第5章 一元一次方程 培优测试卷 2026—2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 人教版七年级数学上册一元一次方程单元培优卷，覆盖概念、解法及行程、工程等应用，分层设计培养运算能力与模型意识，适配单元复习巩固与思维提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|方程解、概念、等式性质、日历问题|结合生活情境（日历日期），考查抽象能力| |填空题|6题/18分|解的应用、工程问题、数字问题、航行问题|设置逆向问题（已知解求参数），强化推理意识| |解答题|6题/52分|解方程、配套问题、租车方案、含参方程、环形跑道问题|含参方程讨论解的情况，培养逻辑思维；租车方案问题渗透模型思想，体现应用意识|

第章 一元一次方程 培优测试卷 —学年人教版七年级数学上册 （范围：第章 一元一次方程　　时长：分钟　　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列方程中，解为 的是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．下列说法正确的是（　　） ．若 ，则 　　　　　　．若 ，则 ．若 ，则 　　　　　　．若 ，则 ．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．方程 的解为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．若方程 与关于 的方程 的解相同，则 （　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．在某个月的日历上，竖列相邻的三个日期之和为 ，则中间一个日期是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ． 两地相距 ，甲车从 地、乙车从 地同时出发，相向而行，甲车的速度为 km/h，乙车的速度为 km/h，则经过（　　）小时两车相遇． ．　　　　．　　　　．　　　　． ．某商品的进价为 元，标价为 元，商店打折销售，若要使利润率恰为 ，则该商品应按标价的（　　）折销售． ．　　　　．　　　　．　　　　． ．若关于 的方程 是一元一次方程，则 的值为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．甲、乙两人在周长为 的环形跑道上，从同一地点同时同向出发，甲的速度为 m/s，乙的速度为 m/s，则甲第一次追上乙需（　　）． ．　　　　．　　　　．　　　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．已知 是方程 的解，则 ． ．若代数式 与 的值相等，则 ． ．一项工作，甲单独做需 天完成，乙单独做需 天完成，则两人合作完成这项工作需天． ．一个两位数，个位数字比十位数字大 ，且个位数字与十位数字之和为 ，则这个两位数为． ．一艘船在两个码头之间航行，顺流航行需 ，逆流航行需 ，已知水流速度为 km/h，则船在静水中的速度为km/h． ．已知关于 的方程 的解比方程 的解大 ，则 ． 三、解答题（本大题共小题，共分） ．（分）解下列方程： ； ． ．（分）某车间有 名工人生产螺钉和螺母，每人每天可以生产螺钉 个或螺母 个，若 个螺钉需要配 个螺母，问应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的螺钉和螺母恰好配套？ ．（分） 两地相距 ，甲车从 地、乙车从 地同时出发，相向而行，甲车的速度为 km/h，乙车的速度为 km/h，两车在途中 处相遇． 求两车出发后经过多少小时相遇； 相遇后两车继续按原速行驶，甲车再经过多少小时到达 地？ ．（分）学校组织 名师生租车外出，租车信息如下表： 车型 每辆载客量（人） 每辆租金（元） 甲种客车 乙种客车 若只租甲种客车，需要多少辆？费用是多少？若只租乙种客车，需要多少辆？费用是多少？ 若甲、乙两种客车都租，且所有车辆恰好坐满（不留空位，也不超员），共有哪种租车方案？ 在的所有方案中，哪种方案费用最低？最低费用是多少？ ．（分）已知关于 的方程 ． 当 时，求方程的解； 当 为何值时，方程无解？请说明理由； 当 为何值时，方程的解为负数？（提示：正数除以正数得正数，正数除以负数得负数） ．（分）甲、乙两人在周长为 的环形跑道上，同时从同一地点 出发，甲的速度为 m/s，乙的速度为 m/s． 若两人背向而行，经过多少秒两人首次相遇？ 若两人同向而行，经过多少秒甲首次追上乙？ 若两人同向而行，经过多少秒两人第一次相距 ？又经过多少秒两人第二次相距 ？ 第章 一元一次方程 培优测试卷 —学年人教版七年级数学上册（参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ．　【分析】把 代入各方程逐个检验（或解出各方程的解）． 【详解】： 的解为 ；： 的解为 ；： 的解为 ；： 的解为 ．故选 ． ．　【分析】等式性质：两边同加减同一个数（式）结果仍是等式；两边同乘同一个数结果仍是等式；两边同除以同一个不为 的数结果仍是等式． 【详解】：当 时，由 不能得到 （如 ，但 ），错误；：未说明 ，当 时式子无意义，错误；：如 ，但 ，错误；：等式两边同时减去 ，结果仍是等式，正确．故选 ． ．　【分析】一元一次方程：只含一个未知数，且未知数的次数都是 的整式方程． 【详解】 中未知数次数为 ； 中含两个未知数； 化简为 ，是一元一次方程； 中未知数在分母上，是分式方程．故选 ． ．　【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 的步骤解方程． 【详解】去分母（两边同乘 ）：．去括号：．合并同类项：．移项、合并：．系数化为 ：．故选 ． ．　【分析】先解出第一个方程的解，再代入第二个方程求 ． 【详解】由 ，得 ．把 代入 ，得 ，解得 ．故选 ． ．　【分析】日历中竖列相邻两个日期相差 ． 【详解】设中间一个日期为 ，则三个日期为 ，由题意得 ，即 ，此时三个日期为 ，均合法．故选 ． ．　【分析】相遇问题：两车路程之和等于 两地的距离． 【详解】设经过 小时两车相遇，则 ．即经过 小时两车相遇．故选 ． ．　【分析】利润率利润/进价，售价进价利润率，折扣售价/标价． 【详解】设按标价的 折销售（即售价为标价的 ）．利润率为 时，售价（元）．由 ，得 ．即按标价的 折销售．故选 ． ．　【分析】一元一次方程要求未知数次数为 ，且一次项系数不为 ． 【详解】由 ，得 ；又 ，即 ．此时方程为 ，是一元一次方程．故选 ． ．　【分析】同向而行首次追上，即甲比乙恰好多跑一圈（ ），属追及问题． 【详解】设经过 甲第一次追上乙，则 ．即经过 甲第一次追上乙．故选 ． 二、填空题（每小题分，共分） ．　【分析】把 代入方程，得到关于 的方程． 【详解】把 代入 ，得 ，解得 ． ．　【分析】由"值相等"列一元一次方程． 【详解】由题意得 ，解得 ． ．　【分析】工程问题：把总工作量看作 ，甲、乙的效率分别为 ． 【详解】设两人合作需 天，则 ，即 ，解得 ． ．　【分析】设十位数字为 ，用含 的式子表示个位数字，再由数字和列方程． 【详解】设十位数字为 ，则个位数字为 ．由数字之和为 ，得 ，解得 ，个位数字为 ． 这个两位数为 ． ．　【分析】顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度；两个码头之间路程不变． 【详解】设船在静水中的速度为 km/h，则顺流速度为 km/h，逆流速度为 km/h．由路程相等，得 ，解得 ． ．　【分析】先用含 的式子表示两个方程的解，再由"解大 "列方程． 【详解】方程 的解为 ；方程 的解为 ．由题意得 ．去分母（两边同乘 ）：． 三、解答题（共分） ．； 【分析】移项、合并同类项、系数化为 ；先去分母，再去括号、移项、合并同类项． 【详解】移项：，合并同类项：，系数化为 ：． 去分母（两边同乘 ）：；去括号：； 合并同类项：；移项：；系数化为 ：． 【评分标准】移项、合并 分，结果 分；去分母 分，去括号 分，结果 分（共 分）． ． 名工人生产螺钉， 名工人生产螺母 【分析】配套问题：每天生产的螺母总数应等于螺钉总数的 倍． 【详解】设安排 名工人生产螺钉，则 名工人生产螺母． 由题意得 ，即 ，解得 ． ．经检验，符合题意． 答：应安排 名工人生产螺钉， 名工人生产螺母，才能使每天生产的螺钉和螺母恰好配套（每天生产螺钉 个、螺母 个，恰好 配 ）． 【评分标准】设未知数 分；列方程（螺母螺钉的 倍） 分；解方程 分；作答 分（共 分）． ． 小时； 小时 【分析】相遇问题：甲、乙路程之和等于 ；先求相遇点 到 地的距离，再用"时间路程/速度"． 【详解】设经过 小时两车相遇，则 ． 答：两车出发后经过 小时相遇． 相遇时，甲车行驶了 （），即 距 地 距 地 （）． 甲车再到达 地所需时间（）． 答：甲车再经过 小时到达 地． 【评分标准】列方程 分，求解及作答 分；求 到 的距离 分，求时间 分（共 分）． ．甲 辆 元，乙 辆 元；甲 辆、乙 辆；甲 辆乙 辆最省， 元 【分析】车辆数人数/每辆载客量（不足 辆按 辆算）；"恰好坐满"即 甲辆数乙辆数；比较各方案费用． 【详解】只租甲种客车： 的结果不是整数，需 辆（ 座），费用 （元）； 只租乙种客车：（辆），费用 （元）． 设租甲种客车 辆、乙种客车 辆（ 均为正整数），由恰好坐满得 ，两边同除以 ，得 ． ，逐一检验： 时 （不合）； 时 （符合）； 时 （不合）． 混合租车恰好坐满的方案为：甲种客车 辆、乙种客车 辆（，恰好坐满）． 混合方案费用（元）．比较：， 费用最低的方案是租甲种客车 辆、乙种客车 辆，最低费用为 元． 【评分标准】甲、乙两种情形各 分；列出方程 分，求得方案 分；比较并得出最低费用 分（共 分）． ．；； 【分析】含参方程 型：系数不为 时有唯一解 ；系数为 且右边不为 时无解；解的符号由"被除数与除数同号得正、异号得负"判断． 【详解】当 时，方程为 ，即 ． 当 时，方程为 ，即 ． 无论 取何值， 都等于 ，不可能等于 方程无解． 当 时，方程无解． 当 时，方程的解为 ． 是正数，要使商 为负数，除数 必须为负数， ，即 ． 当 时，方程的解为负数． 【评分标准】求出 得 分；指出 时为 得 分，说明无解 分；写出解 得 分，由符号法则得 得 分，结论 得 分（共 分）． ． ； ；第一次 ，第二次 【分析】背向首次相遇：两人路程之和恰为跑道周长 ；同向首次追上：路程之差恰为 ；同向相距 ：甲比乙多跑 （第一次），或多跑 （第二次，即还差 就多跑一圈时）． 【详解】设经过 两人首次相遇，则 ． 答：经过 两人首次相遇． 设经过 甲首次追上乙，则 ． 答：经过 甲首次追上乙． 同向出发，甲每秒比乙多跑 （）． 第一次相距 时，甲比乙恰好多跑 （不足一圈）：设经过 ，则 ； 此后甲继续拉开距离．当甲比乙多跑 时（此时甲再跑 就多跑一圈，从另一侧看两人又相距 ），设经过 ，则 （，甲尚未追上乙，成立）． 答：经过 两人第一次相距 ；又经过 （即出发后 ）两人第二次相距 ． 【评分标准】列方程 分，求解作答 分；列方程 分，求解作答 分；第一次 分，第二次（含多跑 的分析） 分（共 分）． 学科网（北京）股份有限公司 $