3.3 勾股定理的应用举例 教案 2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

 

第三章 勾股定理

3.3勾股定理的应用举例

一、                                                                                                             教学目标 

1能够运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题；

2.通过探究，理解立体图形上两点之间的最短距离的问题，并能够应用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题；

3.培养学生的空间想象力，增强数学知识的应用意识.

二、教学重难点

重点：能够运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.

难点：通过探究，理解立体图形上两点之间的最短距离的问题，并能够应用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题．

三、教学用具

多媒体课件

四、教学过程设计

（一）情境导入

教师活动：教师出示问题，引发学生思考.

从A点走到B点，走哪条线最近？

预设答案：

走第③条线最近.

师：你能说出这样走的理由吗？

预设答案：在同一平面内，两点之间，线段最短.

设计意图：通过复习巩固两点之间线段最短的性质，为学习本节课知识奠定基础.

（二）探究新知

教师活动：教师出示问题，引导学生思考.

如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm. 在圆柱下底面

的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

(1)自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？

预设答案：

第4条路线最短.

(2)如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？

预设答案：

(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

预设答案：AB2＝122+(18÷2)2  ，所以AB＝15.

答：它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.

(4)若蚂蚁先从点A直接向上爬到点C，然后再从点C沿底面直径爬到点B，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最短路程比较，哪一条更短些？

预设答案：

从点A直接爬到点B的路程更短.

思考：是否不论圆柱形状大小，始终都是从侧面的路线更短一些呢？

预设答案：不一定.

如：有一个圆柱，它的高为6cm，底面圆的周长为12cm(取3)

左：AC+BC=      右：

，此时先从A到C，再从C到B的路线距离最短.

    设计意图：让学生经历操作，然后观察并思考，培养学生动手操作的能力，体验操作带来的喜悦，同时也积累了一些解决问题的经验.

【尝试·交流】

    修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD与边BC是否分别垂直于底边AB.

(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？

 

预设答案：

解：连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.

如果AB2+BC2＝AC2，则△ABC为直角三角形.

(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50 cm. 边AD垂直于边AB吗？

预设答案：

解：AD2+AB2＝302+402＝502＝BD2，得∠DAB＝90°

所以AD边垂直于AB边.

(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？

预设答案：

解：在AD上取点M，使AM＝9，在AB上取点N，使AN＝12，测量MN是否是15，

如果是，就是垂直； 如果不是，就不垂直.

在中，若，则是直角三角形.

设计意图：让学生应用所学知识解决实际问题，提升学生对知识的应用能力.

思考：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》)

题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺.