3.2 探索三角形相似的条件（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦“探索三角形相似的条件”核心知识点，从相似三角形定义出发，系统梳理两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例的判定定理，延伸至黄金分割应用，形成“定义-判定-应用”的完整学习支架，每个知识点配套即学即练强化理解。 资料以题型分类为特色，通过判定、网格、证明等典例精析与变式巩固，培养学生推理能力与几何直观（数学思维与眼光），黄金分割计算与综合探究题体现模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第三章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 知识点一 相似三角形的定义 相似三角形 ·定义：三角分别相等， 的两个三角形叫作相似三角形。 符号表示：在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D、 、∠C=∠F，并且 ，∴△ABC∽△DEF 即学即练 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 知识点二 根据两角关系判定两个三角形相似 判定定理1 的两个三角形相似。 符号表达 在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D、∠B=∠E（∠B=∠E、∠C=∠F或∠A=∠D、∠C=∠F）， ∴△ABC∽△DEF 注意：两组角要满足对应关系（与全等三角形类似） 即学即练 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 3．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 知识点三 根据两边及夹角判定两个三角形相似 判定定理1 的两个三角形相似。 符号表达 在△ABC和△DEF中， ∵， （，∠C=∠F或，∠A=∠D）， ∴△ABC∽△DEF 注意：要找两边的夹角对应相等（与运用SAS判定三角形全等类似，区别在于计算对应边的比值要相等） 即学即练 1．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 知识点四 根据三边关系判定两个三角形相似 判定定理1 的两个三角形相似。 符号表达 在△ABC和△DEF中， ∵ ， ∴△ABC∽△DEF 即学即练 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 知识点五 黄金分割 黄金分割& 黄金分割点 &黄金比 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），如果（AC是AB和BC的比例中项），称线段AB被点C ，点C叫做线段AB的 ， 其中AC=AB0.618AB，AC与AB的比叫作 即学即练 1．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 2．(25-26八年级下·重庆·期末)若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 3．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 题型01 根据条件判定两个三角形是否相似 1. 找角：两角对应相等（最常用，尤其有平行线或公共角时）。 2. 找边：两边对应成比例且夹角相等（注意夹角必须是两边的夹住的那个角）。 3. 找三边：三边对应成比例（计算量大，算出比值即可）。 · 对应关系混乱：判定时一定要先标字母顺序（如△ABC∽△DEF，意味着A↔D，B↔E，C↔F），否则边角配对全错。 · “夹角”陷阱：已知两边比例，若给的是其中一边的对角（非夹角），则不能判定相似 · 隐藏条件：公共角、对顶角、平行线产生的同位角/内错角，都是“隐藏”的相等角，要第一时间圈出。 典｜例｜精｜析 1．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A．B．C．D． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 题型02 根据网格判断相似三角形 核心方法：格点法——用勾股定理算三边，比三边 · 网格中每个小正方形边长视为1，直接数格子或勾股算斜边。 · 算出两个三角形的三边长度，按从小到大排序，再比对应边的比值是否相等。 · 旋转/翻转后的对应：网格中三角形可能转了90°或镜像，不能只看“长得像”，必须算边长比； · 根号比较：算比值时，常用“三边同时除以最大公约数”或“化最简根式”来判断； · 典型陷阱：边长是根式的，比值可能相等，但视觉上差异很大，务必动笔算。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 2．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 3．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 题型03 选择合适的方法证明相似 ·看模型，定方法：根据图形特征确定条件和首选方法 ①有平行线 A字型 / 8字型（平行→角相等→AA） ②有公共角/对顶角 AA（再找一个角相等） ③有垂直/直角三角形 HL相似（斜边和一条直角边对应成比例）或AA（同角的余角相等） ④有乘积式或比例式 两边成比例且夹角相等（把比例式转化为边） ⑤等腰/等边出现 优先找顶角或底角相等，再用AA · 证明循环：别用“要证的结论”当条件； · 比例式书写：列比例时，对应边必须在同一分数线上，（例： ，不能交叉混写）； · 漏写“夹角”：用两边成比例+夹角相等证相似时，不要漏下夹角相等的证明。 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 变｜式｜巩｜固 1．（2022九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 2．如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 3．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 题型05 尺规作相似三角形 核心是作一个角等于已知角，再按比例截边。 · 给定一边和一角：先作等角，再在两边上按比例（如1:2）截取线段，连接即得。 · 给定比例尺（如放大2倍）：固定一个顶点，从该点出发的两条边分别延长至2倍，连成新三角形。 · 比例方向搞反： 举例：△DEF与△ABC相似且边长比为2:1——△DEF的边长是△ABC边长的2倍 ①若△ABC边长是1，则△DEF每条边截取原边的2倍；②若△DEF边长是1，则△ABC边长截取一半。 · 作图痕迹保留：尺规作图的弧线痕迹必须保留； · 多解情况：若只给一个角，新三角形可能在角的两侧（关于角平分线对称），注意题目是否限制位置。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是边上的一点，请利用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，请利用尺规作图法在射线上求作点，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 题型06 根据黄金分割点/比进行计算 · “较长”和“较短”搞混：题目说“C是黄金分割点”，未指明AC>BC时，要分两类讨论。 · 近似值 vs 精确值：填空题必用带根号精确值，应用题可用0.618（要看题目要求）。 · 与相似结合：黄金矩形、黄金三角形（顶角36°等腰）常需要先证相似，再列比例式求解，别只记数值，要会推导。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广西钦州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建南平·二模）黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 题型07 相似三角形的应用——综合探究 1. 影长问题（平行投影）：人高/杆高 = 影长/杆影长（注意同一时刻）。 2. 镜面反射：入射角=反射角 → 构造两个直角三角形相似（人与镜、镜与物）。 3. 测量河宽/楼高：利用金字塔模型（同一平面内的两个相似直角三角形）。 4. 动态几何（动点）：用时间t表示边长，再列比例方程求t。 · 单位统一：厘米、米必须统一，否则比例错。 · 实际场景中的“对应”：如测量楼高时，人的眼睛高度（1.6m）要减去，得到“眼到地面”的直角边，不能直接用身高。 · 多解的存在：动点问题中，相似对应顺序可能有两种（如△ABC∽△DEF或△ABC∽△DFE），需分类讨论，极易漏解。 · 检验合理性：求出的t或长度必须为正，且不超过运动范围，否则舍去。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【知识背景】如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】(2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 2．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）解答下列问题： 【思路梳理】 (1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____； (2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中，点在边上，且，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接，沿铺设石子小路，沿修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计） 2．（25-26九年级下·重庆忠县·期中）在中，是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若点在边上，平分，求的度数； (2)如图2，若点在边上，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交边于点．求证：； (3)如图3，若是的中点，是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点，使得，连接，，当取最小值时，请直接写出的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 知识点一 相似三角形的定义 相似三角形 ·定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 符号表示：在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，并且=k，∴△ABC∽△DEF 即学即练 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【难度】0.65 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 知识点二 根据两角关系判定两个三角形相似 判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。 符号表达 在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D、∠B=∠E（∠B=∠E、∠C=∠F或∠A=∠D、∠C=∠F）， ∴△ABC∽△DEF 注意：两组角要满足对应关系（与全等三角形类似） 即学即练 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 2．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【难度】0.85 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 3．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【难度】0.83 【详解】略 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【难度】0.85 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】略 知识点三 根据两边及夹角判定两个三角形相似 判定定理1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号表达 在△ABC和△DEF中， ∵，∠B=∠E（，∠C=∠F或，∠A=∠D）， ∴△ABC∽△DEF 注意：要找两边的夹角对应相等（与运用SAS判定三角形全等类似，区别在于计算对应边的比值要相等） 即学即练 1．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（）等判定方法．已知，结合各选项条件判断与是否相似． 【详解】解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且，∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角与不一定相等，故D不能判定相似，符合题意 ． 故选：D． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.78 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 知识点四 根据三边关系判定两个三角形相似 判定定理1 三边成比例的两个三角形相似。 符号表达 在△ABC和△DEF中， ∵=k， ∴△ABC∽△DEF 即学即练 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法． 根据和的三边对应成比例，则两个三角形相似，由此判定即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 2．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】 证明：，，，，，， 则， ， ． 【难度】0.94 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【难度】0.85 知识点五 黄金分割 黄金分割& 黄金分割点 &黄金比 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），如果（AC是AB和BC的比例中项），称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点， 其中AC=AB0.618AB，AC与AB的比叫作黄金比。 即学即练 1．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 2．(25-26八年级下·重庆·期末)若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【难度】0.85 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 题型01 根据条件判定两个三角形是否相似 核心方法：按顺序 1. 找角：两角对应相等（最常用，尤其有平行线或公共角时）。 2. 找边：两边对应成比例且夹角相等（注意夹角必须是两边的夹住的那个角）。 3. 找三边：三边对应成比例（计算量大，算出比值即可）。 · 对应关系混乱：判定时一定要先标字母顺序（如△ABC∽△DEF，意味着A↔D，B↔E，C↔F），否则边角配对全错。 · “夹角”陷阱：已知两边比例，若给的是其中一边的对角（非夹角），则不能判定相似（这是SSA，不成立）。 · 隐藏条件：公共角、对顶角、平行线产生的同位角/内错角，都是“隐藏”的相等角，要第一时间圈出。 典｜例｜精｜析 1．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【难度】0.7 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【难度】0.59 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【难度】0.75 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 5．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型02 根据网格判断相似三角形 核心方法：格点法——用勾股定理算三边，比三边 · 网格中每个小正方形边长视为1，直接数格子或勾股算斜边。 · 算出两个三角形的三边长度，按从小到大排序，再比对应边的比值是否相等。 · 旋转/翻转后的对应：网格中三角形可能转了90°或镜像，不能只看“长得像”，必须算边长比； · 根号比较：算比值时，常用“三边同时除以最大公约数”或“化最简根式”来判断； · 典型陷阱：边长是根式的，比值可能相等，但视觉上差异很大，务必动笔算。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 题型03 选择合适的方法证明相似 ·看模型，定方法：根据图形特征确定条件和首选方法 ①有平行线 A字型 / 8字型（平行→角相等→AA） ②有公共角/对顶角 AA（再找一个角相等） ③有垂直/直角三角形 HL相似（斜边和一条直角边对应成比例）或AA（同角的余角相等） ④有乘积式或比例式 两边成比例且夹角相等（把比例式转化为边） ⑤等腰/等边出现 优先找顶角或底角相等，再用AA · 证明循环：别用“要证的结论”当条件； · 比例式书写：列比例时，对应边必须在同一分数线上，（例： ，不能交叉混写）； · 漏写“夹角”：用两边成比例+夹角相等证相似时，不要漏下夹角相等的证明。 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【难度】0.65 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． ， ． 平分． 【难度】0.85 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 变｜式｜巩｜固 1．（2022九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 2．如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ． ． ． ． （2）证明：， ． 由（1）可知：， ． 3．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【难度】0.65 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 题型05 尺规作相似三角形 核心是作一个角等于已知角，再按比例截边。 · 给定一边和一角：先作等角，再在两边上按比例（如1:2）截取线段，连接即得。 · 给定比例尺（如放大2倍）：固定一个顶点，从该点出发的两条边分别延长至2倍，连成新三角形。 · 比例方向搞反： 举例：△DEF与△ABC相似且边长比为2:1——△DEF的边长是△ABC边长的2倍 ①若△ABC边长是1，则△DEF每条边截取原边的2倍；②若△DEF边长是1，则△ABC边长截取一半。 · 作图痕迹保留：尺规作图的弧线痕迹必须保留； · 多解情况：若只给一个角，新三角形可能在角的两侧（关于角平分线对称），注意题目是否限制位置。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是边上的一点，请利用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的尺规作图，过点D作的垂线，垂足为点E，则，再由，即可证明． 【详解】解：如图所示，即为所求． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D、E即为所求： 【难度】0.66 【分析】先在截取，再作，且交于点D，则点D、E即为所求． 【详解】解：作图依据： ∵，， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，请利用尺规作图法在射线上求作点，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图点即为所求， 题型06 根据黄金分割点/比进行计算 · “较长”和“较短”搞混：题目说“C是黄金分割点”，未指明AC>BC时，要分两类讨论。 · 近似值 vs 精确值：填空题必用带根号精确值，应用题可用0.618（要看题目要求）。 · 与相似结合：黄金矩形、黄金三角形（顶角36°等腰）常需要先证相似，再列比例式求解，别只记数值，要会推导。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广西钦州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 【答案】/ 【难度】0.75 【分析】根据题意可知，结合可求得；由折叠的性质可得四边形是正方形，即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵黄金矩形纸片，， ∴，即，解得：． 根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 【答案】 【难度】0.75 【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米，根据黄金分割的定义列出方程求解． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米， 由题意得， 解得， 那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为分米． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·福建南平·二模）黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】根据题意可得，结合，得出，则，结合，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型07 相似三角形的应用——综合探究 1. 影长问题（平行投影）：人高/杆高 = 影长/杆影长（注意同一时刻）。 2. 镜面反射：入射角=反射角 → 构造两个直角三角形相似（人与镜、镜与物）。 3. 测量河宽/楼高：利用金字塔模型（同一平面内的两个相似直角三角形）。 4. 动态几何（动点）：用时间t表示边长，再列比例方程求t。 · 单位统一：厘米、米必须统一，否则比例错。 · 实际场景中的“对应”：如测量楼高时，人的眼睛高度（1.6m）要减去，得到“眼到地面”的直角边，不能直接用身高。 · 多解的存在：动点问题中，相似对应顺序可能有两种（如△ABC∽△DEF或△ABC∽△DFE），需分类讨论，极易漏解。 · 检验合理性：求出的t或长度必须为正，且不超过运动范围，否则舍去。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【知识背景】如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【难度】0.42 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.42 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）先证明，则，则，解方程即可； 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下 ， ， 四边形是菱形，是的平分线， ， ， ， 四边形为平行四边形， 由旋转的性质可知， 平行四边形为菱形； （2）解：如图3，由题意可得， 设， 在菱形中，， ∴在中，， 又， ， 是的外角， ∴ 在和中， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）解答下列问题： 【思路梳理】 (1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____； (2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中，点在边上，且，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接，沿铺设石子小路，沿修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计） 【答案】(1)10 (2)证明：∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． (3)平方米 【难度】0.4 【分析】（1）得出，则，据此计算即可； （2）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证； （3）先求出当点三点共线时，最小，再根据三角形的面积关系可得，进而可得的长，则可得的长、的面积，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵点在边上，且， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∵的面积为25， ∴， 解得， 即的面积为10． （2）证明：略． （3）解：∵是等边三角形，米， ∴米，， ∴点在以点为圆心、长为半径的一段圆弧上， ∴由圆的性质可知，如图，当点三点共线时，最小，最小值为， 过点作于点，作于点，过点作，交延长线于点， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， ∴，即， ∴米，则米， 又∵， ∴， ∴， ∴米，米， ∵， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴米， ∴米， ∴（平方米）， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， ∴平方米， 答：当最小时，郁金香园（即）的面积为平方米． 【点睛】本题的难点在于正确判断出点的轨迹，进而确定当最小时，点的位置． 2．（25-26九年级下·重庆忠县·期中）在中，是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若点在边上，平分，求的度数； (2)如图2，若点在边上，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交边于点．求证：； (3)如图3，若是的中点，是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点，使得，连接，，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)． 【难度】0.26 【分析】（1）由角平分线的性质得，根据题意设根据三角形的内角和求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）先证明是等边三角形，得出，，由旋转得，，证明，过点E作交于点G，证明，得出，，，证明，得出，结合，，即可证明； （3）先利用等腰直角三角形和中点性质得到线段的平行与垂直关系，结合翻折性质确定R的轨迹，再由通过平行线分线段成比例确定Q的轨迹，利用相似三角形将转化为，把转化为，根据两点之间线段最短确定Q的位置，接着通过三角函数求出相关角度，设并根据线段和列方程求解x，最后计算的面积． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， 设 在中，， 即， 解得， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 又是的外角， ， ， 过点E作交于点G， 则， ∴ 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ， 整理得； （3）解：连接，过点Q作，交于O， ∵ ∴是等腰直角三角形，，， ∵是的中点，是的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∵将沿所在直线翻折到， 由翻折性质得：，，即R在以A为圆心，3为半径的圆上． ∵，即， ∴， ∴，，， ∴点Q在以O为圆心、1为半径的圆上，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，当M、Q、N三点共线时，取最小值，此时Q在上， ∵，， ∴， ， 在中，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，平分， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 过R作于K， ， ， 设， 在中，， 在中，， ∵， 解得， ， ， 即的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $