21.5.3 反比例函数的应用 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的应用，通过拉面问题导入，引导学生从体积不变的实际情境中抽象出反比例关系，为后续解决煤气储存室、杠杆原理等问题搭建学习支架。 特色在于以生活与物理实例为载体，如码头卸货、功率电阻问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过建立函数模型、用方程思想求解，发展数学思维，提升用数学语言表达实际问题的能力，助力学生形成应用意识，为教师提供清晰教学流程与丰富实例。

第3课时　反比例函数的应用 课题 第3课时　反比例函数的应用 授课人 教 学 目 标 1.通过分析实际问题中的数量关系,能抽象出反比例函数关系,建立反比例函数模型. 2.会利用反比例函数的概念、图象和性质求函数的值,对变量的变化趋势进行推断,并对实际问题作出解释. 3.通过建立反比例函数模型解决实际问题,体会数学模型观念和形成应用意识. 教学 重点 　　利用反比例函数的知识分析、解决实际问题. 教学 难点 　　分析实际问题中的数量关系,正确写出函数表达式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 图21-5-21 　　拉面师傅手艺精湛,如果他要把体积为15 cm3的面团做成拉面,你能写出面条的总长度y(单位:cm)与面条粗细(横截面积)S(单位:cm2)之间的函数表达式吗?若拉面师傅拉的面条粗1 mm2,则面条总长是多少? 教师引导学生建立反比例函数模型解决问题. 　　通过解决日常生活中的拉面问题,让学生初步体验如何利用反比例函数模型解决实际问题,为进一步解决其他问题奠定基础. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 反比例函数在实际生活中的应用 情境1:市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱体煤气储存室. 问题:(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深? (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为15 m.相应地,储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)? 教师引导学生分析:①如何计算圆柱体储存室的容积?②容积不变时,底面积S与深度d有什么关系?③第(2)问和第(3)问与函数表达式有什么关系? 先由学生独立思考,然后小组内合作交流,教师和学生最后合作完成. 追问:(1)在实际问题中求函数表达式的关键是什么? (2)已知自变量的值求函数值,已知函数值求自变量的值的基本思想是什么?(代入函数表达式,用方程思想求解) 总结:体积问题中的数量关系是体积=底面积×高.当体积为定值时,底面积和高成反比例关系,根据底面积可以求高,根据高也可以求底面积. 　　教师通过问题引导,给学生提供解决此类问题的思路,让学生在解决问题的过程中体会反比例函数与实际问题的联系. 解决实际问题时首先建立函数模型,然后利用函数意义或性质解决问题,培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力. 情境2:码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间. 问题:(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨? 教师引导学生分析:①“工程问题”中的数量关系是什么?②题目中货物总量是不变的,平均卸货速度v和卸货天数t之间有什么关系?③第(2)问涉及了反比例函数的增减性,即当自变量t取最大值时,函数值v取最小值. 教师鼓励学生运用多种方法来思考问题,充分利用方程、不等式、函数三者之间的关系解题. 总结:工程问题中的数量关系是工程量=工作效率×工作时间.当工程量一定时,工作效率与工作时间成反比例关系. 【探究2】 反比例函数在物理学中的应用 情境1:小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m. (1)动力F(N)与动力臂l(m)有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少? (3)假定地球产生阻力的近似值为6×1025 N(即为阻力),阿基米德有500 N的力量,阻力臂为2000 km,请你帮助阿基米德设计该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动. 教师引导学生分析: (1)问题中的动力、动力臂、阻力、阻力臂四个量中,不变的是哪些量? (2)问题中,由“杠杆原理”知动力与动力臂是什么关系?函数表达式是什么? (3)在我们利用撬棍时,为什么动力臂越长就越省力? (4)利用动力与动力臂之间的函数关系,你能解决所有问题吗? 总结:杠杆是我们生活中经常遇到的物理模型.日常使用的剪刀、筷子、开瓶器等都蕴含了“杠杆原理”,同学们使用这些物品费力时,可以考虑运用反比例函数的性质去分析. 情境2:一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110 Ω~220 Ω,已知电压为220 V,这个用电器的电路图如图21-5-22所示. (1)用电器的功率P与电阻R有怎样的函数关系? (2)这个用电器功率的范围是多少? 　图21-5-22 师生活动:教师引导学生思考:(1)用电器的功率P是电阻R的什么函数?(2)当用电器的功率最大时,电阻是怎样的情况?学生再独立完成本题的解答.师生集体订正. 思考:为什么收音机的音量、台灯的亮度、电风扇的转速可以调节? [答案:收音机的音量、台灯的亮度、电风扇的转速由用电器的输出功率决定,调节按钮就是调节用电器中的电阻.我国民用电压为220 V,在电压一定的情况下,用电器的输出功率是用电器中电阻的反比例函数] 　　在了解杠杆原理的基础上,探究杠杆问题存在的反比例函数关系,进一步培养学生利用反比例函数模型解决物理问题的能力. 从学生熟悉的功率、电压、电流的物理关系出发,建立反比例函数模型,实现物理与数学知识的相互转化,从而培养学生灵活应用反比例函数知识解决问题的能力. 【应用举例】 例1　小阳要把一篇文章录入电脑,所需时间y(分)与录入文字的速度x(字/分)之间的反比例函数关系如图21-5-23所示. (1)这篇文章共有多少个字? (2)写出y关于x的函数表达式; (3)若小阳7点20分开始录入,预计完成时间不超过7点28分,请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少. 图21-5-23 分析:(1)根据工程量=工作效率×工作时间,可知这篇文章共有140×10=1400(个)字;(2)y=(x>0);(3)当y=28-20=8时,代入函数表达式,可得x=175,观察图象可知:若y≤8,则x≥175,因此小阳录入文字的速度至少为175字/分. 例2　几位同学玩撬石头的游戏,已知阻力和阻力臂不变,分别是1000 N和0.5 m,设动力为F N,动力臂为l m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系? (2)小刚的撬棍的动力臂为2 m,你能求出他撬动石头至少需要多大的力吗? 分析:(1)根据探究结果可知Fl=1000×0.5=500,所以动力F与动力臂l之间的函数表达式为F=(l>0);(2)当l=2时,F==250(N),即小刚撬动石头至少需要250 N的力. 师生活动:可以由学生独立思考后解答,师生集体评价. 　　从实际问题中寻找变量间的关系,关键是充分运用反比例函数分析实际情况,建立函数模型,并且利用函数的性质解决实际问题. 【拓展提升】 图21-5-24 例3　家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料,它的电阻R(kΩ)随温度T(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图21-5-24所示.通电后,发热材料的温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中,电阻与温度成反比例关系,且在温度达到30 ℃时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度的升高而增加,温度每上升1 ℃,电阻增加 kΩ. (1)求当10≤T≤30时,R与T之间的函数表达式; (2)求当温度为30 ℃时电阻R的值,并求出当T≥30时,R与T之间的函数表达式; (3)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围内时,发热材料的电阻不超过6 kΩ? 　　本例题是反比例函数与一次函数的综合应用,可进一步提升学生应用反比例函数知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.某村耕地总面积为50公顷,且该村人均耕地面积y(单位:公顷)与总人口x(单位:人)的函数图象如图21-5-25所示,则下列说法正确的是 (D) 图21-5-25 A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例函数关系 C.若该村人均耕地面积为2公顷,则总人口有100人 D.当该村总人口为500人时,人均耕地面积为0.1公顷 2.李老师参加了某电脑公司推出的分期付款(无利息)购买电脑活动,他购买的电脑的价格为9800元,交了首付之后每月付款y元,x个月结清余款,y与x满足如图21-5-26所示的函数关系,通过以上信息可知李老师的首付款为　3800元　.  图21-5-26 3.在对物体做功一定的情况下,力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系,其图象如图21-5-27所示,点P(5,1)在函数图象上,则当力F达到10 N时,物体在力的方向上移动的距离是　0.5　m.  图21-5-27 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 教师与学生一起回顾所学主要内容: (1)我们建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的? (2)在这个过程中要注意什么问题? 　　学生在回顾中整理知识、梳理思维,获得成功的体验,积累学习的经验. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的过程中,让学生对例题进行透彻地分析,结合反比例函数的性质加深理解;在学习的过程中通过层层递进的例题练习巩固,让学生把知识转化为能力. ②[讲授效果反思] 本课时的难点在于反比例函数模型的建立,以及灵活应用方程、不等式等解决问题. ③[师生互动反思]   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　    ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $