4.2 平行线 同步练习 2026--2027学年华东师大版七年级数学上册

**基本信息** 以“典例引领+分层训练”构建平行线知识体系，覆盖概念理解、技能应用到综合拓展，梯度清晰，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|平面内直线位置关系、平行公理及推论|典例为基础选择/填空，如长方形平行线组数，夯实概念| |技能应用|平行线判定（同位角/内错角/同旁内角）与性质|举一反三含几何推理填空，如补全“内错角相等证平行”过程，培养推理意识| |综合拓展|尺规作图、实际应用（如管道拐角、光的反射）及判定与性质综合|结合生活情境（如风车叶片平行问题）和跨知识点综合题，发展几何直观与应用意识|

华师大版（2024）七年级上册 4.2 平行线 题型专练 【题型1】平面内两直线的位置关系 【典例】长方形中的平行线有(　　) A.1组   B.2组   C.3组   D.4组 【举一反三1】下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线平行，则这三条直线交点的个数为(　　) A.0   B.1   C.2   D.3 【举一反三3】在同一平面内，两条直线有　　　种位置关系，它们是　　　　． 【举一反三4】如图是“探究光的反射规律”的装置.将一张可以沿ON折叠的长方形硬纸板ABCD垂直放置在平面镜上(折叠成2个小长方形)，让一束光紧贴硬纸板射向镜面上的O点，可在ABCD平面内看到反射光线.实验中无论怎样折叠长方形硬纸板，AD和BC的位置关系总是不变的吗？为什么？如果不变，请说明AD与BC的位置关系. 【举一反三5】一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题： （1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来； （2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来； （3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角） 【题型2】平行公理 【典例】下列说法中，正确的是(　　) A.两条不相交的直线叫做平行线 B.一条直线的平行线有且只有一条 C.在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c D.若两条线段不相交，则它们互相平行 【举一反三1】下列说法正确的是（　　） A.延长射线AB到C B.若AM＝BM，则M是线段AB的中点 C.两点确定一条直线 D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【举一反三2】如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN 　　　　（填“平行”或“不平行”），理由是 　　　　　　　　　　． 【举一反三3】过已知直线外一点有且 　　　　一条直线与已知直线平行． 【举一反三4】如图所示的是一个风车，如果AB旋转到与地面MN平行的位置，请问 CD 也能同时与地面MN平行吗？为什么？ 【题型3】平行公理的推论 【典例】在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 【举一反三1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A.∵a∥b，b∥c，∴c∥d B.∵a∥c，b∥d，∴c∥d C.∵a∥b，a∥c，∴b∥c D.∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【举一反三2】若a∥b，c∥b，则a与c的关系是(　　) A.平行   B.垂直 C.相交   D.以上都不对 【举一反三3】如图，AB∥CD，过点 E画 EF∥AB，则EF与CD 的位置关系是　　　，理由是　　　　　　　　　　　　. 【举一反三4】如图. (1)过点C画CE∥AD交AB于点E； (2)过点B画BF∥AD交DC的延长线于点F； (3)试判断CE和BF有什么关系？为什么？ 【举一反三5】如图，P，Q分别是直线EF外两点. (1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF； (2)直线AB与CD有怎样的位置关系？为什么？ 【题型4】同位角相等两直线平行 【典例】下列四个图形中，∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知∠2=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是(　　) A.∠1=90°   B.∠3=90° C.∠4=90°   D.∠5=90° 【举一反三2】如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 　　　°． 【举一反三3】如图，已知点A，B，C和点D，E，F分别在同一直线上，∠1＝∠2，那么可以最终推出 　　　∥　　　，判定平行的理由是 　　　　　　　　． 【举一反三4】如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD． 【举一反三5】如图，已知AP和BQ分别平分∠MAN和∠ABR，且∠1=∠2，试说明：a∥b. 【题型5】内错角相等两直线平行 【典例】如图，下列判定错误的是（　　） A.因为∠1＝∠2，所以c∥d B.因为∠3＝∠4，所以c∥d C.因为∠1＝∠3，所以a∥b D.因为∠1＝∠4，所以a∥b 【举一反三1】下列说法正确的是（　　） A.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直 B.内错角互补，两直线平行 C.平行于同一直线的两条直线互相平行 D.相等的两个角是对顶角 【举一反三2】已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3.试说明：AB∥DC.(请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由) 解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)， ∴∠1=∠ABC，∠2=　　　　(　　　　　　　)， ∵∠ABC=∠ADC(已知)， ∴∠　　　　=∠　　　　(等量代换). ∵∠1=∠3(　　　　)， ∴∠2=∠　　　　(　　　　　). ∴　　　　∥　　　　(　　　　　　　　　　　　). 【举一反三3】根据下面的推理过程，在括号内写明理由. 如图，点A，B，C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF=90°，DB⊥BF，试说明：AD∥BE. 解：∵DB⊥BF(已知)， ∴∠DBE+∠EBF=∠DBF=90°(　　　　　　　). ∵BF平分∠EBC(已知)， ∴∠EBF=∠CBF(　　　　　　　　). ∵∠D+∠CBF=90°(已知)， ∴∠DBE=∠D(　　　　　　　　　). ∴AD∥BE(　　　　　　　　　　). 