二 包装盒 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年五年级上册数学提优训练（青岛五四制·新教材）

包装盒 长方体和正方体 教材思考题深化 例个（教材P129题）王叔叔用一根60厘米 长方体？（长、宽均为整厘米数） 长的铁丝做一个高7厘米的长方体模型，长和 长方体的长（厘米） 宽可能是多少厘米？请填写下表。（长和宽取 长方体的宽（厘米） 整厘米数) 长方体的高（厘米） 5 5 5 长 宽 高 1 7 cm 2 7cm 3 7 cm 4 7 cm 思路分析 根据长方体的特征，它的12条棱中 相对的4条棱的长度相等，60厘米是长方 例2（教材P18聪明小屋）(1)2个棱长为 体的棱长总和，先用60厘米除以4求出 1厘米的正方体表面积总和是多少平方厘米？ 一组长、宽、高的和，再减去高就是长与宽 把它们拼成一个长方体后，表面积减少了多少 的和，最后通过分析即可解决问题。 平方厘米？ 解答：60÷4=15（厘米），15-7=8（厘米），即 (2)3个这样的正方体拼成一个长方体后，表面 长与宽的和满足8厘米即可。 积减少了多少平方厘米？4个呢？ 长 宽 高 1 4 cm 4 cm 7 cm 2 5 cm 3 cm 7cm (3)你有什么发现？ 3 6 cm 2 cm 7cm (4)按这样的拼法，n个小正方体拼成一个长方 体后，表面积减少了多少平方厘米？ 4 7cm 1 cm 7cm 方法点拨 思路分析 (1)把2个正方体拼成一个长方体后， 此类问题主要考查长方体的特征及 减少了2个正方形的面，即2×(2一1)= 棱长总和的计算方法，长方体的棱长总 2(个)面。 和=（长十宽十高）×4，牢记此公式是解 (2)把3个正方体拼成一个长方体后， 答此类题目的基础。 减少了4个正方形的面，即2×(3一1)= 巩固深化 4(个)面。把4个正方体拼成一个长方体 后，减少了6个正方形的面，即2×(4一1)= 1.李叔叔用一根52厘米长的铁丝做一个高 6(个)面。 5厘米的长方体模型，能做成多少种不同的 3.把10个棱长8厘米的小正方体拼成一排， (3)每增加一个正方体，就多减少 表面积比原来减少了多少平方厘米？ 2个正方形的面。 (4)n个小正方体拼成一个长方体后， 减少了2(n-1)个正方形的面。 解答：(1)1×1×6×2=12（平方厘米） 1×1×2×(2-1)=2(平方厘米) 答：它们的表面积总和是12平方厘米；把它们 拼成一个长方体后，表面积减少了2平方厘米。 例3（教材P229题）把一个1立方米的正 (2)1×1×2×(3-1)=4(平方厘米) 方体木块切成1立方分米的小正方体木块。 1×1×2×(4-1)=6(平方厘米) 如果把这些小正方体木块排成一行，长() 答：3个这样的正方体拼成一个长方体后，表面 分米。 积减少了4平方厘米；4个这样的正方体拼成 思路分析 一个长方体后，表面积减少了6平方厘米。 1立方米=1000立方分米，由此可以 (3)发现：每增加一个小正方体，就多减少2个 得出一共能切成1000个1立方分米的小 正方形的面。 正方体木块；1立方分米的小正方体木块 (4)1×1×2×(n-1)=2(n-1)(平方厘米) 的棱长是1分米，把这些小正方体木块排 答：n个小正方体拼成一个长方体后，表面积 成一行，总长度是1×1000=1000（分米）。 减少了2(n一1)平方厘米。 解答：1000 方法点拨 把几个相同的小正方体拼成一排，表 方法点拨 根据单位换算先求出切割出的小正 面积会比小正方体的表面积总和少。减 方体的总个数，再求出小正方体木块的棱 少的面积=小正方体一个面的面积X2X 长，最后乘小正方体木块的总个数即可解 (正方体个数一1)。 决问题。 巩固深化 巩固深化 2.把14个棱长5厘米的小正方体拼成一排， 4.把一个1立方分米的正方体木块切成1立 表面积比原来减少了多少平方厘米？ 方厘米的小正方体木块。可以切割成多少 个1立方厘米的小正方体木块？如果把这 些小正方体木块排成一行，长多少米？ 5 实验班 提优圳练 难题解题帮手 例①正方体的6个面分别写着A、C、D、E、 少平方厘米？ F、I。与A、E、I相对的面分别是哪个面？ 6 cm 2男 把正方体 A 转一下 5cm 思路分析 8cm 直接判断一个字母对面的字母比较 思路分折 难，可以根据“相邻的面不相对”这一规律 观察图形发现，在长方体上面中间处 进行推理，先看相邻的字母有哪些，排除 挖出一个小正方体时，相当于长方体的上 相邻的字母和字母本身，就能推出相对的 面减少了一个边长为2cm的小正方形的 字母。从图中可以看出与I相邻的有A、 面积，同时又在内部增加了5个这样的小 E、F、C,那么与I相对的面就是D。与 正方形的面积；所以从整体上看，表面积 A相邻的有I、E、F,又排除D,那么与A 相当于增加了4个边长为2cm的小正方 相对的面就是C。剩下的E和F相对。 形的面积。因此剩下物体的表面积=原 来长方体的表面积十4个边长为2cm的 解答：与A相对的面是C,与E相对的面是 小正方形的面积之和。 F,与I相对的面是D。 方法点拨 解答：(8×5+8×6+5×6)×2=236(cm) 在判断正方体中相对的面上的字母 2×2×4=16(cm2) 或数字是什么时，可以先找出与这个面相 236+16=252(cm2) 邻的面上的字母或数字，再根据“相邻的 答：剩下的物体的表面积是252cm。 面不相对”一一排除。 方法点拨 计算不规则物体的表面积，要先找出 今巩固深化 露出的面，再灵活计算各部分的面积之和。 1.一个正方体的6个面上分别写着1~6这 6个数字，下图是这个正方体3种不同摆放 李巩固深化 形式，想一想：哪几个数字所在的面相对？ 2.求右下面组合图形的表面积。 5 cm 寸 8 10 cm 例2如图是一个长8cm、宽6cm、高5cm的 长方体，在它的上面中间处挖出一个棱长为 2cm的小正方体，剩下的物体的表面积是多 6 例3把12个如图1所示的长方体物品打包。 表面积最大，必须尽可能将较小的面重叠 下面图2、图3两种打包方法，哪种打包方法物 在一起。 品的表面积较小？(a>b>c) 李巩固深化 3.一块长方体肥皂，长是9厘米，宽是5厘米， 图1 图2 图3 高是2厘米。把10块这样的肥皂包装在一 思路分析 起形成一个大长方体，至少需要多少平方厘 根据生活经验可知，12个长方体物 米包装纸？（包装纸的重叠部分忽略不计） 品打包成“3X4”和“2×6”的形状，表面积 会小一些。先分别求出“3×4”和“2×6” 两种打包方法物品的表面积，再比较它们 的大小。 解答：图2中的大长方体的表面积为6ab+8ac十 24bc①，图3中的大长方体的表面积为4ab+ 12ac+24bc②，两个式子中都去掉相同的部分 4ab+8ac+24bc后，①式还剩下2ab,②式还 剩下4ac,①式与②式的大小要看2ab与4ac 4.一个小礼品盒的形状是长9厘米、宽6厘 的大小。分以下3种情况： 米、高4厘米的长方体。请你帮厂家设计一 (1)当b=2c时，2ab=4ac,两种打包方法表面积 个能装10个小礼品盒的大纸箱，从节省材 相同。 料的角度，你觉得怎样设计比较合理？为什 (2)当b<2c时，2ab<4ac,图2“3X4”的打包 么？（纸箱厚度忽略不计） 方法表面积最小。 (3)当b>2c时，2ab>4ac,图3“2X6”的打包 方法表面积最小。 方法点拨 将几个完全一样的长方体拼成一个 更大的长方体，要想表面积最小，必须尽 可能将较大的面重叠在一起；反之，要想 附加题兴趣班 学霸或有兴趣挑战者进入，其余可绕过 一名师讲坛 头的体积，实验器材如下：底面积为32dm的 长方体水槽、足量的水、刻度尺 例①排水法实验探究。 实验步骤：(1)向水槽中加入适量水，记录此时 实验背景：小明利用排水法测量一块不规则石 水面高度为h; 实验班 提优圳练 (2)将石头完全浸没在水中，确保水未溢出，记 例2一个长方体玻璃缸，长10分米，宽5分 录此时水面高度为H; 米，高4分米，水深3分米，如果投人一个棱长 (3)计算得H-h=4(cm)。 为4分米的正方体铁块，那么缸里的水溢出多 问题：这块石头的体积是多少立方分米？ 少？（玻璃厚度忽略不计） 思路分析 思路分析 这是有关排水法的题目，关键是看清 这是一个排水溢出的问题，原来玻璃 题目中的“完全浸没”，在完全浸没的情况 缸中水不满，但是加入铁块后水会上升导 下，水面上升部分的体积就是石头的体 致溢出。铁块一定会沉到水底，所以溢出 积。注意单位不一样的时候要先换算单 的水的体积就是铁块的体积减去原来玻 位，再计算。 璃缸未装水的部分的体积。 解答：4cm=0.4dm32X0.4=12.8(dm3) 解答：4×4×4=64（立方分米） 答：这块石头的体积是12.8dm3。 10×5×(4-3)=50(立方分米) 方法点拨 64-50=14(立方分米) 解答此类题目时，需要理解题意，水 答：缸里的水溢出14立方分米。 面上升部分的体积就是石头的体积。 方法点拨 解答此类题目时需要明确溢出水的 久学霸霜治 体积就是铁块的体积减去原来玻璃缸未 装水的部分的体积。 1.小宇家有一个长方体鱼缸，从内部测量，它 的长是55厘米，宽是40厘米，高是36厘 久学霸港治 米。鱼缸里原本装了一些水，水深25厘米。 一天，小宇把一些干净的鹅卵石完全浸没在 2.一个长方体水池，内部长7分米、宽5分米、 鱼缸的水中，发现水面上升了2厘米，且水 高3分米。池中水深2分米，现将6个大小 没有溢出。这些鹅卵石的体积是多少立方 相同、体积都是7立方分米的钢珠完全放入 厘米？ 水中。请你通过计算推理，判断水是否会 溢出。 8实验班 提优圳练 =1-1+函 .1 128 ++品+品++ (1-)+(合3)+（传）+（层） (传8)+（合》 =17 =9 二包装盒 长方体和正方体 [教材思考题深化幻 1.长方体的长（厘米）7654 长方体的宽（厘米）1234 长方体的高（厘米）555 /5 能做成4种不同的长方体。 【解析】先求长、宽、高的和是多少，52÷4= 13(厘米)；再求长与宽的和是多少，13一5= 8(厘米)；最后求出合适的长与宽，据此分析 即可。 2.5×5×2×(14-1)=650(平方厘米) 【解析】把14个小正方体拼成一排，减少了 2×(14-1)=26(个)面。 3.8×8×2×(10一1)=1152（平方厘米） 【解析】把10个小正方体拼成一排，减少了 2×(10-1)=18(个)面。 4.1立方分米=1000立方厘米 可以切割成1000个1立方厘米的小正方体 木块。 1立方厘米的小正方体木块的棱长是1厘米。 总长度：1×1000=1000（厘米） 1000厘米=10米 【解析】1立方分米=1000立方厘米，由此 可以得出可以切割成1000个1立方厘米的 小正方体，进而解决问题。 [难题解题帮手 1.1和3所在的面相对，2和5所在的面相对， 4和6所在的面相对。 【解析】从题图中可以看出与1相邻的有 2、6、4、5,所以与1相对的只能是3；与2相 邻的有1、6、3、4，所以与2相对的只能是5； 剩下的4与6相对。 2.(10×6+10×8+8×6)×2-4×(10-5)× 2=336(cm2) 【解析】将图形补成一个大长方体，用大长 方体的表面积减去空缺部分长方体前后两 个面的面积。 3.包装成长为9厘米、宽和高都为10厘米的 大长方体时最省包装纸。 10×10×2+9×10×4=560(平方厘米) 【解析】将几个完全一样的长方体拼成一个 更大的长方体，要想表面积最小，必须尽可 能将较大的面重叠在一起。 4.“2×5”的装法：尽可能让较大面重合，可以 叠成一个长为9厘米、宽为12厘米、高为 20厘米的长方体，它的表面积为(9×12+ 9×20+12×20)×2=1056(平方厘米). “1×10”的装法：把10个小礼品盒叠在一 起，叠成一个长为9厘米、宽为6厘米、高为 40厘米的长方体，表面积为(9×6+9×40 +6×40)×2=1308(平方厘米). 1056<1308,因此设计一个长为9厘米、宽 为12厘米、高为20厘米的长方体纸箱比较 合理。 [附加题兴趣班 1.55×40×2=4400(立方厘米) 【解析】鹅卵石的体积就是上升部分水的 体积。 8 2.6×7=42(立方分米) 7×5×(3一2)=35（立方分米） 42>35,水会溢出。 【解析】将钢珠的体积与水池中未装水部分 的体积比较，若钢珠的体积大，则水会溢出， 反之则不会。 三小手艺展示 分数乘法 [难题解题帮手] 1.假设a×号司 =1,则 a=2,b=3,此时是a、b的最 小值。如果a、b均小于20，那么a、b的值 还有可能是：a=4,b=6;a=6,b=9;a=8, b=12;a=10,b=15;a=12,b=18。 【解析】假设法和列举法都是解决问题常 用的方法。在求一些未知数的大小时，通常 可以用假设法。 24X号=8（厘米） 4一3=1（厘米） 1×22米) 【解析】先求出甲杯水比乙杯水高多少厘 米，再把高出部分的一半倒给乙杯，两杯水 的高度就相同了。 [附加题兴趣班] 1.1×1-)×1-3)-8(升) 【解析】剩下部分的3是指喝完5后的3， 即(1-3)的 260××号20人) 【解析】先把参加长跑的人数看作单位“1”， 参加掷垒球的人数是参加长跑人数的后，用 60乘即可求出参加挪垒球的人数，再把参 加掷垒球的人数看作单位“1”，参加跳远的 人数是参加锦全球人数的导，同样用乘达水 解即可。 四 走进乡村看小康 一分数除法 [教材思考题深化 1.c<b<d<a 【解析】假设a ×号=6÷=÷ 3 -dX 6c4 星-1，那么a=受b=青c=d-号，因 此c<b<d<a。 1 2.(35+30)÷2+30=160(条) 【解析】先求出现在第二缸有多少条金鱼， 再求出第一缸现在有多少条金鱼，最后求出 第一缸原来有多少条金鱼。 3小明×2=号 8号=20条) 小红：20-8=12（条） 【解析】小明原有金鱼条数的（号×2）正好 是小明比小红多的8条。 [难题解题帮手] 1.41 1.55=2千米) 4.1 5÷1店=12（分） 【解析】解答此题的关键是分清求的是什 么，再确定用哪个量去除以哪个量。 2.12-1=11(个) 岩÷11=宏年米) 【解析】12根电线杆之间共有(12-1)个 9