求解、图象性质综合基础习题。 21.2.2二次函数y=+bx+c的图象与性质(第一课时) 1.会用描点法画出的图象，识别抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标； 2.理解 与 图象之间的上下平移规律：上加下减常数项，掌握增减性、最值特点； 3.能直接写出 的对称轴、顶点和最值，利用性质完成简单计算，体会数形结合思想。 1.能准确说出 图象由 如何平移得到，正确写出顶点 (0,k)、对称轴 x=0（y 轴）； 2.能根据a的正负判断开口方向、增减性和最值； 3.能正确写出平移后的函数表达式，完成基础性质习题。 任务一：回顾作图，复习的图象与核心性质； 任务二：描点绘制 图象，对比观察两条抛物线位置差异； 任务三：归纳上下平移规律，标注顶点、对称轴，总结增减性与最值； 任务四：基础巩固练习，平移写解析式、求最值、比较函数值 21.2.2二次函数y=+bx+c的图象与性质(第二课时) 1.会用描点法画出的图象，准确识别抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标。 2.理解与 图象的水平平移规律：左加右减自变量，掌握抛物线左右平移方法。 3.掌握 的增减性、最值规律，能根据解析式直接读出对称轴、顶点，体会数形结合思想。 能准确说明是由沿 x 轴左右平移得到，正确写出顶点(h,0)、对称轴x=h； 2.能根据a的正负判断开口方向、增减性和最值，正确写出平移后的函数解析式； 3.能完成图象平移、顶点识别、函数值比较等基础习题。 任务一：复习回顾,复述的图象性质、顶点及对称轴 任务二：描点作图，对比与图象，观察位置差异； 任务三：归纳水平平移规律，总结图象性质、增减性、最值； 任务四：巩固练习，根据平移写解析式、标注对称轴顶点、基础性质习题 21.2.2二次函数y=+bx+c的图象与性质(第三课时) 1.掌握顶点式； 的图象特征：开口方向、对称轴、顶点坐标，理解它由经过平移得到的完整规律。 2.掌握抛物线整体平移法则（左加右减自变量，上加下减常数项），能正确描述平移过程，分析增减性与最值； 3.能直接根据顶点式读取顶点、对称轴、最值，利用图象性质求解取值范围、比较函数值，深化数形结合思想。 1.能准确写出顶点 (h,k)、对称轴 x=h；2.根据a判断开口方向、增减性、最值； 能完整说明， 相对于的平移过程，正确写出平移后的解析式； 3.能运用顶点式性质完成识图、求最值、比较函数值的基础习题。 任务一：回顾复习， 任务二：作图探究，绘制 抛物线，标注顶点、对称轴，观察整体图象特征； 任务三：归纳总结，梳理顶点式完整性质、平移规律、增减性和最值规律； 任务四：巩固应用，平移写解析式、求最值、函数值比较、识图基础习题 21.2.2二次函数y=+bx+c的图象与性质(第四课时) 1.理解二次函数顶点式,掌握抛物线平移规律，识别顶点、对称轴； 2.学习配方法，初步尝试将简单二次函数由一般式转化为顶点式，推导对称轴与顶点相关公式； 3.体会数形结合与图形变换思想，能根据顶点式写出顶点、对称轴，判断开口方向，解决基础识图问题。 1.能说出抛物线平移规律，准确读出顶点坐标与对称轴； 2.能对简单二次函数进行配方变形，写出顶点式并确定顶点与对称轴； 3.能根据顶点式图象信息判断增减区间、最值，完成基础读图题目。 任务一：复习回顾； 任务二：作图探究，对比抛物线平移变化，归纳平移规律； 任务三：配方法基础练习，将简单一般式转化为顶点式，标注顶点、对称轴； 任务四：基础习题，根据顶点式求对称轴、顶点，判断开口与最值 21.2.3二次函数解析式的确定 1.掌握二次函数三种解析式形式（一般式、顶点式、交点式）及其适用条件，能根据已知条件合理选择解析式类型； 2.熟练运用待定系数法求二次函数解析式，掌握代入求解参数的计算方法，规范解题步骤； 3.能结合图象信息、几何条件、实际情境求解解析式，提升数形结合能力与运算能力。 1.能准确说出三种解析式形式及适用场景，根据已知条件正确选择解析式； 2.能用待定系数法完整求解二次函数解析式，计算准确、步骤规范； 3.可结合顶点、交点、任意三点等条件求出解析式并进行基础验证。 任务一：回顾梳理，默写二次函数三种解析式，说明各自适用条件； 任务二：分类例题练习：三点求一般式、顶点求顶点式、x 轴交点求交点式； 任务三：纠错练习，排查待定系数法计算错误、解析式选用错误； 任务四：综合练习，结合图象信息求解析式并验证。 21.3二次函数与一元二次方程(第一课时) 1.理解抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程实数根之间的对应关系，掌握判别式 Δ=的意义； 2.能根据Δ的符号判断抛物线与x轴交点个数、一元二次方程实数根的情况，建立函数与方程转化思想。 1.能准确表述二次函数图象与x 轴交点和对应一元二次方程根的内在联系； 2.