【举一反三4】如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF. (1)试说明：OC⊥OD； (2)若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB. 【举一反三5】完成下面的证明：如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD． 求证：AC∥BD． 证明：∵∠C＝∠COA， ∠D＝∠BOD， 又∵∠COA＝　　　　　　，（ 　　　　　　　　　　）， ∴∠C＝　　　　， ∴AC∥BD（ 　　　　　　　　　　　　）． 【题型6】同旁内角互补两直线平行 【典例】数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得DE∥BC，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（　　） A.亮亮 B.天天 C.花花 D.丽丽 【举一反三1】如图，根据下列条件可以判定AD∥BC的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠3＝∠4 C.∠DAB+∠ADC＝180° D.∠ABC+∠BAD＝180° 【举一反三2】如图，下列条件中，不能判定CD∥AB的是（　　） A.∠A＝∠ECD B.∠B＝∠DCB C.∠A+∠ACD＝180° D.∠B＝∠ECD 【举一反三3】如图，点A，B，E在同一条直线上，添加一个条件 　　　　，即可证明AD∥BC． 【举一反三4】如图，在不添加任何辅助线的前提下，添加必要的一个条件，使得AB∥CD，这个条件可以是　　　　　　　　　（只填一个条件即可）． 【举一反三5】如图所示，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，∠BCD=70°，管道AB，CD平行吗？请说明理由. 【举一反三6】如图，已知∠1=∠2，∠D+∠C=180°，试说明：EF∥BC. 【题型7】平行线的尺规作图 【典例】如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB的平行线，步骤如下． ①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D； ②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M； ③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA即为所求． 小亮作图的依据是（　　） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.以上结论都不正确 【举一反三1】数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线a的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是（　　） A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误 【举一反三2】如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是 　　　　　　　　　　　　　　． 【举一反三4】阅读下面的题目和小亮的解答． （1）小亮的解答正确吗？说明理由． （2）请你用一种与小亮不同的方法完成题目． 【举一反三5】已知∠BAC，点D是AC边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程． （1）用尺规作图在AC的右侧以点D为顶点作∠CDP＝∠CAB； （2）射线DP与AB的位置关系为 　　　　　　，理由是 　　　　　　　　　　　　． 【题型8】两直线平行同位角相等 【典例】如图，下列判断正确的是（　　） A.因为a∥b，所以∠3+∠4＝180° B.因为∠1＝∠2，所以a∥b C.因为a∥b，所以∠2＝∠3 D.因为l∥m，所以∠3＝∠4 【举一反三1】如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠2＝68°，则∠1的度数为（　　） A.112° B.122° C.68° D.22° 【举一反三2】如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点A落在直尺的一边上，若∠1＝28°，则∠2＝　　°． 【举一反三3】把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1＝48°，则∠2的度数为 　　． 【题型9】两直线平行内错角相等 【典例】如图，BE∥CD，BD平分∠CBE，∠CBE＝110°，∠E＝125°，则∠ADC度数是（　　） A.35° B.45° C.25° D.30° 【举一反三1】如图，已知AD∥BC，则（　　） A.∠1＝∠2 B.∠3＝∠4 C.∠A＝∠C D.∠2＝∠3 【举一反三2】如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点E、F，射线EG⊥直线c，若∠1＝30°，则∠2＝　　　°． 【举一反三3】如图，AB∥CD∥EF，则∠1、∠2、∠3的关系为 　　　　　　　． 【举一反三4】如图，已知AB∥CD，∠C＝35°，BC平分∠ABE，则∠ABE的度数是 　　　． 【题型10】两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，直线a∥b，将一块含30°的直角三角板按如图方式放置，其中A，C两点分别落在直线a，b上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A.20° B.30° C.40° D.45° 【举一反三1】如图，将一张长方形纸片进行折叠，若∠2﹣∠1＝20°，则∠EFC的度数为（　　） A.130° B.100° C.80° D.150° 【举一反三2】如图，l1∥l2，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为　　　　. 【举一反三3】若AB∥CD，BC∥DE，∠B=65°，则∠D的度数为　　　　. 【举一反三4】如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道AB和CD，如果公路一侧铺设的管道AB与纵向连通管道AC的夹角∠BAC为120°，求公路另一侧铺设的管道CD与纵向连通管道AC的夹角∠DCA的度数. 【题型11】平行线的性质在生活中的应用 【典例】如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是（　　） A.20° B.30° C.50° D.70° 【举一反三1】如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若AB∥CD，∠ABE＝125°，则∠BCD＝（　　） A.55° B.75° C.60° D.65° 【举一反三2】共享单车为市民的绿色出行提供了方便.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=α，∠BAC=β，AM∥CB，则∠MAC=　　　　　.(用含α，β的式子表示) 【举一反三3】探索发现：(1)如图1，已知直线AC∥BD.若∠ACP=30°，∠BDP=45°，求∠CPD的度数； 归纳总结：(2)根据(1)中的问题，直接写出图中∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的数量关系　　　　　　　　； 实践应用：(3)如图2，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点A铺设到点B时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东30°方向埋设到点C，再沿障碍物边缘埋设到点D处，测得∠BCD=65°.若要恢复原来的正东方向DE，则∠CDE应等于多少度？ 【举一反三4】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 【题型12】综合运用平行线的判定定理和性质定理 【典例】如图，已知∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，点E是线段BA延长线上一点，且∠ACB＝∠ADE．以下结论错误的是（　　） A.ED∥AC B.BE∥CD C.CA平分∠BCE D.∠BED＝∠ACD 【举一反三1】下列关于平行线的说法正确的是（　　） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②同位角相等； ③同旁内角互补，两直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行． A.③ B.①③ C.②③ D.①③④ 【举一反三2】将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°，则下列结论正确的有（　　） ①∠BAE+∠CAD＝180°； ②如果∠2与∠E互余，则BC∥DA； ③如果BC∥AD，则有∠2＝45°； ④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C． A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【举一反三3】如图，已知：∠B+∠DAB＝180°，AC平分∠DAB，如果∠C＝50°，那么∠B＝　　　． 【举一反三4】如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°，求证：∠FAB＝∠BDC．请将下面证明过程补充完整． 证明：∵AC∥EF（已知）， ∴∠1+∠FAC＝180°（ 　　　　　　　　　　　　）． 又∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴　　　　　　　（同角的补角相等）． ∴FA∥CD（ 　　　　　　　　　　　　）． ∴∠FAB＝∠BDC（ 　　　　　　　　　　　　）． 【举一反三5】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2＝180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由． 华师大版（2024）七年级上册 4.2 平行线 题型专练（参考答案） 【题型1】平面内两直线的位置关系 【典例】长方形中的平行线有(　　) A.1组   B.2组   C.3组   D.4组 【答案】B 【解析】 长方形对边平行，有2组. 【举一反三1】下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD． 因为A、B、C都是特殊的四边形，正确； 故选：D． 【举一反三2】在同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线平行，则这三条直线交点的个数为(　　) A.0   B.1   C.2   D.3 【答案】C 【解析】 根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点. 【举一反三3】在同一平面内，两条直线有　　　种位置关系，它们是　　　　． 【答案】两　　相交和平行 【解析】在同一平面内，两条不重合直线有两种位置关系，它们是相交和平行， 故答案为：两，相交和平行． 【举一反三4】如图是“探究光的反射规律”的装置.将一张可以沿ON折叠的长方形硬纸板ABCD垂直放置在平面镜上(折叠成2个小长方形)，让一束光紧贴硬纸板射向镜面上的O点，可在ABCD平面内看到反射光线.实验中无论怎样折叠长方形硬纸板，AD和BC的位置关系总是不变的吗？为什么？如果不变，请说明AD与BC的位置关系. 【答案】 解　AD和BC的位置关系总是不变，总有AD∥BC，理由如下： 因为四边形ADON是长方形，所以AD∥NO， 因为四边形BCON是长方形，所以BC∥NO， 所以AD∥BC. 【举一反三5】一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题： （1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来； （2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来； （3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角） 【答案】解　此题答案不唯一，只要答案正确即可得分． （1）如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB． （2）如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD． （3）如：钝角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°． 直角有：∠ADE＝90°． 如：锐角∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°． 【题型2】平行公理 【典例】下列说法中，正确的是(　　) A.两条不相交的直线叫做平行线 B.一条直线的平行线有且只有一条 C.在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c D.若两条线段不相交，则它们互相平行 【答案】C 【解析】 对于A，平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故错误； 对于B，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.一条直线的平行线有无数条，故错误； 对于C，在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行，故正确； 对于D，根据平行线的定义可知是错误的. 【举一反三1】下列说法正确的是（　　） A.延长射线AB到C B.若AM＝BM，则M是线段AB的中点 C.两点确定一条直线 D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【解析】A．射线本身可以无限延伸的，不需要延长，原说法错误，不符合题意； B．若AM＝BM，此时点M在线段AB的垂直平分线上，原说法错误，不符合题意； C．两点确定一条直线，原说法正确，符合题意； D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN 　　　　（填“平行”或“不平行”），理由是 　　　　　　　　　　． 【答案】不平行　　过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】∵AB不平行于CD，AB∥MN， ∴CD不平行于MN（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故答案为：不平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【举一反三3】过已知直线外一点有且 　　　　一条直线与已知直线平行． 【答案】只有 【解析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：只有． 【举一反三4】如图所示的是一个风车，如果AB旋转到与地面MN平行的位置，请问 CD 也能同时与地面MN平行吗？为什么？ 【答案】 解　不能. 理由：过直线外一点(点 O )有且只有一条直线与已知直线平行. 【题型3】平行公理的推论 【典例】在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 【答案】B 【解析】若a∥b，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 【举一反三1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A.∵a∥b，b∥c，∴c∥d B.∵a∥c，b∥d，∴c∥d C.∵a∥b，a∥c，∴b∥c D.∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【答案】C 【解析】A．∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意； B．∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意； C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意； D．∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】若a∥b，c∥b，则a与c的关系是(　　) A.平行   B.垂直 C.相交   D.以上都不对 【答案】A 【举一反三3】如图，AB∥CD，过点 E画 EF∥AB，则EF与CD 的位置关系是　　　，理由是　　　　　　　　　　　　. 【答案】 EF∥CD　平行于同一条直线的两条直线互相平行 【举一反三4】如图. (1)过点C画CE∥AD交AB于点E； (2)过点B画BF∥AD交DC的延长线于点F； (3)试判断CE和BF有什么关系？为什么？ 【答案】 解　(1)如图，CE即为所求. (2)如图，BF即为所求. (3)CE∥BF. 理由：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 【举一反三5】如图，P，Q分别是直线EF外两点. (1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF； (2)直线AB与CD有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】 解　(1)如图所示，AB，CD即为所求. (2)直线AB与CD互相平行，理由：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【题型4】同位角相等两直线平行 【典例】下列四个图形中，∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD， 故A不符合题意； B．如图， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD， 故B符合题意； C．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD， 故C不符合题意； D．∵∠1＝∠2， ∴AC∥BD， 故D不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】如图，已知∠2=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是(　　) A.∠1=90°   B.∠3=90° C.∠4=90°   D.∠5=90° 【答案】C 【解析】 由∠1=90°不能判定两条铁轨平行，故A选项不符合题意；由∠3=90°=∠1，可判定两枕木平行，故B选项不符合题意；∵∠2=90°，∠4=90°，∴∠2+∠4=180°，∴两条铁轨平行，故C选项符合题意；由∠5=90°不能判定两条铁轨平行，故D选项不符合题意. 【举一反三2】如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转 　　　°． 【答案】25 【解析】如图， ∵∠AOC＝∠1＝50°时，AB∥b， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°﹣50°＝25°． 故答案为：25． 【举一反三3】如图，已知点A，B，C和点D，E，F分别在同一直线上，∠1＝∠2，那么可以最终推出 　　　∥　　　，判定平行的理由是 　　　　　　　　． 【答案】BD　　CE　　同位角相等，两直线平行 【解析】如图，AF交CE于点M， ∵∠1＝∠2，∠2＝∠AMC， ∴∠1＝∠AMC， ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：BD；CE；同位角相等，两直线平行． 【举一反三4】如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD． 【答案】证明　∵CE平分∠ACD，∠1＝30°， ∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义）， ∵∠2＝60°，（已知）， ∴∠2＝∠ACD（等量代换）， ∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）． 【举一反三5】如图，已知AP和BQ分别平分∠MAN和∠ABR，且∠1=∠2，试说明：a∥b. 【答案】 解　∵AP和BQ分别平分∠MAN和∠ABR，∴∠MAN=2∠1，∠ABR=2∠2(角的平分线的定义)， ∵∠1=∠2(已知)， ∴∠MAN=∠ABR(等量代换)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 【题型5】内错角相等两直线平行 【典例】如图，下列判定错误的是（　　） A.因为∠1＝∠2，所以c∥d B.因为∠3＝∠4，所以c∥d C.因为∠1＝∠3，所以a∥b D.因为∠1＝∠4，所以a∥b 【答案】C 【解析】A．因为∠1＝∠2，所以c∥d（内错角相等，两直线平行），故本选项正确； B．因为∠3＝∠4，所以c∥d （同位角相等，两直线平行），故本选项正确； C．由∠1＝∠3，不能得到a∥b，故本选项错误； D．因为∠1＝∠4，所以a∥b（内错角相等，两直线平行），故本选项正确； 故选：C． 【举一反三1】下列说法正确的是（　　） A.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直 B.内错角互补，两直线平行 C.平行于同一直线的两条直线互相平行 D.相等的两个角是对顶角 【答案】C 【解析】A．因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故选项不符合题意； B．内错角相等，两直线平行，故选项不符合题意； C．平行于同一直线的两条直线互相平行，故选项符合题意； D．相等的角不一定是对顶角，故选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3.试说明：AB∥DC.(请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由) 解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)， ∴∠1=∠ABC，∠2=　　　　(　　　　　　　)， ∵∠ABC=∠ADC(已知)， ∴∠　　　　=∠　　　　(等量代换). ∵∠1=∠3(　　　　)， ∴∠2=∠　　　　(　　　　　). ∴　　　　∥　　　　(　　　　　　　　　　　　). 【答案】 ∠ADC　角平分线的定义　1　2　已知　3　等量代换　AB　DC　内错角相等，两直线平行 【举一反三3】根据下面的推理过程，在括号内写明理由. 如图，点A，B，C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF=90°，DB⊥BF，试说明：AD∥BE. 解：∵DB⊥BF(已知)， ∴∠DBE+∠EBF=∠DBF=90°(　　　　　　　). ∵BF平分∠EBC(已知)， ∴∠EBF=∠CBF(　　　　　　　　). ∵∠D+∠CBF=90°(已知)， ∴∠DBE=∠D(　　　　　　　　　). ∴AD∥BE(　　　　　　　　　　). 【答案】 垂直的定义　角平分线的定义　等角的余角相等　内错角相等，两直线平行 【举一反三4】如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF. (1)试说明：OC⊥OD； (2)若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB. 【答案】 解　(1)∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，∴∠COF=∠AOF，∠DOF=∠BOF， ∵∠AOF+∠BOF=180°，∴∠COF+∠DOF=(∠AOF+∠BOF)=90°，∴OC⊥OD. (2)由(1)知，OC⊥OD，∴∠COD=90°，∴∠1+∠DOB=90°，∵∠D+∠1=90°， ∴∠D=∠DOB，∴ED∥AB. 【举一反三5】完成下面的证明：如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD． 求证：AC∥BD． 证明：∵∠C＝∠COA， ∠D＝∠BOD， 又∵∠COA＝　　　　　　，（ 　　　　　　　　　　）， ∴∠C＝　　　　， ∴AC∥BD（ 　　　　　　　　　　　　）． 【答案】证明　∵∠C＝∠COA， ∠D＝∠BOD， 又∵∠COA＝∠BOD，（ 对顶角相等）， ∴∠C＝∠D， ∴AC∥BD（ 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠BOD；对顶角相等；∠D；内错角相等，两直线平行． 【题型6】同旁内角互补两直线平行 【典例】数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得DE∥BC，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（　　） A.亮亮 B.天天 C.花花 D.丽丽 【答案】C 【解析】A．由同位角相等，两直线平行判定DE∥BC，故A不符合题意； B．由同旁内角互补，两直线平行判定DE∥BC，故B不符合题意； C．由内错角相等，两直线平行判定DF∥AC，不能判定ED∥BC，故C符合题意； D．由内错角相等，两直线平行判定DE∥BC，故D不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】如图，根据下列条件可以判定AD∥BC的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠3＝∠4 C.∠DAB+∠ADC＝180° D.∠ABC+∠BAD＝180° 【答案】D 【解析】A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意； B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，不符合题意； C．∵∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，不符合题意； D．∵∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，符合题意． 故选：D． 【举一反三2】如图，下列条件中，不能判定CD∥AB的是（　　） A.∠A＝∠ECD B.∠B＝∠DCB C.∠A+∠ACD＝180° D.∠B＝∠ECD 【答案】D 【解析】A．∠A＝∠ECD，同位角相等，两直线平行，得到CD∥AB，不符合题意； B．∠B＝∠DCB，内错角相等，两直线平行，得到CD∥AB，不符合题意； C．∠A+∠ACD＝180°，同旁内角互补，两直线平行，得到CD∥AB，不符合题意； D．∠B＝∠ECD，无法判定CD∥AB，符合题意； 故选：D． 【举一反三3】如图，点A，B，E在同一条直线上，添加一个条件 　　　　，即可证明AD∥BC． 【答案】∠A+∠ABC=180°（答案不唯一） 【解析】可添加∠A+∠ABC=180°，则根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC． 故答案为：∠A+∠ABC=180°（答案不唯一）． 【举一反三4】如图，在不添加任何辅助线的前提下，添加必要的一个条件，使得AB∥CD，这个条件可以是　　　　　　　　　（只填一个条件即可）． 【答案】∠1＝∠C或∠C+∠4＝180°或∠3＝∠C（写出一个即可） 【解析】根据平行线的判定定理解答即可． 故答案为：∠1＝∠C或∠C+∠4＝180°或∠3＝∠C（写出一个即可）． 【举一反三5】如图所示，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，∠BCD=70°，管道AB，CD平行吗？请说明理由. 【答案】 解　平行.理由：∵∠ABC=110°，∠BCD=70°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 【举一反三6】如图，已知∠1=∠2，∠D+∠C=180°，试说明：EF∥BC. 【答案】 解　∵∠1=∠2，∠D+∠C=180°， ∴AD∥EF，AD∥BC， ∴EF∥BC. 【题型7】平行线的尺规作图 【典例】如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB的平行线，步骤如下． ①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D； ②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M； ③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA即为所求． 小亮作图的依据是（　　） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.以上结论都不正确 【答案】B 【解析】由作法可知：∠O＝∠OAE， 根据内错角相等，两直线平行，可得AE∥OB， 故选：B． 【举一反三1】数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线a的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是（　　） A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误 【答案】A 【解析】对于甲同学的作图，根据内错角相等，两直线平行，由甲同学的作图过程可判断b∥c； 对于乙同学的作图，根据同位角相等，两直线平行，由乙同学的作图过程可判断a∥b． 故选：A． 【举一反三2】如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．根据作图可知，BA平分∠PBC，PB＝PA， ∴∠PBA＝∠CBA，∠PAB＝∠PBA， ∴∠PAB＝∠CBA， ∴PA∥BC， 故A正确，不符合题意； B．如图，根据作图可知，∠EPB＝∠EFG， ∴AB∥l， 故B正确，不符合题意； C．根据作图无法判断所作直线与l平行， 故C不正确，符合题意； D．如图，根据作图可知，∠APF＝∠EFG， ∴AB∥l， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【举一反三3】如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是 　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【举一反三4】阅读下面的题目和小亮的解答． （1）小亮的解答正确吗？说明理由． （2）请你用一种与小亮不同的方法完成题目． 【答案】解　（1）错误，理由如下： 由作图可知，AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC， 但由作图得不出∠ACB＝∠BCD， ∴不能得出直线AB∥l； （2）如图，直线AB即为所求． 【举一反三5】已知∠BAC，点D是AC边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程． （1）用尺规作图在AC的右侧以点D为顶点作∠CDP＝∠CAB； （2）射线DP与AB的位置关系为 　　　　　　，理由是 　　　　　　　　　　　　． 【答案】解　（1）如图，∠CDP即为所求； （2）结论：DP∥AB． 理由：同位角相等，两直线平行． 故答案为：DP∥AB，同位角相等，两直线平行． 【题型8】两直线平行同位角相等 【典例】如图，下列判断正确的是（　　） A.因为a∥b，所以∠3+∠4＝180° B.因为∠1＝∠2，所以a∥b C.因为a∥b，所以∠2＝∠3 D.因为l∥m，所以∠3＝∠4 【答案】C 【解析】因为a∥b，所以∠3＝∠2， 故A错误，不符合题意； 因为∠1＝∠2，所以m∥l， 故B错误，不符合题意； 因为a∥b，所以∠2＝∠3， 故C正确，符合题意； 因为l∥n，所以∠3+∠4＝180°， 故D错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠2＝68°，则∠1的度数为（　　） A.112° B.122° C.68° D.22° 【答案】A 【解析】∵a∥b，∠2＝68°， ∴∠3＝∠2＝68°， ∵∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝112°． 故选：A． 【举一反三2】如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点A落在直尺的一边上，若∠1＝28°，则∠2＝　　°． 【答案】62 【解析】∵DC∥AE， ∴∠2＝∠CAE， ∵∠CAE＝90°﹣∠1＝90°﹣28°＝62°， ∴∠2＝62°． 故答案为：62． 【举一反三3】把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1＝48°，则∠2的度数为 　　． 【答案】42° 【解析】∵∠1＝48°，∠HEF＝90°， ∴∠CEB＝42°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， ∴∠2＝∠CEB＝42°， 故答案为：42°． 【题型9】两直线平行内错角相等 【典例】如图，BE∥CD，BD平分∠CBE，∠CBE＝110°，∠E＝125°，则∠ADC度数是（　　） A.35° B.45° C.25° D.30° 【答案】A 【解析】∵BD平分∠CBE，∠CBE＝110°， ∴， 由题知，∠F＝90°，∠E＝125°， ∴∠BDF＝360°﹣∠F﹣∠E﹣∠DBE＝360°﹣90°﹣125°﹣55°＝90°， ∵BE∥CD， ∴∠BDC＝∠DBE＝55°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC﹣∠BDF＝180°﹣55°﹣90°＝35°， 故选：A． 【举一反三1】如图，已知AD∥BC，则（　　） A.∠1＝∠2 B.∠3＝∠4 C.∠A＝∠C D.∠2＝∠3 【答案】A 【解析】A．由AD∥BC，推出∠1＝∠2，故A符合题意； B．由AB∥CD，推出∠3＝∠4，由AD∥BC，得不到∠1＝∠2，故B不符合题意； C．∠A和∠C不是同位角，也不是内错角，由AD∥BC，得不到∠A＝∠C，故C不符合题意； D．∠2和∠3不是同位角，也不是内错角，由AD∥BC，得不到∠2＝∠3，故D不符合题意． 故选：A． 【举一反三2】如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点E、F，射线EG⊥直线c，若∠1＝30°，则∠2＝　　　°． 【答案】60 【解析】∵射线EG⊥直线c， ∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝60°． 故答案为：60． 【举一反三3】如图，AB∥CD∥EF，则∠1、∠2、∠3的关系为 　　　　　　　． 【答案】∠1+∠2＝∠3 【解析】∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DCB， ∵CD∥EF， ∴∠3＝∠DCE＝∠2+∠DCB， ∴∠1+∠2＝∠3， 故答案为：∠1+∠2＝∠3． 【举一反三4】如图，已知AB∥CD，∠C＝35°，BC平分∠ABE，则∠ABE的度数是 　　　． 【答案】解　∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠C＝35°， ∵BC平分∠ABE， ∴∠ABE＝2∠ABC＝70°． 故答案为：70°． 【题型10】两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，直线a∥b，将一块含30°的直角三角板按如图方式放置，其中A，C两点分别落在直线a，b上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A.20° B.30° C.40° D.45° 【答案】C 【解析】∵a∥b， ∴∠DAC+∠ACF＝180°， 即∠2+30°+∠1+90°＝180°， ∵∠1＝20°， ∴∠2＝40°， 故选：C． 【举一反三1】如图，将一张长方形纸片进行折叠，若∠2﹣∠1＝20°，则∠EFC的度数为（　　） A.130° B.100° C.80° D.150° 【答案】A 【解析】由题意得：AD∥BC， ∴∠1+∠2＝180°，∠DEG＝∠2，∠DEF+∠EFC＝180°， ∵∠2﹣∠1＝20°， ∴2∠2＝200°， 解得：∠2＝100°， ∴∠DEG＝100°， 由折叠可得∠DEF＝∠FEG， ∴∠DEF＝50°， ∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝130°． 故选：A． 【举一反三2】如图，l1∥l2，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为　　　　. 【答案】 100° 【解析】 ∵l1∥l2，∴∠2+∠1+∠3=180°，∵∠1=30°，∠2=50°，∴∠3=100°. 【举一反三3】若AB∥CD，BC∥DE，∠B=65°，则∠D的度数为　　　　. 【答案】 115° 【解析】 ∵AB∥CD，∴∠C=∠B=65°，∵BC∥DE，∴∠D=180°-∠C=115°. 【举一反三4】如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道AB和CD，如果公路一侧铺设的管道AB与纵向连通管道AC的夹角∠BAC为120°，求公路另一侧铺设的管道CD与纵向连通管道AC的夹角∠DCA的度数. 【答案】 解　∵AB∥CD，∴∠DCA+∠BAC=180°， ∵∠BAC=120°，∴∠DCA=60°. 【题型11】平行线的性质在生活中的应用 【典例】如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是（　　） A.20° B.30° C.50° D.70° 【答案】C 【解析】∵∠ABE＝160°，∠CDF＝150°， ∴∠ABP＝180°﹣∠ABE＝20°，∠CDP＝180°﹣∠CDF＝30°， ∵AB∥CD∥MN， ∴∠BPN＝∠ABP＝20°，∠DPN＝∠CDP＝30°， ∴∠EPF＝∠BPN+∠DPN＝20°+30°＝50°． 故选：C． 【举一反三1】如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若AB∥CD，∠ABE＝125°，则∠BCD＝（　　） A.55° B.75° C.60° D.65° 【答案】A 【解析】∵∠ABE＝125°， ∴∠ABC＝∠180°﹣∠ABE＝180°﹣125°＝55°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝55°． 故选：A． 【举一反三2】共享单车为市民的绿色出行提供了方便.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=α，∠BAC=β，AM∥CB，则∠MAC=　　　　　.(用含α，β的式子表示) 【答案】 180°-α-β 【解析】 ∵AB∥CD，∴∠BCD+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠BCD=α，∠BAC=β，∴∠ACB=180°-∠BCD-∠BAC=180°-α-β，∵AM∥CB，∴∠MAC=∠ACB=180°-α-β. 【举一反三3】探索发现：(1)如图1，已知直线AC∥BD.若∠ACP=30°，∠BDP=45°，求∠CPD的度数； 归纳总结：(2)根据(1)中的问题，直接写出图中∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的数量关系　　　　　　　　； 实践应用：(3)如图2，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点A铺设到点B时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东30°方向埋设到点C，再沿障碍物边缘埋设到点D处，测得∠BCD=65°.若要恢复原来的正东方向DE，则∠CDE应等于多少度？ 【答案】 解　(1)过点P作 PQ∥AC，如图1所示， ∵PQ∥AC，AC∥BD，∴AC∥PQ∥BD， ∴∠CPQ=∠ACP，∠DPQ=∠BDP，∴∠CPQ+∠DPQ=∠ACP+∠BDP，即∠CPD=∠ACP+∠BDP，∵∠ACP=30°，∠BDP=45°，∴∠CPD=∠ACP+∠BDP=75°. (2)由(1)得∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的数量关系为∠CPD=∠ACP+∠BDP. (3)如图2，过点D作DF⊥DE，过点B作MB⊥AB，则BM∥DF，∠EDF=90°， 由(2)得∠BCD=∠CBM+∠CDF，∵∠BCD=65°，∠CBM=30°，∴∠CDF=35°，∴∠CDE=∠CDF+∠EDF=125°. 【举一反三4】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 【答案】解　∵扶手AB与底座CD都平行于地面， ∴AB∥CD， ∴∠ODC＝∠BOD＝32°， 又∵∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝58°， ∵DM∥OE， ∴∠AND＝∠AOE＝58°， ∴∠ANM＝180°﹣∠AND＝122°． 【题型12】综合运用平行线的判定定理和性质定理 【典例】如图，已知∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，点E是线段BA延长线上一点，且∠ACB＝∠ADE．以下结论错误的是（　　） A.ED∥AC B.BE∥CD C.CA平分∠BCE D.∠BED＝∠ACD 【答案】C 【解析】∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°＝∠ADC+∠ACB+∠ACD， ∵∠ACB＝∠ADE， ∴∠ADC+∠ADE+∠ACD＝∠CDE+∠ACD＝180°， ∴ED∥AC， 故A正确，不符合题意． ∵∠ADC＝∠B， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∴BE∥CD， 故B正确，不符合题意． ∵ED∥AC， ∴∠BED＝∠BAC， ∵BE∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴∠BED＝∠ACD， 故D正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明CA平分∠BCE，故C错误，符合题意； 故选：C． 【举一反三1】下列关于平行线的说法正确的是（　　） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②同位角相等； ③同旁内角互补，两直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行． A.③ B.①③ C.②③ D.①③④ 【答案】A 【解析】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴①不正确； ②两直线平行，同位角相等， ∴②不正确； ③同旁内角互补，两直线平行， ∴③正确； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行， ∴④不正确． 综上，③正确． 故选：A． 【举一反三2】将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°，则下列结论正确的有（　　） ①∠BAE+∠CAD＝180°； ②如果∠2与∠E互余，则BC∥DA； ③如果BC∥AD，则有∠2＝45°； ④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C． A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】A 【解析】如图，点M在DA的延长线上， ∵∠DAE＝90°， ∴∠EAM＝∠1+∠CAM＝180°﹣∠DAE＝90°， 又∵∠CAB＝∠2+∠1＝90°， ∴∠2＝∠CAM， 又∵∠CAD+∠CAM＝180°， ∴∠2+∠CAD＝180°， 即∠BAE+∠CAD＝180°， 故①正确，符合题意； ∵∠2与∠E互余， ∴∠2+∠E＝90°， ∵∠E＝60°， ∴∠2＝30°， ∴∠3＝60°≠∠B， ∴BC与AD不平行， 故②错误，不符合题意； ∵BC∥AD， ∴∠3＝∠B＝45°， ∵∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝45°， 故③正确，符合题意； ∵∠CAD＝150°，∠CAM+∠CAD＝180°，∠BAE＝∠CAM， ∴∠BAE＝30°， ∵∠E＝60°， ∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°， ∴∠4+∠B＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠4＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠4＝∠C， 故④正确，符合题意． 故选：A． 【举一反三3】如图，已知：∠B+∠DAB＝180°，AC平分∠DAB，如果∠C＝50°，那么∠B＝　　　． 【答案】80° 【解析】∵∠B+∠DAB＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠C＝50°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAB＝2∠DAC＝100°， ∵∠B+∠DAB＝180°， ∴∠B＝180°﹣100°＝80°， 故答案为：80°． 【举一反三4】如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°，求证：∠FAB＝∠BDC．请将下面证明过程补充完整． 证明：∵AC∥EF（已知）， ∴∠1+∠FAC＝180°（ 　　　　　　　　　　　　）． 又∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴　　　　　　　（同角的补角相等）． ∴FA∥CD（ 　　　　　　　　　　　　）． ∴∠FAB＝∠BDC（ 　　　　　　　　　　　　）． 【答案】证明　∵AC∥EF（已知）， ∴∠1+∠FAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴∠2＝∠FAC（同角的补角相等）． ∴FA∥CD（内错角相等，两直线平行）． ∴∠FAB＝∠BDC（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠2＝∠FAC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【举一反三5】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2＝180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】解　DG⊥BC；理由如下： ∵EF⊥AB，CD⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠2+∠DCE＝180°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠DCE， ∴DG∥AC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°， ∴DG⊥BC． 学科网（北京）股份有限公司 $