3.2探索三角形相似的条件第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理2（两边成比例且夹角相等），通过池塘测距情境导入，回顾“两角分别相等”判定定理，再经画图操作、比较角的大小等探究活动引出新定理，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以动手操作（画指定条件三角形并比较角）和类比全等SAS（强调“成比例”与“夹角”）引导学生用数学思维推理，结合典例（如证明△ADE∽△ABC）和分层练习强化应用，课堂小结清晰梳理定理及要点，帮助学生发展几何直观与推理意识，教师可直接用于高效教学。

第三章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 第2课时 学 习 目 标 1.探索并掌握相似三角形的判定定理2；（重点） 2.灵活运用相似三角形的判定定理2解决问题.（难点） 知识回顾 相似三角形的判定定理1： 的两个三角形相似. 几何语言： 如图所示，在△ABC和△A'B'C'中， ∵∠A= ∠A' ,∠B= ∠B', ∴△ABC∽△A'B'C'. A B C A′ B′ C′ 两角分别相等 情境引入 如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，使CD=AC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE.如果测得DE=20 m，那么AB=2×20=40(m).你知道这是为什么吗？ 要想解决这个问题，就需要继续研究三角形相似的条件. 新知探究 探究一：相似三角形的判定定理2 问题：两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴进行交流. 小明认为，两边成比例的两个三角形不一定相似.如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？ 我们先来考虑增加一角相等的情况. 相等的角可以是两边的夹角.也可以是其中一组边的对角. 增加的条件可以是“一个角相等”，也可以是“另两边成比例”. 新知探究 (1)画△ABC与△A'B'C'，使∠A＝∠A'＝60°，. 设法比较∠B与∠B'（或∠C与∠C'）的大小.△ABC和△A'B'C'相似吗？ A B C 60° A' B' C' 60° 通过测量，可以得到∠B=∠B'（或∠C=∠C'）. △ABC和△A'B'C'相似. 新知探究 (2)画△ABC与△A′B′C′，使∠A=∠A′，都等于给定的值k。设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′）。△ABC和△A′B′C′相似吗？ A B C A' B' C' ∠B=∠B'（或∠C=∠C'）. (3)改变k值的大小，再试一试，并与同伴进行交流. 改变k值的大小，上述结论仍然成立. △ABC和△A′B′C′相似. 新知探究 相似三角形的判定定理2： 知识归纳 A B C A' B' C' 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 几何语言： 如图所示，在△ABC和△A'B'C'中， ∵,∠A= ∠A' , ∴△ABC∽△A'B'C'. 新知探究 1.已知在△ABC和△A′B′C′中，AB=4，AC =6，A'B'=2，A'C'=3，下列条件能判定△ABC∽△A′B′C′的是( ) A.∠B=∠B′ B.∠A=∠A′ C.∠C=∠C′ D.∠A=∠B′ B 新知探究 两边成比例，且其中一边所对的角相等的两个三角形不一定相似. 理由:因为两边和其中一组边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“边边角”不能作为判定两个三角形全等的依据。 如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？你能用全等与相似的关系说明理由吗？与同伴进行交流. 如图所示,在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等(全等三角形是特殊的相似三角形)。 例 如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长. A C B E D 新知探究 探究二：相似三角形判定定理2的应用 解：∵AE=1.5，AC=2， ∴, ∵ , ∴ 又∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∴, ∴BC=3. ∴DE=. 新知探究 相似三角形判定定理2的应用 方法归纳 判定定理2可类比判定三角形全等的方法“SAS”理解，不同的是在相似的判定方法中“两边”要求的是“成比例”而不是“相等”. 注意：(1)当条件中有两边成比例时，如果要用相似三角形的判定定理2，就要找出两边的夹角，并证明这两个角相等. (2)相似三角形没有类似全等三角形判定方法的简写形式. 新知探究 2.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ ） A.∠A=∠D=40°, ∠B=∠E=60° B.∠A=∠D=60°, ∠B= 40°, ∠E=80° C.∠A=∠D=50°, AB=3，AC=5，DE=6，DF=10 D.∠B=∠E=70°, AB:DE=AC:DF D 如图,∠DAB =∠CAE，且AB · AD = AE·AC，求证△ABC ∽△AED. 例1 A B C D E 典例分析 证明：∵ AB · AD = AE·AC， ∴. 又∵ ∠DAB =∠CAE， ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 . 求证：∠ACB=90°． 例2 A B C D 典例分析 证明： ∵ CD是边AB上的高, ∴ ∠ADC= ∠CDB=90°. ∵ ， ∴△ABC∽△DEF. ∴ ∠ACD= ∠B. ∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°. 巩固练习 1.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，需要再添加一个条件，下列各项中不正确的是(      ) A.∠ABD＝∠C B.∠ADB＝∠ABC C. D. C 2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC的值为(      ) A．1∶4             B．1∶3 C．2∶3           D．1∶2 D 3.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 （ ） A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD·BC D. AB2=BD·BC A B C D 巩固练习 D 4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(　　) A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C. D. D 5. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 巩固练习 6.如图，若 =________，则△ABC∽△AEF； 若∠E＝______，则△ABC∽△AEF. ∠B 7. 在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，BC＝15，A′C′＝8，则当B′C′＝         时，△ABC∽△A′B′C′. 10 相似 8.如图，已知AD·AC＝AB·AE.求证：△ADE∽△ABC. 巩固练习 ∵ AD·AC＝AE·AB， ∴ . 在△ADE∽△ABC中， ∵ ，∠A＝∠A， ∴ △ADE∽△ABC. 巩固练习 9.已知在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠ A=∠A′= 90°，AB=6cm，AC=4.8cm，A′B′=5cm，A′C′=3cm. 求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：∵ ∠A=∠A′= 90°， ∴△ABC∽△ A′B′C′. 10.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证：△ ADE∽ △ ABC. A B D C E O 巩固练习 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ABD+∠A=90°， ∠ACE+∠A= 90°. ∴ ∠ABD= ∠ACE. 又∵ ∠A= ∠A， ∴△ ABD ∽ △ ACE. ∴. ∵ ∠A= ∠A， ∴ △ ADE ∽ △ ABC. 11.已知：如图，P为△ABC的中线AD上的一点，且BD2＝PD·AD. 求证：△ADC∽△CDP. 巩固练习 证明：∵ AD为△ABC的中线， ∴ BD＝DC. 又BD2＝PD·AD， ∴ . ∴ . ∵ ∠ADC＝∠CDP， ∴△ADC∽△CDP. 课堂小结 探索三角形相似的条件-第2课时 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定定理2的应用 判定定理2可类比判定三角形全等的方法“SAS”理解，不同的是在相似的判定方法中“两边”要求的是“成比例”而不是“相等”. 作业布置 1.必做题：习题3.2第3，4，9题。 2.探究性作业：习题3.2第14题。 感谢聆听!