2.2 一元二次方程的解法（第1课时）教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通过复习完全平方公式与直接开平方法，结合梯子滑动问题导入，以特殊方程填空探究“常数项=（一次项系数÷2）²”规律，搭建从具体到一般的学习支架。 该资料以“问题链”驱动探究，通过特殊方程填空引导学生自主发现配方规律，体现推理意识与创新意识，结合编题互测活动培养应用能力，课堂小结融入几何解法阅读渗透数形结合思想。既帮助学生掌握配方法步骤，又发展数学思维，为教师提供可操作的难点突破方案与互动教学模式。

第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法（第1课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能： 掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，理解配方法的原理和步骤。 2. 基本思想与基本活动经验： 经历配方法的探究过程，体会"配方"这一核心操作，理解配方的作用是将一般式化为完全平方式。 3. 发现问题与提出问题能力： 能从特殊的一元二次方程解法中归纳出一般方法，提出"如何解任意一元二次方程"的问题。 4. 分析与解决问题能力： 能熟练运用配方法解一元二次方程，理解"移项→配方→开平方→求解"的基本流程。 二 教学重点与难点 教学重点： 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，理解"配方"的操作步骤。 教学难点： 理解配方的原理——通过加上"一次项系数一半的平方"构造完全平方式。 学情分析： 学生已学过完全平方公式和直接开平方法，具备配方所需的知识基础，但需要引导发现"加什么数"的规律。 突破策略： 通过特殊方程（x²+8x+___=(x+___)²）的操作探索，引导学生发现"常数项=（一次项系数÷2)²"的规律，再推广到一般。 三 教学过程 复习回顾 1.你会解哪些方程？这些方程的求解策略有什么相同之处？ 2.在上一节的梯子滑动问题中，梯子底端滑动的距离 x（单位：m）满足方程 x2＋12x－15＝0。我们已经求出了 x 的近似值，你能设法求出它的精确值吗？ 探索新知 思考·交流 （1）你能解哪些特殊的一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？你总结出怎样的经验？ （3）你能解方程 x²＋12x－15＝0吗？你遇到的困难是什么？联想（2）中解方程的过程，能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗？与同伴进行交流。 （1）填上适当的数，使下列等式成立： x2＋12x＋ 36 ＝(x＋6)2； x2－4x＋ 4 ＝(x－ 2 )2； x2＋8x＋ 16 ＝(x＋ 4 )2。 （2）观察（1）中三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢？ 探索新知 例1 解方程：x2＋8x－9＝0。 解：可以把常数项移到方程的右边，得x2＋8x=9。 两边都加一次项系数8的一半的平方，得 即(x+4)2=25 即x+4=5，或 x+4=－5 。 所以 x1=1,x2=-9。 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 巩固应用 1. 解方程：x2＋2x＋2＝8x＋4。 2. 编写一个二次项系数为1的一元二次方程， 并求出该方程的解。 活动流程： （1）编写一个二次项系数为 1 的一元二次方程 （限时1分钟）； （2）同桌之间交换解方程（限时2分钟）； （3）出题人批阅； （4）组内交流并解决困惑； （5）组长统计小组得分情况； （6）组长展示成果。 课堂小结 1. 本节课你学会了哪些知识？是如何学习的？ 2. 本节课体现了哪些数学思想方法？你积累了哪些活动经验？ 3. 通过本节课的学习，你获得了哪些启发？还存在哪些困惑？ 4. 阅读教科书第40页“一元二次方程的几何解法”。 （1）图1与图2有什么区别与联系？图2的方法与配方法又有什么联系？这样做，只得到方程的一个根，为什么？ （2）结合上述类似的方法，构造适当的图形，求出方程x2＋10x＝39的正数解，与同伴进行交流。 图1 图2 四 板书设计 2.2 配方法（第1课时） 1. 配方规律：x²+px+()²=(x+)² 例：x²+8x+16=(x+4)² 2. 配方法步骤： 移项 → 配方（加一次项系数一半的平方）→ 开平方 → 求解 3. 例1：x²+8x-9=0 x²+8x=9 → x²+8x+16=25 → (x+4)²=25 x+4=±5 → x₁=1, x₂=-9 五 知识总结 核心知识点： 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 数学思想方法： 配方思想（构造完全平方式）、降次思想、数形结合（几何解法） 知识网络图： 直接开平方法 → 配方法（加一次项系数一半的平方）→ 公式法 易错易混警示： ① 配方时只在左边加数而忘记在右边也加；② 开平方时漏掉负根 六 课后作业 1. 解方程：（1）x2＋12x＋25＝0; （2）x2－6x＝11。 2. 如图3，在一块长35m、宽26m的矩形地面上， 修建宽度相等的两条互相垂直的道路（两条道路 分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草， 要使剩余部分的面积为850 m2，道路的宽度应为多少? 图3 3.了解有关一元二次方程几何解法的历史并构造适当的图形，求方程x2＋4x-5＝0的正数解。 6 学科网（北京）股份有限公司 $