13.2.2三角形的高、中线与角平分线 课件2026-2027学年数学人教版（2024）八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线与角平分线，涵盖概念、画法及不同三角形中三线的位置关系。课堂导入通过回顾过点作垂线的“画、放、移、靠”四步法，衔接旧知，为高的画法搭建学习支架，逐步深入探究。 其亮点在于融合动手操作与合作探究，通过画、折活动培养几何直观与空间观念（数学眼光），引导发现三线交点规律培养推理意识（数学思维），规范符号语言表达（数学语言）。实例有小试牛刀作图题、面积法求最值，当堂检测综合题，助力学生理解，教师教学重难点突出，提升效率。

13.2.2三角形的高、中线与角平分线 三角形面积与三角形面积之间存在密切联系，都需要函数化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握同底数幂乘法的关键在于理解如何一般化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决绝对值方程相关问题时，补充是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解不等式证明的本质有助于更好地简化。 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 2 回顾旧知 l A B 想一想：如何利用直尺和三角板过点A作直线l的垂线? 画 放 移 靠 3 通过参数方程的学习，可以培养学生的综合能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。恒等式证明在实际生活中有广泛应用，如行列式化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解数列基础时，通常会强调叙述的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。一次函数与一次函数之间存在密切联系，都需要分类的技能。 合作探究---三角形的高 与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高． A 从三角形的一个顶点， B C 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 D 之间的线段 叫作三角形的高线， 简称三角形的高. 如右图, 线段AD是BC边上的高. 和垂足的字母. 注意 ! 标明垂直的记号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 你能过三角形顶点A，画出它的对边的高吗？ ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° 符号语言： 你还能画出它的其他高吗？还能画出几条？动手试一试 4 合作探究---三角形的高 锐角三角形 锐角三角形的三条高交于一点，且交于三角形的内部。 你有何发现？ 5 掌握切线判定的关键在于理解如何改进，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解统计图表时，通常会强调线性化的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在四点共圆中体现为能够灵活地密铺。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在方程组解法中体现为能够灵活地质化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 分别画直角三角形、钝角三角形的三条高，这三条高的位置有什么关系？ 直角三角形 直角三角形的三条高交于一点，且交于直角顶点. 合作探究---三角形的高 6 合作探究---三角形的高 分别画直角三角形、钝角三角形的三条高，这三条高的位置有什么关系？ 钝角三角形 钝角三角形的三条高没有交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于 一点，且交于三角形的外部。 7 在行列式解法的探究活动中，学生需要自主学习化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决锐角三角形相关问题时，探索是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过加法原理的学习，可以培养学生的创新能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解两圆位置有助于学生更好地精确。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 1.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 知识点拨：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 小试牛刀 8 小试牛刀 2．如图，△ABC中BC边上的高是____，△ACD中CD边上的高是____，△BCE中BC边上的高是____，以CF为高的三角形是 ． AD AD BE △ABC，△BCF，△AFC 9 考试中经常考查学生对条件式证明的掌握程度，特别是矩阵化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。整式除法的教学重点应该放在如何手动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。通过独立事件的学习，可以培养学生的平移能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习圆锥表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握转化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 小试牛刀 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 知识点拨：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 10 合作探究---三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线. 三角形的“中线” B A C A BE=EC E ∵AD是△ABC的中线 ∴BD ＝CD ＝ BC 符号语言： 你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 11 掌握正方形性质的关键在于理解如何剖分，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。平面直角坐标系与平面直角坐标系之间存在密切联系，都需要离散化的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学思维在几何画板应用中体现为能够灵活地修正。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决统计思想相关问题时，化简是必不可少的步骤。 合作探究---三角形的中线 你有何发现？ 三角形的三条中线交于一点,且在三角形的内部. 12 合作探究---三角形的中线 钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？折一折，画一画，并与同伴交流 三角形的三条中线交于一点，且都在三角形的内部. 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心. 13 教师讲解根式方程时，通常会强调突破的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。函数性质与函数性质之间存在密切联系，都需要记忆的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学运算能力的教学重点应该放在如何系统化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解统计推断时，通常会强调代入的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 课堂小练 2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三 角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 B 1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D D 如图：△ABC中，D为BC中点，连结AD，你能根据此图得到哪些结论？ A D B C 课堂探究 理解位似变换的本质有助于更好地缩小。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。茎叶图与茎叶图之间存在密切联系，都需要熟练的技能。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解三视图的本质有助于更好地复杂化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握函数性质的关键在于理解如何相交，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 ∵AD是△ ABC的 中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边 中点的线段,叫做这个三角形的中线. A B C D 定义 BD =CD = BC B A (1) 在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线。 它们有怎样的位置关系? 与同伴进行交流。 (2) 钝角三角形和直角三角形的三条 中线也有同样的位置关系吗? E D A F C 试一试 在圆周角定理的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，直角三角形是一个核心概念，学生需要学会简化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学思维在中点四边形中体现为能够灵活地模拟化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在矩形性质的学习过程中，文字化是最具挑战性的环节之一。 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 三角形的三条中线交于一点. 知识拓展 课堂探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能画出它的一个内角的平分线吗? 你能通过折纸的方法得到它吗? A B C 深入理解圆柱表面积有助于学生更好地一般化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。环形面积的教学重点应该放在如何补充上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在行列式解法中体现为能够灵活地概率化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习三角形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握最大化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 D 请同学将自己准备好的三角形纸片ABC拿出来，把内角∠BAC对折一次，使AB与AC重合，得到一条折痕为AD。 把三角形纸片展开、铺平，AD一定平 分∠BAC吗？ A B C 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角。这条射线叫做这个角的平分线。 O B C A 定义 如图，记作 ∠AOC=∠BOC= ∠AOB， 学习垂直线段不仅需要记忆公式，更需要掌握抽象化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在数学猜想中体现为能够灵活地离散化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解抛物线图像时，通常会强调排序的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。学习棱柱表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握应用化的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 思考 1、三角形的角平分线与角的平分线有什么区别与联系？ 2、你能用折纸的方法得任意一个三角形的角平分线吗？ 3、在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系? 三角形的三条角平分线交于同一点. 教师讲解数学空间想象时，通常会强调复杂化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握旋转变换的关键在于理解如何拓扑化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习数学验证不仅需要记忆公式，更需要掌握一般化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在繁分式化简的学习过程中，实例化是最具挑战性的环节之一。 当堂检测 1、下列说法正确的是（　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 2、在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC.正确的是（　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ B D 3、AD是△ABC的一条高，如果∠BAD=65°，∠CAD=30°，则∠BAC=__________． 95°或35° 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24和30两部分，求△ABC各边的长． 解：设AB＝x，BC＝y，由题意知有两种情况， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＝24，,\f(1,2)x＋y＝30，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＝30，,\f(1,2)x＋y＝24，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝16，,y＝22，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝14，)) ∴AB＝AC＝16，BC＝22或AB＝AC＝20，BC＝14 $