14.3 角的平分线 课时作业 2026-2027学年人教版数学八年级 上册

**基本信息** 人教版数学八年级上册14.3“角的平分线”同步练，分3课时聚焦性质、判定及综合运用，通过基础认知到综合应用的分层设计，强化推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|点到直线距离、尺规作图步骤、性质与判定概念|选择填空（如性质直接应用求垂线段长），巩固核心结论记忆| |技能应用|性质与判定的简单推理证明|解答题（如证明三角形全等得垂线段相等），培养推理意识| |综合拓展|性质与判定的综合运用及面积法|综合解答题（如结合直角三角形求面积、内心到三边距离），发展应用意识|

人教版数学八年级上册 第十四章　全等三角形 14.3　角的平分线　·　课时作业（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【作业说明】本作业依据人教版数学八年级上册第十四章 14.3「角的平分线」编写，共设三个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　角平分线的尺规作图与性质； 第 2 课时　角平分线的判定； 第 3 课时　角平分线性质与判定的综合运用。 说明：本节要用到 14.2 学过的全等判定方法（特别是 HL 与 AAS），证明时请写清依据；本节不涉及等腰三角形与勾股定理以外的内容。 本节两条核心结论 角平分线的性质 角平分线的判定 14.3　角的平分线 第 1 课时　角平分线的尺规作图与性质 一、知识梳理 1. 点到直线的距离：从直线外一点向这条直线作垂线，这点与垂足之间线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是垂线段的长度，必须先作垂直。 2. 尺规作角平分线： 尺规作角平分线的三个步骤 ① 以点 O 为圆心、适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N； ② 分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C； ③ 画射线 OC，射线 OC 即为∠AOB 的平分线。 作图依据：连接 MC、NC，可证 △OMC ≌ △ONC（SSS），所以 ∠MOC = ∠NOC。 3. 角平分线的性质（本课时核心）： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 4. 符号语言： 因为 OP 平分∠AOB，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E， 所以 PD = PE（角平分线的性质）。 5. 性质的证明思路：由 ∠AOP = ∠BOP、∠ODP = ∠OEP = 90°、OP = OP（公共边），得 △ODP ≌ △OEP（AAS），故 PD = PE。 6. 使用性质的三个前提（缺一不可）： ① 有角平分线；② 有两条垂线段（即 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB）；③ 结论是这两条垂线段相等。 【易错警示】 ① 用性质时必须先有「垂直」这个条件，没有垂线段就不能直接说距离相等。 ② 「点到直线的距离」是垂线段的长度，不是点到直线上任意一点的距离。 ③ 尺规作角平分线时，第②步的半径必须大于 MN，否则两弧不相交。 ④ 作图痕迹（两条弧）要保留，不能擦掉。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1. 「点到直线的距离」是指（　　） A. 点与直线上任意一点连线的长度 B. 点与直线上一点连成的线段 C. 从这点到直线的垂线段的长度 D. 从这点到直线的垂线 2. 用尺规作角平分线，其作图的依据是（　　） A. SSS　　B. SAS　　C. ASA　　D. HL 3. 如图，OP 平分∠AOB，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E，若 PD = 4 cm，则 PE 的长为（　　） 第 3 题图 A. 2 cm　　B. 4 cm　　C. 8 cm　　D. 无法确定 4. 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DE ⊥ AB 于 E，则下列结论中一定成立的是（　　） 第 4 题图 A. DC = DE　　B. DC = DB　　C. AC = AB　　D. AE = EB （二）填空题（每小题 4 分，共 16 分） 5. 角的平分线上的点到 ____________ 的距离相等。 6. 尺规作角平分线时，第二步中两弧的半径必须大于 ________ 的长，两弧才能相交。 7. 如图，OP 平分∠AOB，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，∠AOB = 60°，则 ∠AOP = ________ °，且 PD ________ PE。 第 7 题图 8. 在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，DE ⊥ AB 于 E。若 DC = 3 cm，则点 D 到 AB 的距离是 ________ cm。 （三）解答题（共 28 分） 9.（14 分）如图，OP 平分∠AOB，PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E。 第 9 题图 (1) 求证：△ODP ≌ △OEP； (2) 求证：PD = PE； (3) 试判断 OD 与 OE 是否相等，并说明理由。 10.（14 分）如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE ⊥ AB 于点 E。已知 BC = 8 cm，DE = 3 cm。 第 10 题图 (1) 求 DC 的长； (2) 求 BD 的长； (3) 若 AB = 10 cm，求 △ABD 的面积。 14.3　角的平分线 第 2 课时　角平分线的判定 一、知识梳理 1. 角平分线的判定（本课时核心）： 角的内部到角的两边的距离相等的点，在角的平分线上。 角平分线的判定 2. 符号语言： 因为 PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E，且 PD = PE， 所以 点 P 在∠AOB 的平分线上（即 OP 平分∠AOB）。 3. 判定的证明思路：连接 OP。 在 Rt△ODP 和 Rt△OEP 中，OP = OP（公共斜边），PD = PE（已知）， 所以 Rt△ODP ≌ Rt△OEP（HL），故 ∠AOP = ∠BOP。 4. 性质与判定的对比（互为逆命题）： 已知条件 得到结论 性质 点在角平分线上 + 两条垂线段 两条垂线段相等（距离相等） 判定 点在角内部 + 两条垂线段相等 点在角平分线上 5. 三角形三条角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 【易错警示】 ① 判定的前提中「点在角的内部」不能省略，角外部也可能有到两边距离相等的点。 ② 性质与判定的条件、结论正好相反，做题时先看清「已知什么、要证什么」。 ③ 证明判定时用的是 HL（两个直角三角形，公共斜边 OP + 一条直角边），不是 SSS。 ④ 三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，不是到三个顶点距离相等。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1. 「角的内部到角的两边的距离相等的点，在角的平分线上」，这句话是角平分线的（　　） A. 定义　　B. 性质　　C. 判定　　D. 作图方法 2. 如图，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E，且 PD = PE，则可以得到（　　） 第 2 题图 A. OD = OA　　B. OP 平分∠AOB　　C. PD = OD　　D. OP = PD 3. 证明「角平分线的判定」时，用到的全等判定方法是（　　） A. SSS　　B. SAS　　C. ASA　　D. HL 4. 三角形三条角平分线的交点（　　） A. 到三个顶点的距离相等　　　　　　 B. 到三边的距离相等 C. 到两边的距离相等　　　　　　　　 D. 与三角形的形状无关 （二）填空题（每小题 4 分，共 16 分） 5. 角的内部到角的 ____________ 的点，在角的平分线上。 6. 角平分线的性质与判定互为 ____________ 命题。 7. 三角形的三条角平分线交于 ________ 点，这点到三角形 ________ 的距离相等。 8. 如图，点 P 在∠AOB 的内部，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E。若 PD = PE = 5 cm，则 ________ 平分∠AOB，此时点 P 到 OA 的距离是 ________ cm。 第 8 题图 （三）解答题（共 28 分） 9.（14 分）如图，点 P 在∠AOB 的内部，PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E，且 PD = PE。 第 9 题图 (1) 连接 OP，求证：Rt△ODP ≌ Rt△OEP； (2) 求证：OP 平分∠AOB； (3) 若 ∠AOB = 70°，求 ∠DOP 的度数。 10.（14 分）如图，在 △ABC 中，三条角平分线交于点 P，点 P 到边 AB 的距离是 2 cm，△ABC 的三边长分别为AB = 5 cm，BC = 6 cm，CA = 7 cm。 第 10 题图 (1) 点 P 到 BC、CA 的距离分别是多少？为什么？ (2) 求 △ABP、△BCP、△CAP 的面积； (3) 求 △ABC 的面积。 14.3　角的平分线 第 3 课时　性质与判定的综合运用 一、知识梳理 1. 两条结论的选用： 已知角平分线 + 两条垂线段 → 用性质得距离相等； 已知两条垂线段相等 → 用判定得角平分线。 2. 常见的辅助线作法：遇到角平分线时，常从角平分线上一点向角的两边作垂线段，再利用性质得到相等的线段。 3. 典型模型：直角三角形中的角平分线 ∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DE ⊥ AB 由 ∠C = 90° 知 DC ⊥ AC，又 DE ⊥ AB，AD 平分∠BAC， 由性质得 DC = DE，即点 D 到 AB 的距离等于 DC。 这个模型常与面积法结合：△ABD 的面积 = × AB × DE。 4. 面积法求距离：若已知三角形的面积与一边长，可用「面积 = × 底 × 高」求出这边上的高（即点到该边的距离）。 5. 三角形内角平分线交点的面积关系： 设交点到三边的距离都是 r，三边长分别为 a、b、c， 则 S△ABC = ar + br + cr = (a + b + c)r。 【解题小结】 ① 看到「角平分线 + 垂直」，立刻想到性质（两垂线段相等）。 ② 看到「两垂线段相等」，立刻想到判定（在角平分线上）。 ③ 看到「角平分线」而没有垂线段时，考虑作垂线段这条辅助线。 ④ 涉及线段长度与面积时，常用面积法建立等量关系。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1. 在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，DE ⊥ AB 于 E。若 DE = 4 cm，则点 D 到 AC 的距离是（　　） A. 2 cm　　B. 4 cm　　C. 8 cm　　D. 无法确定 2. 在上题中，若 BC = 10 cm，DE = 4 cm，则 BD 的长为（　　） A. 4 cm　　B. 5 cm　　C. 6 cm　　D. 14 cm 3. 已知 △ABC 的三边长分别为 6、8、10，三条角平分线的交点到三边的距离都是 r，若 △ABC 的面积是 24，则 r 的值是（　　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 4. 下列推理中，运用了角平分线判定的是（　　） A. 因为 OP 平分∠AOB，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，所以 PD = PE B. 因为 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，PD = PE，所以 OP 平分∠AOB C. 因为 OP 平分∠AOB，所以 ∠AOP = ∠BOP D. 因为 PD ⊥ OA，所以 ∠ODP = 90° （二）填空题（每小题 4 分，共 16 分） 5. 在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DE ⊥ AB 于 E，DC = 5 cm，AB = 12 cm，则 △ABD 的面积是 ________ cm2。 6. 遇到角平分线而图中没有垂线段时，常作的辅助线是 ____________________。 7. 若三角形三边长分别为 a、b、c，三条角平分线的交点到三边的距离为 r，则这个三角形的面积可以表示为 ____________________。 8. 已知 △ABC 的周长是 20 cm，三条角平分线的交点到三边的距离都是 3 cm，则 △ABC 的面积是 ________ cm2。 （三）解答题（共 28 分） 9.（14 分）如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE ⊥ AB 于点 E。 第 9 题图 (1) 求证：DC = DE； (2) 若 AC = 6 cm，DC = 4 cm，求 △ACD 的面积； (3) 若 AB = 10 cm，求 △ABD 的面积； (4) 由(2)(3)求 △ABC 的面积。 10.（14 分）如图，点 P 是 △ABC 三条角平分线的交点，点 P 到边 AB 的距离为 r。 第 10 题图 (1) 点 P 到 BC、CA 的距离分别是多少？依据是什么？ (2) 用含 a、b、c、r 的式子表示 △ABC 的面积（其中 BC = a，CA = b，AB = c）； (3) 若 △ABC 的三边长分别是 5 cm、12 cm、13 cm，面积是 30 cm2，求 r 的值。 参考答案与解析 第 1 课时　角平分线的尺规作图与性质 一、选择题 1. C　【解析】点到直线的距离是垂线段的长度。B、D 说的是线段或垂线本身（是图形不是长度），A 没有强调垂直。 2. A　【解析】作图时 OM = ON、MC = NC、OC = OC，由 SSS 得 △OMC ≌ △ONC，从而 ∠MOC = ∠NOC。 3. B　【解析】OP 平分∠AOB，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，由角平分线的性质得 PE = PD = 4 cm。 4. A　【解析】∠C = 90° 说明 DC ⊥ AC，又 DE ⊥ AB，AD 平分∠BAC，由性质得 DC = DE。 B、C、D 都缺少依据，不一定成立。 二、填空题 5. 角的两边 6. MN 【解析】只有半径大于 MN，以 M、N 为圆心的两弧才会相交。 7. 30；= 【解析】OP 平分∠AOB，所以 ∠AOP = × 60° = 30°；由角平分线的性质得 PD = PE。 8. 3 【解析】点 D 到 AB 的距离就是 DE。由 ∠C = 90° 得 DC ⊥ AC，再由角平分线的性质得 DE = DC = 3 cm。 三、解答题 9.（1）证明：因为 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， 所以 ∠ODP = ∠OEP = 90°。 在 △ODP 和 △OEP 中， ∠ODP = ∠OEP（已证）， ∠DOP = ∠EOP（OP 平分∠AOB）， OP = OP（公共边）， 所以 △ODP ≌ △OEP（AAS）。 （2）由(1)得 PD = PE（全等三角形的对应边相等）。 这也正是「角平分线上的点到角两边的距离相等」这一性质的证明。 （3）OD = OE。 【理由】由(1)得 △ODP ≌ △OEP，所以 OD = OE（全等三角形的对应边相等）。 10.（1）DC = 3 cm。 【解析】因为 ∠C = 90°，所以 DC ⊥ AC；又 DE ⊥ AB，AD 平分∠BAC， 由角平分线的性质得 DC = DE = 3 cm。 （2）BD = 5 cm。 【解析】点 D 在 BC 上，BD = BC - DC = 8 - 3 = 5（cm）。 （3）△ABD 的面积是 15 cm2。 【解析】以 AB 为底，DE 就是这条底边上的高， S△ABD = × AB × DE = × 10 × 3 = 15（cm2）。 第 2 课时　角平分线的判定 一、选择题 1. C　【解析】这句话的条件是「到两边距离相等」，结论是「在角平分线上」，属于判定。 2. B　【解析】点 P 在角内部，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，PD = PE，由角平分线的判定得 OP 平分∠AOB。 3. D　【解析】连接 OP 后，Rt△ODP 与 Rt△OEP 中，OP 是公共斜边，PD = PE 是一条直角边，故用 HL。 4. B　【解析】三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等；到三个顶点距离相等的是三边垂直平分线的交点。 二、填空题 5. 两边的距离相等 6. 逆 7. 一；三边 8. OP；5 【解析】由判定得 OP 平分∠AOB；点 P 到 OA 的距离就是 PD = 5 cm。 三、解答题 9.（1）证明：因为 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， 所以 ∠ODP = ∠OEP = 90°，即 △ODP 与 △OEP 都是直角三角形。 在 Rt△ODP 和 Rt△OEP 中， OP = OP（公共斜边）， PD = PE（已知）， 所以 Rt△ODP ≌ Rt△OEP（HL）。 （2）由(1)得 ∠DOP = ∠EOP（全等三角形的对应角相等）， 所以 OP 平分∠AOB。 （3）∠DOP = 35°。 【解析】OP 平分∠AOB，所以 ∠DOP = ∠AOB = × 70° = 35°。 10.（1）点 P 到 BC、CA 的距离都是 2 cm。 【理由】P 是三条角平分线的交点，由角平分线的性质，它到三边的距离都相等。 （2）S△ABP = × 5 × 2 = 5（cm2）； S△BCP = × 6 × 2 = 6（cm2）； S△CAP = × 7 × 2 = 7（cm2）。 （3）S△ABC = 5 + 6 + 7 = 18（cm2）。 【方法总结】把三角形按内心分成三个小三角形，它们的高都等于内心到三边的距离，这是常用的面积分割法。 第 3 课时　性质与判定的综合运用 一、选择题 1. B　【解析】∠C = 90° 说明 DC ⊥ AC，点 D 到 AC 的距离就是 DC； 由角平分线的性质得 DC = DE = 4 cm。 2. C　【解析】由第 1 题得 DC = DE = 4 cm，所以 BD = BC - DC = 10 - 4 = 6（cm）。 3. B　【解析】由 S = (a + b + c)r 得 24 = × (6 + 8 + 10) × r = 12r，所以 r = 2。 4. B　【解析】B 的条件是「两垂线段相等」，结论是「在角平分线上」，正是判定；A 是性质，C 是角平分线的定义，D 是垂直的定义。 二、填空题 5. 30 【解析】由角平分线的性质得 DE = DC = 5 cm， S△ABD = × AB × DE = × 12 × 5 = 30（cm2）。 6. 从角平分线上一点向角的两边作垂线段 7. (a + b + c)r 8. 30 【解析】S = × 周长 × r = × 20 × 3 = 30（cm2）。 三、解答题 9.（1）证明：因为 ∠C = 90°，所以 DC ⊥ AC； 又 DE ⊥ AB，AD 平分∠BAC， 由角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）得 DC = DE。 （2）S△ACD = × AC × DC = × 6 × 4 = 12（cm2）。 （3）由(1)得 DE = DC = 4 cm， S△ABD = × AB × DE = × 10 × 4 = 20（cm2）。 （4）S△ABC = S△ACD + S△ABD = 12 + 20 = 32（cm2）。 【说明】因为点 D 在边 BC 上，AD 把 △ABC 分成 △ACD 与 △ABD 两部分，两者的面积之和就是 △ABC 的面积。 10.（1）点 P 到 BC、CA 的距离也都是 r。 【依据】P 是三条角平分线的交点，由角平分线的性质知它到三边的距离相等。 （2）连接 PA、PB、PC，把 △ABC 分成三个小三角形， 它们分别以 a、b、c 为底，高都是 r， 所以 S△ABC = ar + br + cr = (a + b + c)r。 （3）r = 2 cm。 【解析】三角形的周长 a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30（cm）， 由 30 = × 30 × r 得 15r = 30，所以 r = 2（cm）。 【学后反思】本节只有两条结论，但用途极广，可以记成一句口诀：「角平分线 + 垂直 → 距离相等；距离相等 + 垂直 → 角平分线」。做题时先在图上找「角平分线」和「垂线段」这两个关键词：两者都有就用性质，只有垂线段相等就用判定，只有角平分线而没有垂线段就自己作垂线段。涉及长度与面积的综合题，别忘了「面积 = × 底 × 高」这个桥梁。 — 1 — — 1 — 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $