3.2探索三角形相似的条件第2课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，通过问题链导入，先质疑“两边成比例是否一定相似”，举例等腰三角形说明不一定，再增加条件聚焦“夹角相等”，搭建与全等判定的联系，形成学习支架。 其亮点在于通过操作交流（画图比较角的大小）培养几何直观，例题与跟踪训练结合强化推理能力，符号语言规范表达提升数学语言精确性。学生通过探究理解定理本质，教师可借助分层设计提高教学效率。

第三章　3.2　探索三角形相似的条件 第2课时　利用两边及其夹角 判定三角形相似 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.理解定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，能熟练运用该定理判定三角形相似.(重点、难点) 2.在解决问题的过程中，提高逻辑推理能力，增强符号感.(难点) 探究与应用 (1)两个三角形有两边成比例,它们一定相似吗?与同伴进行交流. 探究一 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 问题导入 解:(1)有两边成比例的两个三角形不一定相似.如两个等腰三角形就不一定相似. (2)如果再增加一个条件,你能说出有哪几种可能的情况吗? 解：(2)①成比例的两边的夹角相等;②其中一边的对角相等;③三边成比例. 相等 知识梳理 定理 符号表示 两边 且夹角 的两个三角形相似   如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，=，那么△ABC∽△A'B'C' 成比例 相等 (1)画△ABC与△A'B'C',使∠A=∠A',和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B'(或∠C与∠C')的大小.△ABC和△A'B'C'相似吗? 操作交流 解:(1)画图略.∠B=∠B'(或∠C=∠C'),△ABC∽△A'B'C'. (2)改变k值的大小,(1)中得到的结论会改变吗? 解:(2)改变k值的大小,(1)中得到的结论不会改变. 例　(课本P68例2)如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长. 解　∵AE=1.5，AC=2， ∴=. ∵=， ∴=. 又∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 例　(课本P68例2)如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长. 解　∴==. ∵BC=3， ∴DE=BC=×3=. 相似三角形的判定定理2:两边　　　　且　　　　相等的两个三角形相似.  符号语言:如图3-2-8.∵=,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'. 概括新知 成比例 图3-2-8 夹角 在△ABC和△A'B'C'中,∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm. ∠A'=120°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm.试判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由. 应用 　利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 例 1 解:△ABC∽△A'B'C'. 理由如下:∵=,==, ∴=.又∵∠A=∠A'=120°,∴△ABC∽△A'B'C'. 反思感悟 在利用两边成比例且其夹角相等判定三角形相似时，一定要注意“夹角”这个条件，为避免出现类似错误，可从两个方面入手，一是看“对应相等的角”是否为“对应成比例的两边的夹角”；二是看“对应成比例的两边的夹角”是否为“对应相等的角”. (教材典题)如图3-2-9,D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且=,求DE的长. 例 2 解:∵AE=1.5,AC=2, ∴=. ∵=,∴=. 图3-2-9 又∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个 三角形相似). ∴==. ∵BC=3,∴DE=BC=×3=. 图3-2-9 跟踪训练　(1)如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是 A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.AC2=BC·CD D.= 解析　在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有①∠DAC=∠ABC或CA是∠BCD的平分线；②=. √ (2)如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，点E在AB上，且=，连接BD，DE，求证：△AED∽△ADB. 证明　∵D是AC的中点， ∴=，∵=，AB=AC，∴=，∵∠EAD=∠DAB， ∴△AED∽△ADB. 利用“两边成比例且夹角相等”证明两个三角形相似的策略 首先找出两个三角形中相等的那个角,再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边,并按大小排列找出对应边,最后看这两组对应边是否成比例,若成比例,则两个三角形相似,否则不相似. 明 方法 如果△ABC与△A'B'C'两边成比例,且其中一边所对的角相等,那么这两个三角形一定相似吗?你能利用全等与相似的关系说明理由吗? 探究二 两边成比例且其中一边所对的角相等的两个三角形是否 相似 思考交流 解：略 课堂小结 【延伸拓展】 分类讨论问题 如图3-2-11,AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB=6,CD=4,BD=14,则在DB上是否存在点P,使得以C,D,P为顶点的三角形与以P,B,A为顶点的三角形相似?如果存在,求出DP的长;如果不存在,请说明理由. 解:存在. 图3-2-11 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是 A.OA·OC=OD·OB B.∠B=∠C C.∠A=∠D D.= 随堂演练 √ 随堂演练 解析　A项，由OA·OC=OD·OB，可得=，又因为∠AOB=∠DOC，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似； B项，∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，根据两角分别相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似； C项，∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，根据两角分别相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似； D项，不能判定. 2.在△ABC中,AB=3,BC=4,在△DEF中,DE=6,EF=8,若要用两边及其夹角的关系证明△ABC与△DEF相似,还需添加一个条件,这个条件是　　　　　　　　.  3.如图，在△ABC纸片中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC纸片沿图中的直线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 随堂演练 A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④ √ 随堂演练 解析　①阴影三角形与原三角形有两个角分别相等，故两个三角形相似； ②阴影三角形与原三角形有两个角分别相等，故两个三角形相似； ③由于BC的长度没有给出，所以两个三角形的对应边不一定成比例，故无法判定两个三角形相似； ④两个三角形对应边成比例(4-1)∶6=(6-4)∶4，且夹角相等，故两个三角形相似. 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD=8，CD=6， 当BD=　　时，△ADC∽△CDB.此时∠ACB=　　　.  随堂演练 90° 解析　∵在△ADC与△CDB中，∠ADC=∠CDB=90°， ∴△ADC∽△CDB只需AD∶CD=CD∶BD，即8∶6=6∶BD，解得BD=， ∵△ADC∽△CDB，∴∠A=∠BCD，又∵∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°. $