专题强化06 约束条件下的抛体运动（抛体运动和圆周运动的综合）（专项训练）（天津专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦约束条件下抛体运动及与圆周运动的综合，通过分类题型构建从单一约束到多过程综合的知识逻辑链，强化科学思维中的模型建构与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜面约束抛体运动|5题（如跳台滑雪）|结合斜面倾角分析运动时间、位移及速度方向|平抛运动规律→斜面几何关系→运动合成与分解| |圆弧面约束平抛运动|5题（如半圆轨道平抛）|涉及圆弧切线条件及落点几何关系|平抛运动分解→圆周轨道几何约束→速度方向分析| |抛体与圆周运动综合|5题（如平抛与圆弧衔接）|多过程运动衔接及能量转化|抛体运动规律→圆周运动临界条件→机械能守恒应用|

第06讲 约束条件下的抛体运动 抛体运动和圆周运动的综合（专项训练） 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 斜面约束的抛体运动 1 题型02 圆弧面约束的平抛运动 5 题型03 抛体运动和圆周运动的综合 6 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：平抛运动的规律，平抛运动与斜面的结合的应用等 ⏳题型01 斜面约束的抛体运动 1．(25-26高一下·广西钦州·期末)如图所示，小明将小球以初速度向对面山上水平抛出，小球落在点处。不计空气阻力，若小明想让小球落在点处，则（     ） A．增大小球水平抛出的初速度 B．减小小球水平抛出的初速度 C．初速度不变，换用质量更小的小球 D．初速度大小不变，将水平抛出变为斜向下抛出 【答案】A 【详解】AB．根据， 解得 若想落到B点，则与A点相比，水平位移x增加，竖直位移y，减小，可知初速度v0要增大，A正确，B错误； C．初速度不变，换用质量更小的小球，因重力加速度g不变，则仍落在A点，C错误； D．初速度大小不变，将水平抛出变为斜向下抛出，则初速度与水平方向夹角为θ，则竖直方向由，则运动时间变短；水平位移，水平位移减小，则小球将落在A点左下方，无法落在B点，D错误。 故选A。 2．(24-25高一下·天津实验中学滨海学校·月考)（多选）2022年北京冬奥会结束后，越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一、两名跳雪运动员a，b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比沿水平方向向左飞出，示意图如图。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（     ） A．他们飞行时间之比为 B．他们飞行的水平位移之比为 C．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 D．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为 【答案】AB 【详解】A．运动员在空中飞行过程中，根据平抛运动规律有， 设雪坡倾角为，根据几何关系可得 联立可得运动员在空中飞行时间为 则他们飞行时间之比为，故A正确； B．水平方向做匀速直线运动，由 可知他们飞行的水平位移之比为，故B正确； C．设落到雪坡上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为，根据平抛运动推论可得 由于雪坡倾角为定值，则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故C错误； D．将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向上，在沿坡面方向做匀加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，则运动员在空中离雪道坡面的最大距离为 则他们在空中离雪坡面的最大距离之比为，故D错误。 故选AB。 3．(25-26高三下·天津第一中学·)将一可视为质点的小球从水平地面A点以斜向上抛出，小球恰在最高点以越过倾角为的斜面顶端B点，然后落在斜面的底端C点。不考虑空气阻力，以下说法正确的是（     ） A．小球从A点到B点的时间为从A点到C点时间的一半 B．保持不变，改变小球在A点的抛射角度，则小球不能越过斜面到达C点 C．小球从A点到B点的动能变化量与从B点到C点动能变化量相等 D． 【答案】A 【详解】A．设斜面的竖直高度为。小球从A点到B点做斜上抛运动，到B点时速度沿水平方向，即竖直方向的速度为零，可反向看成平抛运动，在竖直方向上有 解得 小球从B点到C点做平抛运动，在竖直方向上有 解得 故小球从A点到C点的时间为 即，故A正确； B．保持不变，增大小球在A点的抛射角度，则竖直方向的分速度为 可知变大，上升到最高点的高度为 可知增大，即小球从A点出发运动到更高的最高点后做平抛运动，落到斜面B点时的速度方向恰好与斜面平行，则小球从B点到C点沿斜面向下做匀加速直线运动，小球可以到达C点，故B错误； C．小球从A点到B点，根据动能定理，可得动能变化量 小球从B点到C点，根据动能定理，可得动能变化量 可知，故C错误； D．根据机械能守恒，可知小球落回到C点的速度大小与从A点出发的速度大小相等，即为，小球从B点到C点做平抛运动，设小球落到C点时速度与水平面的夹角为，由题意分析，可知小球落到C点时位移夹角为，根据平抛运动的规律有 又 可得 在C点，根据速度的合成规律有 解得，故D错误。 故选A。 4．(25-26高三·天津河北区·)跳台滑雪是冬季奥运会最具观赏性的项目之一。图为简化的跳台滑雪的雪道示意图，现有运动员穿专用滑雪板从助滑道上滑下后，从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆。已知运动员（含装备）的质量，从A处水平飞出时的速度，斜坡与水平方向的夹角，取重力加速度，不计空气阻力。求运动员（含装备） (1)从A处运动到B处所用时间t； (2)到达B处时，重力的瞬时功率P； (3)从A处运动到B处过程中，动量变化量的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，方向竖直向下 【详解】（1）运动员从A处运动到B处做平抛运动，根据几何关系可得 可得 （2）运动员到达B处时，竖直分速度大小为 则重力的瞬时功率为 （3）从A处运动到B处过程中，根据动量定理可得 方向竖直向下。 5．(25-26高一下·天津河西区·期中)跳台滑雪是一种勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示为滑雪道简化图，整个滑雪道由助滑道AB、着陆坡BC、减速停止区CD三部分组成，B点处对应圆弧的半径为R=50m。比赛中质量m=70kg（含装备）的运动员从A点下滑，运动到B点时以v=20m/s的速度水平飞出，落在着陆坡的C点。已知着陆坡的倾角为37°，不计空气阻力，运动员视为质点，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)运动员通过B点时对轨道的压力大小； (2)运动员从B点运动到C点的时间； (3)运动员落在C点时的速度大小。 【答案】(1)1260N (2)3s (3) 【详解】（1）运动员在B点受到的支持力为F，由牛顿第二定律得   由牛顿第三定律   可得压力 （2）运动员从B点到C点做平抛运动，设水平方向位移为x，竖直方向位移为y，有，   又    解得 （3）设C点的速度大小为，有 ，   可得 ⏳题型02 圆弧面约束的平抛运动 6．(25-26高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·月考)（多选）如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R，将一个小球从a点以初速度沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．无论取何值，小球都不能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 【答案】BC 【详解】AB．当小球落在c点时,竖直方向的位移最大，运动时间最长，竖直分速度最大；此时竖直方向有 解得 水平方向有 解得，故A错误，B正确； C．小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据平抛运动推论：速度方向的反向延长线过水平位移的中点；由于圆心O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，故C正确； D． 取值不同时，小球运动的轨迹不同，落到圆环上的位置不同，则位移的偏向角不同，因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，可知速度的偏向角不同，则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故D错误。 故选BC。 7．(25-26高一下·河南开封通许县丽星高级中学等校·)如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，AB为水平直径，O为圆心，将一些半径远小于轨道半径的小球从A点以不同的初速度水平向右抛出，若不计空气阻力，在小球从抛出到碰到轨道这个过程中，下列说法正确的是（     ） A．初速度大的小球运动时间长 B．落在圆形轨道最低点的小球初始速度最小 C．初速度不同的小球运动时间有可能相同 D．只要初速度大小适当小球有可能垂直打在轨道上 【答案】C 【详解】A．平抛运动竖直方向做自由落体运动 落地时间，仅由下落高度决定，与初速度无关，初速度大的小球可能落在靠近B点处，运动时间短，二者无必然正相关，故A错误； B．落在轨道最低点的小球下落高度最大，运动时间最长，但初速度 存在落在靠近A点的小球，其下落高度更小、运动时间更短，但初速度比落在最低点的小球更小，故B错误； C．对下半圆轨道，同一下落高度对应两个不同落点（分别在圆心O的左侧、右侧），二者竖直高度相同，因此运动时间相同，但水平位移不同，对应初速度不同，故初速度不同的小球运动时间有可能相同，故C正确； D．若小球垂直打在轨道上，速度方向必然沿轨道法线，即延长线过圆心O，根据平抛运动推论速度的反向延长线一定过水平位移的中点，若反向延长线过O，则O点必须是水平位移的中点，可推得落点为B点，此时下落高度为0，不可能实现，故D错误。 故选C。 8．(24-25高一下·云南昆明·期中)如图所示，斜面与圆弧轨道相接于点，从点水平向右飞出的小球恰能从点沿圆弧切线方向进入轨道，与竖直方向的夹角为，若为斜面在水平面上的投影，且的长度为，不计空气阻力，则的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从点水平向右飞出的小球恰能从点沿圆弧切线方向进入轨道，与竖直方向的夹角为，可知小球在C点的速度方向与水平方向的夹角，有 可得的高度为 故选C。 9．(25-26高一下·福建莆田·期末)如图甲所示，竖直面内固定有一半径为R=0.75 m的圆弧轨道BC，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α=37°，现将一质量为m=1 kg的小滑块（可视为质点）从空中的A点以v0=3 m/s的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点，小滑块到达C点时速度大小vC=4 m/s，并从D点滑上置于光滑水平面上的足够长的木板，长木板上表面与光滑的CD平台等高。图乙为长木板运动的Ek-x图像，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求 (1)A、B两点的高度差h； (2)小滑块在BC段运动过程中克服摩擦做的功W； (3)小滑块与长木板间的摩擦因数μ及长木板的质量M。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）设滑块通过点时竖直分速度大小为，滑块从点沿轨道切线方向进入轨道，切线与水平方向的夹角为，所以 解得== 滑块从点到点在竖直方向做自由落体运动，有 解得== （2）点到点下降的高度为 所以点到点下降的高度为 设滑块在段克服摩擦做的功为，由动能定理得 代入数据得= （3）由图乙可知，长木板在内动能从增至，图线斜率等于滑动摩擦力大小 所以== 又 解得== 图线在后水平，说明此时滑块与长木板已共速，设共速速度大小为，经历时间为 对滑块有加速度大小= 故 长木板从静止开始做匀加速运动，位移为，故 解得 联立解得， 长木板共速时动能为，由= 解得 10．(25-26高一下·安徽黄山屯溪第一中学·期中)如图所示，将一质量为的小球自水平平台右端O点以初速度水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，半径，截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，（整个过程忽略空气阻力，，）求： (1)小球在A点时的速度及平台末端O点到A点的竖直高度H； (2)小球运动到轨道最低点B时，小球对轨道的压力大小； (3)小球能否通过C点，请说明理由。 【答案】(1)5m/s；0.8m (2)68N (3)能通过点C，因为小球在C点实际速度大于圆周最高点临界速度 【详解】（1）在A点将速度分解成水平方向和竖直方向有 所以 根据动能定理有 则 所以小球在A点速度大小为，方向沿着A点切线方向，竖直高度H为 （2）从，由动能定理有 对小球在B点受力分析，有 解得 由牛顿第三定律可得 （3）假设小球能通过C点，从， 由动能定理有 解得 小球通过最高点的最小速度 所以小球能通过最高点C。 ⏳题型03 抛体运动和圆周运动的综合 11．(25-26高二上·湖南长沙同升湖高级中学·)如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球b能落到斜面上，下列说法正确的是（　　） A．a球可能先落在半圆轨道上 B．a球一定先落在半圆轨道上 C．a、b不可能同时分别落在半圆轨道和斜面上 D．b球一定先落在斜面上 【答案】A 【详解】将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A，初速度合适，可知小球做平抛运动落在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上；若初速度不适中，由图可知，小球可能先落在斜面上，也可能先落在圆轨道上，故A正确，B、C、D错误。 12．(24-25高二上·安徽部分学校·开学考)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，之后的运动可视为平抛运动，摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩托车在空中相同时间内速度的变化量不相同 B．若摩托车能越过壕沟，则其所用时间为 C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为 D．若摩托车越不过壕沟，则初速度越小其在空中的运动时间越短 【答案】B 【详解】A．摩托车在空中做平抛运动，加速度不变，由 可知，相同时间内的速度变化量相同，故A错误； B．摩托车越过壕沟的过程，竖直方向有 可得 故B正确； C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度满足 求得 故C错误； D．摩托车在空中运动的时间由竖直方向下落的高度决定，若摩托车越不过壕沟，其落点如果在壕沟最深处的右侧，则初速度越小在空中运动的时间越长，落点如果在壕沟最深处的左侧，则初速度越小在空中运动的时间越短，故D错误。 故选B。 13．（多选）如图所示，半径的光滑圆管竖直固定，圆管上端切线水平，下端正下方有一竖直固定的轻质弹簧，O为圆心。倾角为的斜面底端位于O点，斜面顶端与圆管最高点等高。现用弹簧将一钢珠可视为质点，直径略小于圆管直径射入圆管，钢珠从圆管上端飞出后恰好击中斜面中点。不计空气阻力，重力加速度g取下列说法正确的是 A．钢珠从圆管飞出后在空中运动的过程中，重力的功率与时间成正比 B．钢珠在圆管中运动的过程中，圆管对钢珠作用力的功率逐渐减小 C．钢珠从圆管飞出时的速度大小为 D．若调整弹簧压缩量改变钢珠射入圆管速度，当钢珠下落的高度击中斜面时其动能最小 【答案】ACD 【详解】A．钢珠从圆管飞出后做平抛运动，由 竖直方向分速度 解得 可知重力的功率与时间成正比，A正确； B．钢珠在圆管中运动的过程中，圆管对钢珠作用力始终与速度方向垂直，功率始终为0，B错误； C．钢球飞出后在空中做平抛运动，由平抛运动规律特点 竖直方向运动有 水平方向运动有 分位移关系有 联立代入数据解得，C正确； D．设钢球下落高度为，根据运动规律及几何关系有 竖直方向运动有 竖直方向分速度有 水平方向运动有 再由几何关系 设落在斜面上的速度为，则 整理解得 可见当钢球动能最小有 解得，D正确。 故选ACD。 14．(25-26高一下·湖北襄阳第三中学等校·)如图所示，从点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至点时，恰好无碰撞的进入半径，圆心角为的粗糙圆弧轨道，与圆心在同一竖直线上，与的高度差。小物块从点进入半径为的光滑小圆周轨道。重力加速度取，求： (1)小物块到达点的速度大小； (2)若小物块恰好通过小圆周的最高点，求通过小圆周轨道最高点时的速度大小； (3)若小物块运动过程中能够到达点且未脱离小圆周轨道，求在粗糙圆弧轨道上运动时，小物块克服阻力所做的功满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）小物块到达点的过程 ，在竖直方向 解得 小物块到达点时，速度满足 （2）若小物块恰好通过小圆周的最高点，根据牛顿第二定律可得 解得 （3）小物块不脱离小圆周轨道有两种情况：①能通过最高点，则小物块在小圆周轨道最高点的速度，则小物块从B点到小圆周轨道最高点的过程，根据动能定理 解得 ②小物块不超过小圆周轨道与圆心等高处，则根据动能定理可得 解得 同时，物块必须能到达C点，则根据动能定理可得 解得 综上所述，小物块克服阻力所做的功满足的条件或。 15．(25-26高一上·江苏常州第二中学·期末)某极限运动公园内设有专业滑板赛道，赛道有倾斜直道、圆弧赛道、倾斜直道和水平赛道平滑连接而成。圆弧的圆心为的中点，图中角均为（，），圆弧半径，，将运动员和滑板视为质点，忽略空气阻力，取， (1)若运动员从点以速度水平飞出，恰好落在点，求的大小； (2)若运动员从点沿赛道切线方向以速度水平飞出后，恰好落在点，求的大小； (3)若运动员从点以的速度水平飞出，求他在空中运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设运动员在空中运动时间为，则 则 （2）设运动员在空中运动时间为，则 则 解得 （3）设运动员在空中运动时间为，则有 解得或（舍） 故运动员在空中运动了。 重难·创新演练 设题创新:结合生活实际(T1,T5,T6); 一、单选题 1．(25-26高一下·福建莆田·期末)如图所示，池塘荷叶上可视为质点的青蛙以速度v0水平跳出，恰好垂直落在正对的堤面上。已知堤面的倾角θ=30°，不计空气阻力，青蛙落在堤面时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，设青蛙落在堤面时的速度大小为，有 可得 故选A。 2．(25-26高一下·浙江杭州·期末)如图所示，以v0 = 10m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角（θ = 30°的斜面上，忽略空气阻力，其中g = 10m/s2，以下结论中正确的是（   ） A．物体飞行时间是 B．物体撞击斜面时的速度大小为 C．物体飞行的位移是 D．物体下落的竖直距离是10m 【答案】A 【详解】A．物体垂直撞在倾角θ = 30°的斜面上，即末速度方向垂直于斜面。斜面法线与竖直方向夹角为30°，因此速度与竖直方向夹角也为30°。有 解得 则飞行时间，故A正确； B．撞击速度大小，故B错误； C．水平位移 竖直位移 故下落竖直距离为15m。 合位移，故C错误，D错误。 故选A。 3．(25-26高一下·重庆鲁能巴蜀中学校·)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直于倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径，小球可看作质点且其质量，g取。则（　　） A．小球在B点时的速度大小为4m/s B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.45m C．小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是1N D．小球在C点时的速度大小为3m/s 【答案】C 【详解】A．小球从B点做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直于倾角为45°的斜面相碰，则在C点的竖直分速度 因小球恰好垂直撞在斜面上，则平抛运动水平初速度，故A错误； B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离，故B错误； C．设小球经过B点时，受到上管道竖直向下的作用力，根据牛顿第二定律可得 解得 负号说明小球在B点受到下管道的作用力的大小是1N，方向竖直向上，故C正确； D．小球在C点时的速度大小为，故D错误。 故选C。 4．(25-26高二下·湖南衡阳衡阳县·期末)如图，有一倾角为θ的斜面固定在水平面上，两个小球甲、乙分别从斜面上以大小相等的初速度抛出，甲、乙两球的初速度与斜面的夹角分别为α和β，两球抛出后都落在了斜面上。忽略空气阻力，则甲、乙两小球在空中运动的时间之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把小球甲的速度、加速度沿着斜面和垂直斜面正交分解，垂直斜面方向初速度 垂直斜面方向加速度 所以小球甲在空中的时间 同理可得小球乙在空中的时间 可得 故选A。 5．(25-26高二下·浙江温州新力量联盟·期末)如图所示，一无人机携带救援物资进行救援任务，飞到O点时悬停，以9 m/s的水平速度向右弹出物资，物资恰好垂直打在倾角斜坡上的A点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．物资落到A点的时间为0.9 s B．物资弹出的位置离落地点的水平距离为10.8 m C．若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，则物资仍能垂直打在斜坡上 D．若其他条件不变，弹出的初速度减小，则物资落到斜坡上的时间不变 【答案】B 【详解】A．物资垂直打在斜坡上的A点时，设竖直方向的速度为vy，在A点进行运动的合成与分解，如图所示 根据 物资落到A点的时间为，故A错误； B．物资弹出的位置离落地点的水平距离为，故B正确； C．若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，相当于将图中轨迹向下平移，速度沿切线方向，可知，不可能垂直打在斜面上，故C错误； D．若其他条件不变，弹出的初速度减小，与落在A点比较，相同时间会落到A点所在水平面左侧，可知最终会落在A点下方，竖直方向 可知时间变长，故D错误。 故选B。 6．(25-26高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（     ） A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度等于 C．两谷粒从到的平均速度相等 D．若两谷粒在点相遇，应先抛谷粒2 【答案】D 【详解】A．忽略空气阻力，两谷粒抛出后在空中均只受重力作用，其加速度均为竖直向下的重力加速度，故A错误； B．设O点到P点的竖直高度差为，水平位移为。谷粒1在竖直方向做自由落体运动，时间为；谷粒2具有竖直向上的初速度分量，在竖直方向先向上做减速运动再向下做自由落体运动，落至同一下降高度所需的时间为。显然 在水平方向上，两谷粒均做匀速直线运动，且水平位移相同。根据 由于，必然有谷粒2的水平分速度 谷粒2在最高点时竖直分速度为零，此时的速度刚好等于其水平分速度，因此谷粒2在最高点的速度小于，故B错误； C．两谷粒均从O点运动到P点，初末位置相同，因此两者的位移矢量完全相同。但由于它们在空中的运动时间，根据平均速度的定义式，两者的平均速度大小不相等，故C错误； D．由上述推导可知，谷粒2从O到P飞行的时间更长（）。若要使两谷粒在P点相遇（即同时到达P点），必须让在空中飞行时间更长的谷粒2提前抛出，故D正确。 故选D。 二、多选题 7．(25-26高一下·河南部分校·期末)自由式滑雪运动是冬奥会极具观赏性的比赛项目。某次比赛中一运动员的简化运动过程如图所示。运动员从较高的坡面滑到倾角的斜坡顶端A处时，以一定的初速度沿水平方向飞离斜坡，最终落在斜坡上的B处。已知运动员在空中运动过程中离斜坡的最大距离为d，不计空气阻力，运动员可看成质点，运动员的质量为m，重力加速度为g，。则下列说法正确的是（     ） A．运动员从A点滑出的速度大小为 B．运动员在空中运动的时间为 C．运动员离斜坡最远时重力的功率为 D．A、B两点的高度差为5d 【答案】ABD 【详解】A．设运动员从A点滑出的速度大小为，将初速度分解为沿AB方向的分速度和垂直AB方向的分速度，则有， 将重力加速度分解为沿AB方向的分加速度和垂直AB方向的分加速度，则有， 当垂直斜面分速度时，离斜面最远，最远距离为d，有 解得 垂直斜面位移最大值 解得，故A正确； B．运动员在空中运动的时间为，故B正确； C．运动员离斜坡最远时速度的竖直分量为 重力的功率为，故C错误； D．A、B两点的高度差为，故D正确。 故选ABD。 三、解答题 8．(25-26高一下·山东青岛莱西·)如图所示为滑雪运动员从A点水平起跳后，落到直斜坡上的情景。某次跳跃时该运动员沿斜坡上运动的距离，已知运动员质量为m=50 kg，斜坡倾角为θ=30°，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力。 (1)求运动员从A运动到B点的时间t； (2)求运动员在A点起跳时的速度大小v0； (3)若运动员从A点起跳后，一直受到水平向右恒定的风力F作用，最后恰好沿竖直方向落在斜坡上，求运动员受到的风力大小F。 【答案】(1) (2)20m/s (3) 【详解】（1）竖直方向，根据 解得 （2）水平方向 解得v0=20m/s （3）水平方向做匀减速运动，末速度为零，则， 竖直方向做自由落体运动，则 其中 解得 9．(25-26高一下·广东湛江第一中学·期末)跳台滑雪训练中，运动员从跳台a点沿水平方向飞出，在斜坡b点着陆，如图所示。已知a、b间距离，斜坡与水平方向夹角为30°，不计空气阻力，取。求： (1)运动员在空中飞行的时间t； (2)运动员从a点飞出时的速度大小； (3)运动员落到b点时的速度大小v； (4)落地速度方向与水平方向夹角的正切值。 【答案】(1)2s (2) (3) (4) 【详解】（1）由图可知竖直位移 竖直方向，根据自由落体运动公式有 解得 （2）水平方向做匀速直线运动，则水平位移 解得。 （3）落地前水平方向速度为 竖直方向速度为 运动员落到b点时的速度大小 （4）设落地速度方向与水平方向夹角为，则 10．(25-26高二下·河北部分学校·期末)如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，从斜面底端正上方的O点将一小球以大小的速度水平抛出，与此同时，一滑块由斜面底端沿斜面向上滑动，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面上的P点击中上滑的滑块。取重力加速度大小，，，小球和滑块均视为质点，不计空气阻力。求： (1)小球在空中运动的时间t； (2)滑块上滑的初速度大小v； (3)O点距斜面底端的高度h。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球恰好能够以垂直于斜面的速度落在斜面上，可知 解得 （2）滑块上滑的距离 上滑的加速度大小 根据 可得 （3）O点距斜面底端的高度 解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 约束条件下的抛体运动 抛体运动和圆周运动的综合（专项训练） 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 斜面约束的抛体运动 1 题型02 圆弧面约束的平抛运动 5 题型03 抛体运动和圆周运动的综合 6 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：平抛运动的规律，平抛运动与斜面的结合的应用等 ⏳题型01 斜面约束的抛体运动 1．(25-26高一下·广西钦州·期末)如图所示，小明将小球以初速度向对面山上水平抛出，小球落在点处。不计空气阻力，若小明想让小球落在点处，则（     ） A．增大小球水平抛出的初速度 B．减小小球水平抛出的初速度 C．初速度不变，换用质量更小的小球 D．初速度大小不变，将水平抛出变为斜向下抛出 2．(24-25高一下·天津实验中学滨海学校·月考)（多选）2022年北京冬奥会结束后，越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一、两名跳雪运动员a，b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比沿水平方向向左飞出，示意图如图。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（     ） A．他们飞行时间之比为 B．他们飞行的水平位移之比为 C．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 D．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为 3．(25-26高三下·天津第一中学·)将一可视为质点的小球从水平地面A点以斜向上抛出，小球恰在最高点以越过倾角为的斜面顶端B点，然后落在斜面的底端C点。不考虑空气阻力，以下说法正确的是（     ） A．小球从A点到B点的时间为从A点到C点时间的一半 B．保持不变，改变小球在A点的抛射角度，则小球不能越过斜面到达C点 C．小球从A点到B点的动能变化量与从B点到C点动能变化量相等 D． 4．(25-26高三·天津河北区·)跳台滑雪是冬季奥运会最具观赏性的项目之一。图为简化的跳台滑雪的雪道示意图，现有运动员穿专用滑雪板从助滑道上滑下后，从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆。已知运动员（含装备）的质量，从A处水平飞出时的速度，斜坡与水平方向的夹角，取重力加速度，不计空气阻力。求运动员（含装备） (1)从A处运动到B处所用时间t； (2)到达B处时，重力的瞬时功率P； (3)从A处运动到B处过程中，动量变化量的大小和方向。 5．(25-26高一下·天津河西区·期中)跳台滑雪是一种勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示为滑雪道简化图，整个滑雪道由助滑道AB、着陆坡BC、减速停止区CD三部分组成，B点处对应圆弧的半径为R=50m。比赛中质量m=70kg（含装备）的运动员从A点下滑，运动到B点时以v=20m/s的速度水平飞出，落在着陆坡的C点。已知着陆坡的倾角为37°，不计空气阻力，运动员视为质点，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)运动员通过B点时对轨道的压力大小； (2)运动员从B点运动到C点的时间； (3)运动员落在C点时的速度大小。 ⏳题型02 圆弧面约束的平抛运动 6．(25-26高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·月考)（多选）如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R，将一个小球从a点以初速度沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．无论取何值，小球都不能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 7．(25-26高一下·河南开封通许县丽星高级中学等校·)如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，AB为水平直径，O为圆心，将一些半径远小于轨道半径的小球从A点以不同的初速度水平向右抛出，若不计空气阻力，在小球从抛出到碰到轨道这个过程中，下列说法正确的是（     ） A．初速度大的小球运动时间长 B．落在圆形轨道最低点的小球初始速度最小 C．初速度不同的小球运动时间有可能相同 D．只要初速度大小适当小球有可能垂直打在轨道上 8．(24-25高一下·云南昆明·期中)如图所示，斜面与圆弧轨道相接于点，从点水平向右飞出的小球恰能从点沿圆弧切线方向进入轨道，与竖直方向的夹角为，若为斜面在水平面上的投影，且的长度为，不计空气阻力，则的高度为（     ） A． B． C． D． 9．(25-26高一下·福建莆田·期末)如图甲所示，竖直面内固定有一半径为R=0.75 m的圆弧轨道BC，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α=37°，现将一质量为m=1 kg的小滑块（可视为质点）从空中的A点以v0=3 m/s的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点，小滑块到达C点时速度大小vC=4 m/s，并从D点滑上置于光滑水平面上的足够长的木板，长木板上表面与光滑的CD平台等高。图乙为长木板运动的Ek-x图像，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求 (1)A、B两点的高度差h； (2)小滑块在BC段运动过程中克服摩擦做的功W； (3)小滑块与长木板间的摩擦因数μ及长木板的质量M。 10．(25-26高一下·安徽黄山屯溪第一中学·期中)如图所示，将一质量为的小球自水平平台右端O点以初速度水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，半径，截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，（整个过程忽略空气阻力，，）求： (1)小球在A点时的速度及平台末端O点到A点的竖直高度H； (2)小球运动到轨道最低点B时，小球对轨道的压力大小； (3)小球能否通过C点，请说明理由。 ⏳题型03 抛体运动和圆周运动的综合 11．(25-26高二上·湖南长沙同升湖高级中学·)如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球b能落到斜面上，下列说法正确的是（　　） A．a球可能先落在半圆轨道上 B．a球一定先落在半圆轨道上 C．a、b不可能同时分别落在半圆轨道和斜面上 D．b球一定先落在斜面上 12．(24-25高二上·安徽部分学校·开学考)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，之后的运动可视为平抛运动，摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩托车在空中相同时间内速度的变化量不相同 B．若摩托车能越过壕沟，则其所用时间为 C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为 D．若摩托车越不过壕沟，则初速度越小其在空中的运动时间越短 13．（多选）如图所示，半径的光滑圆管竖直固定，圆管上端切线水平，下端正下方有一竖直固定的轻质弹簧，O为圆心。倾角为的斜面底端位于O点，斜面顶端与圆管最高点等高。现用弹簧将一钢珠可视为质点，直径略小于圆管直径射入圆管，钢珠从圆管上端飞出后恰好击中斜面中点。不计空气阻力，重力加速度g取下列说法正确的是 A．钢珠从圆管飞出后在空中运动的过程中，重力的功率与时间成正比 B．钢珠在圆管中运动的过程中，圆管对钢珠作用力的功率逐渐减小 C．钢珠从圆管飞出时的速度大小为 D．若调整弹簧压缩量改变钢珠射入圆管速度，当钢珠下落的高度击中斜面时其动能最小 14．(25-26高一下·湖北襄阳第三中学等校·)如图所示，从点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点），当物块运动至点时，恰好无碰撞的进入半径，圆心角为的粗糙圆弧轨道，与圆心在同一竖直线上，与的高度差。小物块从点进入半径为的光滑小圆周轨道。重力加速度取，求： (1)小物块到达点的速度大小； (2)若小物块恰好通过小圆周的最高点，求通过小圆周轨道最高点时的速度大小； (3)若小物块运动过程中能够到达点且未脱离小圆周轨道，求在粗糙圆弧轨道上运动时，小物块克服阻力所做的功满足的条件。 15．(25-26高一上·江苏常州第二中学·期末)某极限运动公园内设有专业滑板赛道，赛道有倾斜直道、圆弧赛道、倾斜直道和水平赛道平滑连接而成。圆弧的圆心为的中点，图中角均为（，），圆弧半径，，将运动员和滑板视为质点，忽略空气阻力，取， (1)若运动员从点以速度水平飞出，恰好落在点，求的大小； (2)若运动员从点沿赛道切线方向以速度水平飞出后，恰好落在点，求的大小； (3)若运动员从点以的速度水平飞出，求他在空中运动的时间。 重难·创新演练 设题创新:结合生活实际(T1,T5,T6); 一、单选题 1．(25-26高一下·福建莆田·期末)如图所示，池塘荷叶上可视为质点的青蛙以速度v0水平跳出，恰好垂直落在正对的堤面上。已知堤面的倾角θ=30°，不计空气阻力，青蛙落在堤面时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 2．(25-26高一下·浙江杭州·期末)如图所示，以v0 = 10m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角（θ = 30°的斜面上，忽略空气阻力，其中g = 10m/s2，以下结论中正确的是（   ） A．物体飞行时间是 B．物体撞击斜面时的速度大小为 C．物体飞行的位移是 D．物体下落的竖直距离是10m 3．(25-26高一下·重庆鲁能巴蜀中学校·)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直于倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径，小球可看作质点且其质量，g取。则（　　） A．小球在B点时的速度大小为4m/s B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.45m C．小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是1N D．小球在C点时的速度大小为3m/s 4．(25-26高二下·湖南衡阳衡阳县·期末)如图，有一倾角为θ的斜面固定在水平面上，两个小球甲、乙分别从斜面上以大小相等的初速度抛出，甲、乙两球的初速度与斜面的夹角分别为α和β，两球抛出后都落在了斜面上。忽略空气阻力，则甲、乙两小球在空中运动的时间之比为（　　） A． B． C． D． 5．(25-26高二下·浙江温州新力量联盟·期末)如图所示，一无人机携带救援物资进行救援任务，飞到O点时悬停，以9 m/s的水平速度向右弹出物资，物资恰好垂直打在倾角斜坡上的A点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．物资落到A点的时间为0.9 s B．物资弹出的位置离落地点的水平距离为10.8 m C．若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，则物资仍能垂直打在斜坡上 D．若其他条件不变，弹出的初速度减小，则物资落到斜坡上的时间不变 6．(25-26高一下·江苏南京金陵中学·期末)如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（     ） A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度等于 C．两谷粒从到的平均速度相等 D．若两谷粒在点相遇，应先抛谷粒2 二、多选题 7．(25-26高一下·河南部分校·期末)自由式滑雪运动是冬奥会极具观赏性的比赛项目。某次比赛中一运动员的简化运动过程如图所示。运动员从较高的坡面滑到倾角的斜坡顶端A处时，以一定的初速度沿水平方向飞离斜坡，最终落在斜坡上的B处。已知运动员在空中运动过程中离斜坡的最大距离为d，不计空气阻力，运动员可看成质点，运动员的质量为m，重力加速度为g，。则下列说法正确的是（     ） A．运动员从A点滑出的速度大小为 B．运动员在空中运动的时间为 C．运动员离斜坡最远时重力的功率为 D．A、B两点的高度差为5d 三、解答题 8．(25-26高一下·山东青岛莱西·)如图所示为滑雪运动员从A点水平起跳后，落到直斜坡上的情景。某次跳跃时该运动员沿斜坡上运动的距离，已知运动员质量为m=50 kg，斜坡倾角为θ=30°，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力。 (1)求运动员从A运动到B点的时间t； (2)求运动员在A点起跳时的速度大小v0； (3)若运动员从A点起跳后，一直受到水平向右恒定的风力F作用，最后恰好沿竖直方向落在斜坡上，求运动员受到的风力大小F。 9．(25-26高一下·广东湛江第一中学·期末)跳台滑雪训练中，运动员从跳台a点沿水平方向飞出，在斜坡b点着陆，如图所示。已知a、b间距离，斜坡与水平方向夹角为30°，不计空气阻力，取。求： (1)运动员在空中飞行的时间t； (2)运动员从a点飞出时的速度大小； (3)运动员落到b点时的速度大小v； (4)落地速度方向与水平方向夹角的正切值。 10．(25-26高二下·河北部分学校·期末)如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，从斜面底端正上方的O点将一小球以大小的速度水平抛出，与此同时，一滑块由斜面底端沿斜面向上滑动，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面上的P点击中上滑的滑块。取重力加速度大小，，，小球和滑块均视为质点，不计空气阻力。求： (1)小球在空中运动的时间t； (2)滑块上滑的初速度大小v； (3)O点距斜面底端的高度h。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $