第3章 代数式 培优测试卷 2026—2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 人教版七年级数学上册代数式单元培优测试卷，分层梯度清晰，从概念理解到规律探究递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念与基本运算|直接概念题（如乘法分配律判断、代数式书写规范）| |中档|简单应用与初步规律|情境应用题（如商品价格变化、图形面积计算）| |拔高|综合应用与复杂规律|开放探究题（如点阵、火柴棒规律探究及模型构建）|

第章 代数式 培优测试卷 —学年人教版七年级数学上册 （范围：第章 代数式　　时长：分钟　　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列式子中，能正确表示"乘法分配律"的是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．" 的 倍与 的差"用代数式表示为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．下列代数式中，书写规范的是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．已知 ，则代数式 的值为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．某商品原价为 元，先涨价 ，再降价 ，则现在该商品的价格为（　　） ． 元　　　　． 元　　　　． 元　　　　． 元 ．如图，长方形的长为 ，宽为 ，在它的右下角裁去一个边长为 的小正方形，则剩余部分的面积为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．若 ，则 的值为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．观察一列数：，…，按此规律，第 个数是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．观察一列数：，…，按此规律，第 个数是（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．如图，用圆点按规律摆正方形点阵：第 个图每边 个点，第 个图每边 个点，第 个图每边 个点，…，按此规律，第 个图中圆点的个数为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．一个两位数，十位上的数字为 ，个位上的数字为 ，则这个两位数可表示为． ．当 时，代数式 的值为． ．某校七年级共有学生 人，其中女生人数占 ，则男生人数为（用含 的代数式表示）． ．观察一列数：，…，按此规律，第 个数是． ．观察一列数：，…（从第 个数起，每一个数都是前一个数的 倍），按此规律，若第 个数为 ，则 ． ．观察等式：，…，按此规律，计算：…． 三、解答题（本大题共小题，共分） ．（分）如图，一个长方形的长为 ，宽为 ． 用含 的代数式表示这个长方形的周长和面积； 当 时，求这个长方形的周长和面积． ．（分）下表给出了代数式 与 在 取不同数值时对应的值． 完成上表； 观察 一列的取值，你发现了什么规律？ 当 取表中何值时， 与 的值相差最大？并直接写出这个最大差值． ．（分）某商店销售一种商品，原价为 元． 涨价 后，该商品的价格为多少元？（用含 的代数式表示） 若先涨价 ，再降价 ，那么该商品的最终价格为多少元？（用含 的代数式表示） 当 时，求中该商品的最终价格，并直接写出它比原价多或少多少元． ．（分）观察下列等式： ，　，　，… 按此规律，写出第 个等式； 用含 的代数式表示第 个等式（ 为正整数）； 利用上述规律，直接写出 的值． ．（分）如图，用火柴棒按规律摆放正方形：第 个图用 根火柴棒摆成 个正方形，第 个图用 根火柴棒摆成 个正方形，第 个图用 根火柴棒摆成 个正方形，…，按此规律摆放． 完成下表： 图形序号 火柴棒根数 用含 的代数式表示摆成第 个图形（ 个正方形）所需火柴棒的根数，并说明理由； 若有 根火柴棒，能否恰好按此规律摆成第 个图形？若能，求出 的值；若不能，请说明理由；若有 根火柴棒呢？ ．（分）如图，用圆点按规律摆三角形点阵：第 个图有 个点，第 个图有 个点，第 个图有 个点，…，按此规律摆放． 完成下表： 图形序号 圆点的个数 用含 的代数式表示第 个图形中圆点的个数，并说明理由； 求第 个图形中圆点的个数； 若某个图形中恰好有 个点，请判断它是第几个图形，并说明理由． 第章 代数式 培优测试卷 —学年人教版七年级数学上册（参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ．　【分析】逐一辨别各运算律的名称． 【详解】 是加法交换律， 是乘法交换律， 是乘法分配律， 是乘法结合律．故选 ． ．　【分析】先表示" 的 倍"得 ，再作差． 【详解】" 的 倍与 的差"即 ．故选 ． ．　【分析】按代数式书写规范判断：数字与字母相乘要省略乘号且数字在字母前，系数 要省略，除号要写成分数形式． 【详解】 应写成 ； 应写成 ； 应写成 ； 书写规范．故选 ． ．　【分析】把 看成一个整体，代入求值． 【详解】 ．故选 ． ．　【分析】涨价 后的价格为原价的 ，再降价 后为涨价后价格的 ． 【详解】涨价 后的价格为 （元）；再降价 ，价格为 （元）．故选 ． ．　【分析】剩余面积长方形面积裁去的正方形面积． 【详解】长方形面积为 ，裁去的正方形面积为 剩余部分面积为 ．故选 ． ．　【分析】绝对值是非负数，几个非负数之和为 ，则每个数都为 ． 【详解】 ，且 ，即 ．故选 ． ．　【分析】从相邻两数的差找规律：，…，依次增加 ． 【详解】，…，第 个数为 第 个数为 ．故选 ． ．　【分析】分数的分子、分母分别与序号对应：第 个数的分子为 ，分母为 ． 【详解】第 个数为 第 个数为 ．故选 ． ．　【分析】第 个图每边有 个点，是 的方阵，共 个点． 【详解】第 个图每边 个点，共 个点；第 个图每边 个点，共 个点；…；第 个图每边 个点，共 个点． 第 个图共有 个点．故选 ． 二、填空题（每小题分，共分） ．　【分析】两位数十位数字个位数字． 【详解】这个两位数为 ． ．　【分析】把 代入代数式，按有理数运算法则计算． 【详解】当 时，． ．（即 ）　【分析】先求男生占总人数的百分比，再乘总人数． 【详解】男生占总人数的 男生人数为 ，即 ． ．　【分析】，…，第 个数为 ． 【详解】第 个数为 第 个数为 ． ．　【分析】第 个数为 ，把 写成 的幂的形式． 【详解】第 个数为 ． ． ．　【分析】从 开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方． 【详解】，…，前 个奇数之和为 ． 是第 个奇数， …． 三、解答题（共分） ．周长为 ，面积为 ；周长为 ，面积为 【分析】长方形的周长长宽，面积长宽，代入 列式；再代入数值求值． 【详解】周长为 ，面积为 ． 当 时，周长 （），面积 （）． 【评分标准】周长、面积的代数式各 分（共 分）；周长、面积各 分（共 分）．（本题共 分） ．见表格； 的值先减小到 再增大，当 取互为相反数的值时 的值相等； 时相差最大，最大差值为 【分析】逐个代入求值填表；从对称性与差值观察规律；比较各差值的大小． 【详解】表中 一行从左到右依次为 ； 一行从左到右依次为 ． 的值从左到右先减小到 ，再逐渐增大； 取互为相反数的两个值（如 与 与 ）时， 的值相等． 各差值： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ； 时 ． 当 时， 与 的值相差最大，最大差值为 ． 【评分标准】每空 分（共 分）；写出变化趋势或对称性任一条得 分； 得 分，最大差值 得 分（共 分）．（本题共 分） ． 元； 元； 元，比原价少 元 【分析】涨价 后的价格原价；降价 是在涨价后的价格基础上降；最后代入 求值并与原价比较． 【详解】涨价 后的价格为 （元）． 先涨价 ，价格为 元；再降价 ，最终价格为 （元）． 当 时，最终价格为 （元），比原价 元少 （元）． 【评分标准】列式与结果共 分；列式 分，结果 得 分（共 分）； 元得 分，比较结论得 分（共 分）．（本题共 分） ．；； 【分析】观察每个等式的结构：一个数与它相邻的下一个数的积，加上下一个数，等于下一个数的平方． 【详解】第 个等式为 ． 第 个等式为 ． 验证： 时 时 时 ，均成立． 由，当 时，． 【评分标准】 分；等式写对 分，验证或说明 分（共 分）； 分．（本题共 分） ．； 根；不能，理由见详解；能， 【分析】分别数横放与竖放的火柴棒：横放的上下各 根共 根，竖放的共 根；由 可知，火柴棒总数减 后应是 的倍数，用试值验证． 【详解】第 个图形需要 根，第 个图形需要 根． 摆成第 个图形（ 个正方形并排）时，横放的火柴棒上下各 根，共 根；竖放的火柴棒从左到右共 根． 所以所需火柴棒为 （根）． 验证： 时 时 时 时 ，与图形一致． 由，第 个图形需要 根火柴棒，即火柴棒总数减 后是 的倍数． …… 不是 的倍数， 所以不论摆到第几个图形，所需火柴棒数都不等于 ，即 根火柴棒不能恰好按此规律摆成第 个图形． ，是 的倍数，所以猜想 ． 验证：当 时，，恰好用完 根火柴棒；当 时需 根，当 时需 根，均不等于 ． 所以 根火柴棒能恰好按此规律摆成第 个图形． 【评分标准】每空 分（共 分）；数出 根与 根各 分，写出 并验证共 分（共 分）；判断正确 分，说理 分； 得 分，验证 分（共 分）．（本题共 分） ．； 个； 个；第 个图形 【分析】第 个图自上而下第 行有 个点，总点数为 …，用"倒序相加"求和；因为点数随图形序号增大而增大，用试值法确定 ． 【详解】第 个图形有 个点，第 个图形有 个点． 第 个图形自上而下第 行有 个点，第 行有 个点，…，第 行有 个点，总点数为 …． 把两组完全相同的点阵上下颠倒叠放：每一层都是 个点，共 层，两组点数之和为 ． 所以总点数的一半即为所求，第 个图形共有 个点． 验证： 时 时 时 时 ，与图形一致． 当 时，点数为 ，即第 个图形有 个点． 因为图形的点数随序号 的增大而增大，用试值法： 当 时，，恰好等于 ； 当 时，；当 时，． 所以恰好有 个点的图形是第 个图形． 【评分标准】每空 分（共 分）；写出 … 得 分，得出 并验证共 分（共 分）； 分；答对第 个得 分，试值验证得 分（共 分）．（本题共 分） 学科网（北京）股份有限公司 $