能根据判别式 Δ 判断抛物线与 x 轴交点数量、方程根的三种情况。 任务一：回顾复习，复习二次函数图象、对称轴、交点相关知识； 任务二：探究学习，研究抛物线与 x 轴交点和一元二次方程根的关系，辨析 Δ三种情况； 任务三：基础巩固，判别式判断交点题型、概念辨析题。 21.3二次函数与一元二次方程（第二课时） 1.进一步理解二次函数图象与对应一元二次方程根的几何联系，知道方程的根就是抛物线与 x 轴交点的横坐标； 2.掌握用二次函数图象估算一元二次方程近似根的方法（观察图象、缩小区间、逐步逼近），学会确定根的取值范围、精确到指定数位； 3.体会数形结合、逼近思想，提升读图能力，能检验近似根的合理性。 1.能在平面直角坐标系中画出对应二次函数图象，定位方程根所在的区间； 2.能用逐步逼近法求出一元二次方程的近似根，做到精度达标、步骤规范； 3.能验证近似根，完成图象估根类基础习题。 任务一：回顾旧知，说出二次函数图象与 x 轴交点横坐标和一元二次方程根的对应关系 任务二：作图探究，画出二次函数图象，确定方程根所在区间； 任务三：实操练习，逐步取值逼近，求解一元二次方程近似根； 任务四：巩固验证，检验近似根结果，完成课堂基础习题。 21.4二次函数的应用(第一课时) 1.能分析几何图形面积问题中的变量关系，建立二次函数模型，写出面积关于边长的二次函数表达式并确定自变量取值范围； 2.会结合自变量实际取值范围求解二次函数最值，掌握区间最值求解方法，理解顶点最值不一定符合实际定义域； 3.能用规范步骤完成面积最值应用题，体会数学建模思想，提升解决实际问题的能力。 1.能准确建立面积二次函数模型并正确标注自变量取值范围； 2.能在实际自变量范围内求出最大/最小面积，规范写出解题过程； 3.能解释结果的实际意义，完成围栏、矩形、几何拼接类面积习题。 任务一：回顾复习，复习二次函数最值求法与自变量取值限制问题； 任务二：建模探究，围栏 / 矩形面积例题，建立面积函数并确定自变量范围； 任务三：最值求解，结合定义域求面积最值，对比顶点最值和区间端点最值； 任务四：变式练习，几何图形面积最值应用题训练，规范书写解题步骤。 21.4二次函数的应用(第二课时) 1.学会建立平面直角坐标系，把拱桥、抛物线桥梁实际问题转化为二次函数数学模型，求出抛物线解析式； 2.能利用二次函数解析式计算桥梁高度、宽度、通行限高等实际数据，解决相关计算问题； 3.体会建模、数形结合思想，掌握抛物线实际问题解题步骤，提升数学应用能力。 1.能合理建立平面直角坐标系，根据已知数据求出桥梁抛物线的函数解析式； 2.能代入自变量求解对应高度、代入高度求解对应宽度，准确完成桥梁参数计算； 3.能规范写出建模解题步骤，解释结果的实际意义。 任务一：回顾复习，复习二次函数顶点式求解析式方法； 任务二：建模探究，以抛物线拱桥为例建立坐标系，确定关键点坐标、求函数解析式； 任务三：计算应用，利用解析式求桥拱高度、水面宽度、通行高度等实际参数； 任务四：变式练习，不同建系方式的桥梁习题训练，规范解题步骤。 21.4二次函数的应用(第三课时) 1.把篮球、排球等抛体球类运动轨迹抽象为抛物线模型，合理建立平面直角坐标系，求出对应的二次函数解析式； 2.利用二次函数解析式求解最大高度、击球位置、落地点水平距离、过网 / 扣球高度等关键数据，检验运动是否符合要求； 3.掌握抛体运动建模解题步骤，关注自变量实际取值范围，体会数形结合与数学建模思想，提升实际问题转化能力。 1.能够根据球类运动轨迹建立合适坐标系，读取关键点坐标并求出抛物线解析式； 2.可以代入变量计算球类飞行高度、水平距离、最高点高度，判断能否过网、是否达标； 3.解题步骤书写规范，能结合实际情境说明结果意义，兼顾自变量取值限制。 任务一：回顾复习，复习顶点式求二次函数解析式、求最值的方法； 任务二：建模探究，篮球投篮 / 排球发球轨迹例题，建立坐标系、提取关键点、求抛物线解析式； 任务三：参数计算，求最大高度、落地点距离、过网高度，验证投篮是否命中、排球能否正常通过； 任务四：变式巩固，球类抛体轨迹综合习题，规范建模解题格式。 21.5反比例函数(第一课时) 1.通过实际情境感知反比例变化关系，理解反比例函数的定义，掌握解析式(k≠0)，明确自变量取值范围； 2.会判断函数是否为反比例函数； 3.感受变量之间反比例变化规律，初步体会建模思想，区分反比例函数、一次函数、二次函数。 1.能准确复述反比例函数定义，正确判断各式是否为反比例函数； 2.能根据实际问题列出反比例函数关系式并标注自变量取值范围。 任务一：情境探究，分析路程、矩形面积等问题中的变量关系，发现乘积恒定特征； 任务二：概念辨析，判断各式是否为反比例函数，识别参数 k并强调 k≠0； 任务三：简单建模，根据实际反比例情境列出函数表达式。 21.5反比例函数（第二课时） 1.掌握反比例函数的图象（双曲线）特征，理解 k的正负对图象所在象限、增减性的影响； 2.理解并掌握 k的几何意义； 3.能利用反比例函数性质比较函数值、求图形面积、解决基础数形结合问题，体会数形结合思想。 1.能根据 k的正负准确说出双曲线所在象限、增减变化规律（注意：在每个象限内讨论增减性）； 2.能利用 k的几何意义正确计算相关矩形、三角形面积； 3.可以正确比较函数值大小，完成反比例函数性质辨析与基础计算题。 任务一：回顾复习，回顾反比例函数定义、解析式、描点作图方法； 任务二：图象探究，观察 k>0、k<0 时双曲线分布与增减规律，强调区间前提； 任务三：探究 k 的几何意义，完成面积计算类习题； 任务四：巩固练习，函数值比较、性质判断题、基础面积计算题 21.5反比例函数（第三课时） 1.掌握反比例函数三种表达形式，熟练运用待定系数法求解析式； 2.结合实际反比例情境建立函数模型，规范解题步骤，区分反比例函数与其他函数求法。 1.能使用待定系数法，代入已知点坐标正确求出 k值并写出反比例函数解析式； 2.能结合实际问题求出反比例函数解析式并标注自变量取值范围。 任务一：回顾复习，复述反比例函数定义、图象性质及三种表达式； 任务二：基础练习：已知图象上一点坐标，用待定系数法求反比例函数解析式； 任务三：变式巩固：实际反比例情境建模求解析式，规范解题步骤 21.5反比例函数（第四课时） 1.识别压强、工程、行程、电学等实际问题中的反比例变量关系，建立反比例函数模型； 2.利用反比例函数解析式求解实际问题，确定自变量取值范围，解释结果的实际意义； 3.结合图象解决实际问题，体会数学建模思想，规范应用题解题格式。 1.能判断实际问题中的反比例关系，正确列出反比例函数解析式并标注自变量取值范围； 2.能代入数值完成计算，求解变量数值、预测变化趋势，结合图象读取信息； 3.能规范书写解题步骤，结合实际背景检验结果合理性。 任务一：回顾复习，复习反比例函数解析式求法与图象性质； 任务二：建模探究，行程、工程、压强等典型反比例情境，建立函数模型； 任务三：计算应用，代入数值求解变量、分析增减变化规律，结合图象解题； 任务四：变式巩固，综合应用题训练，规范解题步骤并检验结果合理性。 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.5.2反比例函数教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 21 课题 21.5.2反比例函数 课时 1 教材分析 本节课承接反比例函数概念，处在一次函数之后、二次函数之前，是初中非线性函数的关键课时。本课借助描点法绘制双曲线，依托图象归纳 k 正负对应的象限分布、增减特点，渗透数形结合思想。学好本课可以完善学生函数研究思路，也为后续函数综合题型打下基础。 学情 分析 九年级学生熟悉平面直角坐标系，掌握一次函数画图与探究方法，具备基础读图能力。但学生习惯一次函数整体单调变化，容易忽略反比例函数“每个象限内”增减性的前提；双曲线间断、不经过坐标轴的特征较陌生，数形转换薄弱，画图漏点、取值出错是常见问题。 核心素养目标 1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. 3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题 教学重点 反比例函数的图象特征和性质 教学难点 应用反比例函数的图象和性质解题 教学 准备 多媒体课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 1.什么是反比例函数？ 一般地，形如 的函数叫做反比例函数． 2.画函数图象的一般方法和步骤是怎样的? 描点法 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固函数相关知识 二、引新 创设情境，引入课题 反比例函数(k≠0)的图象是什么样呢？ 学生看图片，思考问题 通过问题，自然引入课题 二、探究 合作探究，活动领悟 画出反比例函数的图象. 描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.如下图所示. 连线：把y轴右边各点和左边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来. 观察函数图象，回答下列问题： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明原因吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题 (1)(2)，你能得出同样的结论吗？ 观察图可知： (1)因为自变量x≠0，所以y轴把函数的图象分隔成两个分支，它们分别在第一、三象限内； (2)在每个象限内，图象自左向右下降，y随x的增大而减小，图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交 (3)如果点P()在函数图象上，那么点P’(-)也应在它的图象上 思考 画反比例函数的图象. 解：列表、描点、作图 观察和的图象 请你利用几何绘图软件，改变中k的值，如图，观察图象并思考：对于k>0和k<0两种情况，反比例函数(k为常数，且k≠0)有哪些性质？ 归纳： 一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生通过自主发现与协作交流，深入理解反比例函数的图像与性质 三、变式 师生互动，变式深化 例、已知反比例函数y＝ （a为常数）. （1） 若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围. （2） 当x＞0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围. 解：（1） ∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限，∴ 2a＋8＜0，解得a＜－4.∴ a的取值范围是a＜－4. （2） ∵ 当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴ 2a＋8＞0，解得a＞－4. ∴ a的取值范围是a＞－4. 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活 四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.反比例函数y＝的图象大致是(　A　) 2．关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是(　D　) A．经过点(1，4) B．是轴对称图形，对称轴是y轴 C．位于第一、三象限 D．是中心对称图形，对称中心是原点 3．已知反比例函数y＝，当x＜2且x≠0时，y的取值范围为_y＞2或y＜0__；当y≥1时，x的取值范围为____0＜x≤4___． 4. 若反比例函数y＝ 的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 k<－ . 5. 已知反比例函数 y =m，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = m的两个分支分别在第一、第三象限， 所以有 解得. 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求 五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 反比例函数的图像与性质 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。 板书设计 作业设计 1.对于反比例函数y＝，下列说法中错误的是( A ) A.y随x的增大而减小 B.图象分布在第一、三象限 C.图象与坐标轴无交点 D.图象关于直线y＝x对称 2.若点A(2，y1)，B(3，y2)都在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，则( C ) A.y1＜y2 B.y1≤y2 C.y1＞y2 D.y1≥y2 3. 如图，A，B是双曲线y＝ （x＞0）上的点，分别过A，B两点作x轴、y轴的垂线段，S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积.若S3＝1，且S1＋S2＝4，则k＝ 　3　. 4.已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则 m 的取值范围是___2_____. 5. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2) 在反比例函数(k＞0) 的图象上，若 y1＜y2，求 a 的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵ y1＜y2，∴ a－1＞a＋1，无解； ② 当这两点分别位于图象的两支上时， ∵ y1＜y2，∴ 必有 y1＜0＜y2. ∴ a－1＜0，a＋1＞0， 解得－1＜a＜1. 故 a 的取值范围是 －1＜a＜1. 教学反思 本课学生动手描点积极性较好，但不少同学作图取值片面、曲线绘制不够顺滑。多数学生容易混淆一次、反比例函数增减规律，忽略自变量不能为零。后续需要增加对比练习，强化象限分段性质，多用图像演示，引导学生养成看图推导性质、数形互推的做题习惯。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $