精品解析：江苏南通市如皋市2027届高三上学期第一次阶段检测数学试题

高三练习卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 3. 下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 18 7. Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 11. 棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，平面 C. 若，则与平面所成角的最小值为 D. 当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则___________． 13. 将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 14. 设，若对任意的实数，都有成立，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 16. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． （1）设平面平面，证明：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 17. 已知函数(且). （1）当时，求函数的极值； （2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； （3）若有解，求的取值范围. 18. 袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为，取出个小球的最小编号为． （1）当，时， ①求的分布列； ②求； （2）当时，求； （3）求． 19. 设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； （3）证明：函数具有性质的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三练习卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：​，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得， 故. 3. 下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可. 【详解】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在R上单调递减，所以函数在定义域R上单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，,因为，所以函数是偶函数，不符合题意，C错误； 选项D，在中，由，得解得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，符合题意，D正确． 4. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出选项中的关系，利用充要条件的定义即可判断. 【详解】对于选项A，由得，即，所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于选项B，取，则，所以不是的必要条件，故B错误； 对于选项C，等价于，所以是的充要条件，故C错误； 对于选项D，等价于，所以是的充要条件，故D错误. 5. 已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三棱锥的体积公式列式求解. 【详解】由平行六面体的体积为8，得， 设到平面的距离为，由，得， 而的面积为，解得， 所以到平面的距离为. 6. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数值域求出的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程实根关系列式求解. 【详解】由函数的值域为， 得，即， 不等式， 由不等式的解集为， 得是方程的两个实根， 因此，解得， 所以实数的值为9. 7. Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，电池容量不变，所以. 所以. 因为，且. 所以. 因此. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的偶函数条件得到的对称关系并求导判断B，再用反例排除A、C、D. 【详解】因为为偶函数，所以. 令，则，所以，即. 两边关于求导，得. 又，所以，即， 因此的图象关于点对称，B正确. 为排除A、C、D，取，则为偶函数， 且为奇函数，满足题设条件. 此时，，所以的图象不关于直线对称，A不正确. 又，所以不为偶函数，C不正确. 当时，依次为，并以为周期. 因为，所以，D不正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由正态分布可求得，判断A；易得在上是减函数，可判断B；计算，可判断C；证明可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，当增大时，减少， 所以在上是减函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若的图象关于点中心对称，则， 因为服从正态分布，所以关于对称， 所以， 则，故D正确. 故选：AD. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 11. 棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，平面 C. 若，则与平面所成角的最小值为 D. 当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用法向量证明直线平行于平面法向量，进而由线面垂直直接推导出面面垂直；对于B，通过证明直线的方向向量与平面的法向量数量积为零，判定该直线与平面平行；对于C，根据距离条件解析出动点的圆弧轨迹，通过寻找轨迹上距离最远的点来确定最小线面角；对于D，利用截面与球心连线垂直时面积最小的几何性质，结合勾股定理即可求得截面面积最小值. 【详解】以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 且，则， 对于A，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， ，即与平面的法向量平行，则平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，若，则，则有，即， 则， 则， 因此，因为点不在平面内，所以平面，故B正确； 对于C，由，得， 即，因为，如图， 点的轨迹是平面内，以为圆心，1为半径的一段四分之一圆弧， 易得平面， 所以与平面所成的角为， 所以在中，， 要使最小，则使最小，即求的最大值， 显然点与点或重合时，取最大值1， 所以，即，C正确； 对于D，若，则，即面的中心， 易得正方体外接球的球心位于体对角线的中点，坐标为， 外接球半径满足， 球心到点的距离的平方为， 过球内一点作截面，当截面垂直于直线时，截面圆的面积最小， 设最小截面圆的半径为，则有， 则截面面积的最小值，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则___________． 【答案】2 【解析】 【详解】注意到， 因此． 13. 将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则___________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】先分析二项展开式中系数为负数的项的个数，再计算排列中存在系数为负数的项相邻（即）的概率，最后即可根据期望的定义计算． 【详解】二项式的通项公式为， 显然该二项式展开共有项，且当时，即第项系数为负数， 所以存在系数为负数的项相邻的排列数为, 又排列总数为，所以， 因此． 14. 设，若对任意的实数，都有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数和将原不等式转化为两函数同号的问题，通过排除法确定后，分类讨论两函数恒非负或在同区间内同负的情况，从而求得的取值范围. 【详解】设，， 由题意得对任意，都有，则和同号或其中一个为0， 若，当时，，且，则，所以， ， 当时，因为，，，所以， ，所以，此时，与题意矛盾，故舍去， 当时，恒成立，而， 其判别式，即存在小于0的解， 因此不恒成立，故舍去， 综上，， ①恒成立，即，且恒成立， 若，则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为，所以，解得， 因为为开口向上的二次函数， 则有，解得， 综上，的取值范围为， ②在某些区间内小于0，在这些区间内小于0，在其它区间内大于等于0， 由①知，当时，的最小值小于0，则有两个不同的实数根， 将其设为，，设，则， 因为，且易得在上都小于0，所以无需讨论时的情况， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，因此当时直线与有两个交点， 且分别位于的两侧，即， 在区间内，，若保证恒成立， 则在内也小于等于0，且在其它区间大于等于0， 因为为开口向上的二次函数，则的两个根必须恰好也是， 由韦达定理得，， 因为，所以，解得， 与前设条件矛盾，故舍去该种情况， 综上，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】（1） （2）当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【解析】 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【小问1详解】 由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． 【小问2详解】 因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 16. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． （1）设平面平面，证明：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为为正方形， 所以，又因为平面，面， 所以平面， 又因为平面平面，平面 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理即可证明； （2）利用空间向量法，分别求出两个面的法向量即可求出答案；也可以利用面面角的定义找到所求角，借助三角函数定义求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）设的边上的高为，则， 当三棱锥的体积最大时，，即B为的中点. 法1：因为B为的中点，所以，因为面，，面，所以，以，，为x，y，z轴正方向，建立如图所示坐标系 因为，，，面，，所以面，所以面的法向量 设面的法向量，，，，，所以，令，则，，所以 设二面角的平面角为，， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 法2：连接，作，连接 因为，，，面，， 所以面. 又因为面，所以. 又因为，，面，， 所以面. 因为面， 所以. 因为，面，面， 所以为二面角的平面角. 在中，，，， 所以， 所以， 所以二面角的余弦值为 17. 已知函数(且). （1）当时，求函数的极值； （2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； （3）若有解，求的取值范围. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2），切点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导判断单调性，再计算极值即可； （2）根据切线性质列出方程组，化简消去a，再构造新函数求解即可； （3）通过分析对不等式进行转化；或者直接构造含参函数，分类讨论函数单调性. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， ，令，得. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以在处取极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ， 设切点为，切线的斜率为1， 所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①②得，， 设，， 由，当时，，单调递增， 时，，单调递减， 又，所以是的唯一零点， 所以，代入①得，切点坐标为. 【小问3详解】 法1：令，，令，得， 令，得，所以t在单调递减，在单调递增 因为时，所以 ①时，有解，， ； ②时，，舍去； ③时，有解，，. 综上：. 法2：因为有解，所以有解. 记， ①时，恒成立，所以在单调递增， 当，， 所以恒有解，所以； ②时，，无解，舍去； ③时， x + 0 - 极大值 所以，，， 所以 . 综上：. 18. 袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为，取出个小球的最小编号为． （1）当，时， ①求的分布列； ②求； （2）当时，求； （3）求． 【答案】（1）①分布列为： X 3 4 5 P ② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按最大编号分类，用组合数计算概率，再根据条件概率的定义求解；（2）把抽取过程等价地看成随机留下一个小球，据此求随机变量的方差；（3）先求最大编号的分布，再利用离散型随机变量的期望公式和组合数的递推关系化简． 【小问1详解】 （1）①，时，随机从编号1～5的5个小球中取出3个共有种情况， 的可能取值为3，4，5， ，，. 分布列如表所示 X 3 4 5 P ②. 【小问2详解】 （2）的可能取值为或. 当取出的所有小球中不含原来的最大编号小球时，所得最大编号比原最大编号小1； 其余情况下所得最大编号仍为原最大编号． ； ； ； . 【小问3详解】 （3）选取m个不同的元素，有种方法， 要满足，则需取出元素k，其余个元素是从小于k的个元素中选出的， 所以（）. . 因为. 所以 . 19. 设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； （3）证明：函数具有性质的充要条件是． 【答案】（1）具有性质，理由为： 由得，.设，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得，即， 故函数具有性质. （2） （3）证明：由得，，由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值0， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，由函数的性质可得，即， 且当时，，，，则， 则存在满足，即成立，所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则， 由得， 若，则，与已知矛盾. 若，设，则， 即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 先证明， 令，，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾. 综上，函数具有性质的充要条件为. 【解析】 【分析】（1）利用定义检验即可； （2）利用定义将问题转化成三次函数问题，分离参数，利用函数有三个解即可研究参数的范围； （3）利用定义，结合逻辑关系，从充分性和必要性两个方向出发，结合导数知识即可证明. 【详解】（1）略. （2）解：.由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得 即，即 由已知方程有三个不相等的实数根. 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值0 ↘ 极小值 ↗ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的a的取值范围是. （3）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $