第三章 勾股定理（复习讲义）数学鲁教五四制2024版七年级上册

第三章 勾股定理（复习讲义） 1．了解勾股定理的意义，体会勾股定理及其逆定理之间的整体联系。 ①了解勾股定理的基本内容；②了解勾股定理逆定理的内容；③体会勾股定理与勾股定理逆定理之间的相互关系和整体联系。 2．能用勾股定理及其逆定理进行证明和计算。 ①掌握勾股定理的多种证明方法；②能够利用勾股定理求解直角三角形的边长；③能够利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3．理解并利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 ①理解勾股数的概念，能够识别和应用勾股数解决实际问题；②能够利用勾股定理解决最短路径问题；③能够在实际问题中灵活运用勾股定理及其逆定理。 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果用，分别表示直角三角形的两直角边和斜边长为，那么。 知识点02 勾股定理证明 赵爽弦图：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形。 图中，所以。　 知识点03 勾股定理逆定理 1）定义：如果三角形的三条边长满足，那么这个三角形是直角三角形。 2）判定一个三角形是否是直角三角形 ①确定最大边（如）. ②验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点04 勾股数 1）定义：满足的三个正整数，称为勾股数. 2）勾股数满足两个条件：①满足 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 最短路径问题基本模型： 基本原理：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 题型一 用勾股定理解三角形 【例1】如图，要从电线杆离地面的点C处向地面拉一条的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离约为 m（结果精确到）． 【答案】5 【解析】解：地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离约为， 故答案为：． 【变式1-1】在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 【答案】C 【解析】解：①当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， 此时； ②当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； 综上，的值为9或41． 故选：C． 【变式1-2】若一个直角三角形的一条直角边长为7，其斜边长比另一条直角边长1，求该直角三角形的斜边长． 【答案】该直角三角形的斜边长为25 【解析】解：设另一条直角边为x，则斜边为， 由勾股定理得，， 解得， ∴斜边， ∴该直角三角形的斜边长为25． 【变式1-3】一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，其示意图如下图所示．小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度，小狗的高，小狗与小方的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）． 【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，则， 所以． 在中，， 所以， 所以此时牵狗绳的长为． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A．12 B．13 C．5 D．25 【答案】C 【解析】解：，， 直角三角形中以直角边的平方与斜边的平方分别为144和169， 根据勾股定理，另一条直角边的平方为， ， 正方形的边长为5， 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵正方形面积为， 正方形面积为， ∴ ， ． ∴在中，， ∴（边长为正，舍去负根）． ∵在中，，， ∴ ． ∵，即， ∴（边长为正，舍去负根）． ∴ ． 故选： ． 【变式2-2】如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴； 故选：B． 【变式2-3】如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 【答案】4 【解析】解：由正方形的性质得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：4． 题型三 勾股定理与折叠问题 【例3】如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 【答案】 【解析】解：由长方形得， 由折叠得：，， ， ， 、、三点共线， ， ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式3-1】如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 设， ， ， 沿翻折，点A与点B重合， ， 在中，，， ，即， 解得． 故选：B． 【变式3-2】11．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解析】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-3】如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 题型四 判断三边能否构成直角三角形 【例4】下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【答案】A 【解析】A：不能构成直角三角形； B：能构成直角三角形； C：能构成直角三角形； D：能构成直角三角形． 故选：A． 【变式4-1】将直角三角形的三边扩大2倍，得到的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【答案】B 【解析】设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足， 将该直角三角形的三边扩大2倍，三边长变为，，， ，， ， 将直角三角形的三边扩大2倍后得到的三角形是直角三角形． 故选：B． 【变式4-2】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、∵， ∴能组成直角三角形，符合题意； B、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意， 故选：A． 【变式4-3】如图，在中，是边上的高，． (1)求的长； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形．理由见解析 【解析】（1）解：因为是边上的高， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：是直角三角形．理由如下： 因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以是直角三角形． 题型五 勾股逆定理 【例5】如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【解析】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 【变式5-1】如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 【变式5-2】图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【解析】解：该婴儿车符合安全标准，理由： ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：该车是否符合安全标准． 【变式5-3】如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．海港C受台风影响吗？为什么？ 【答案】海港受台风影响，理由见解析 【解析】解：海港受台风影响，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且． 过点作于点D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响． 题型六 勾股数问题 【例6】下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】解：A：，，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意； B：三个数必须为正整数，不符合要求，故该选项不合题意； C：，，均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意； D：，，满足勾股数的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式6-1】若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（   ） A．a， B． C． D． 【答案】C 【解析】解：原勾股数满足．若每个数均乘以2，得到，则： ， 等式成立，故仍为勾股数，故选项C成立，符合题意； A：．例如，原勾股数代入后为，但，不成立； B：．以代入得，但，不成立； D：．以代入得，但，不成立； 故选：C． 【变式6-2】若，，是一组勾股数，则的数为（　　） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【解析】解：当为直角边时，，是正整数，符合题意， 当为斜边时，，不是正整数，不符合题意， 故选：B． 【变式6-3】若是一组勾股数，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：当为直角边时，，不是正整数，不符合题意， 当为斜边时，，是正整数，符合题意， 综上，若是一组勾股数，则的值为， 故答案为：． 题型七 勾股定理的应用 【例7】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【解析】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 【变式7-1】在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【解析】解：设米，则米， 根据勾股定理，得（米）， 由两只猴子所经过的距离相等，得， ∴米 故， 解得， 故树高为：米， 故答案为：15． 【变式7-2】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 【答案】 【解析】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：，即， 故答案为：． 【变式7-3】如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【解析】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 【变式7-4】某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜，示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为 ． 【答案】10 【解析】解：如下图，将棱镜侧面展开， 根据题意，可得，， ， 所以，这圈金属丝的长度至少为． 故答案为：10． 【变式7-5】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙，则顶端距离地面，求小巷的宽度． 【答案】2.7 【解析】解：设梯子底端与右墙之间的距离为． 由勾股定理可知，， ， （负值舍去）， 小巷的宽度为． 【变式7-6】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【解析】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴水潭的宽度为米． 【变式7-7】新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【解析】在中，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为小汽车行驶了， 所以它的速度为． 因为，且， 所以这辆小汽车超速了． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．如图，在中，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，， 由勾股定理知：． 故选：A ． 2．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A．8，15，17 B．10,24,26 C．，1 D．6，7，8 【答案】D 【解析】解：A、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； B、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； C、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，则此项符合题意； 故选：D． 3．如图，在中，，分别以为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，∵，， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 5．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【解析】解：，，， ， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得 解得 ， 的面积， 故选：． 二、填空题 6．如图，一棵大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是 【答案】/10米 【解析】解：设这棵树折断部分的长度为，由图得， （）， 故答案为：． 7．小彬用打印机制作了一个底面周长为、高为的圆柱状粮仓模型．如图，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 【答案】30 【解析】解：如图，将圆柱的侧面沿剪开并展开，得到一个长方形，则，即为所求， ，，， 在中，， ， 故答案为：30． 8．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【解析】解：∵木板的三边长分别为，，， ∴， 而， ∴， ∴三角形木板为直角三角形， 故答案为：合格． 9．如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【解析】∵，D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 10．观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 【答案】 【解析】解：根据题意，第一列数字都为奇数，且后一排比上一排大2，第三列比第二列大1， 且三个数成勾股数 根据表格规律：第一列数字是组数的2倍加1 第组第一列数字为, 设第二列数为，则第三列数为，由勾股定理得： 解得： 第组的三个数字满足的等式是：， 故答案为：． 三、解答题 11．在中，，，的对边，，分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由． (1)，，． (2)，，． 【答案】(1)是直角三角形．是直角．理由见解析 (2)是直角三角形．是直角．理由见解析 【解析】（1）解：是直角三角形，是直角．理由如下： ∵，即， ∴是直角三角形，且 （2）解：是直角三角形，是直角．理由如下： ∵，即， ∴是直角三角形，且． 12．如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 【答案】(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【解析】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 13．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【答案】 【解析】解：由题意可得与关于成轴对称， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 14．如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？ 【答案】（元） 【解析】解：如下图所示，连接， ， 为直角三角形， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， 这块空地的面积为 ， 在这块空地上种植草皮共需要元． 15．如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 【答案】(1) (2)不是，滑动了 【解析】（1）解：由题意和勾股定理，得：这架云梯的顶端距地面的高度为； 答：这架云梯的顶端距地面有； （2）云梯的顶端下滑了，则：此时云梯的顶端距地面的高度为， ∴此时云梯底端离墙， ∴它的底部在水平方向滑动了； 故它的底部在水平方向滑动了． 能力提升进阶练 一、单选题 1．由下列条件不能判定为直角三角形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意； ∵， ∴为直角三角形，故C不符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故D不符合题意， 故选：B． 2．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【答案】A 【解析】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 3．一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 【答案】C 【解析】解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑1米， 故选：C． 4．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边， ∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ，， ， ∴， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， 故选：． 二、填空题 6．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 7．如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：把沿直线折叠， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 故答案为：． 8．满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 组这样的“完美勾股数”． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴为奇数，且为完全平方数， ∵， ∴， ∴为以内的数，有：，共7个； ∴共有组这样的“完美勾股数”； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股数，理解并掌握“完美勾股数”的定义，是解题的关键． 9．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：正方形的边长为2，如图，连接、相交于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2，其面积标记为， ， ， ， ． ， ； 故答案为：． 10．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 【答案】9 【解析】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 三、解答题 11．邱老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a b 4 6 8 10 c (1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数的代数式表示： _________， _________， _________； (2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，因为 【解析】（1）解：由图表可以得出： ∵时，， 时，， 时，， …， ∴； （2）解：以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 12．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：如图， ，，， ． （2）解：，，， ，， ， 是直角三角形，即， 四边形的面积的面积的面积 ， 答：这块菜地的面积为． 13．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)不会 (2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析 【解析】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 14．如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知． (1)求公路的长度． (2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 【答案】(1) (2)（万元） 【解析】解：（1）由题意，得， 所以由勾股定理，得，所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以修建公路的费用为（万元）． 15．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【解析】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 勾股定理（复习讲义） 1．了解勾股定理的意义，体会勾股定理及其逆定理之间的整体联系。 ①了解勾股定理的基本内容；②了解勾股定理逆定理的内容；③体会勾股定理与勾股定理逆定理之间的相互关系和整体联系。 2．能用勾股定理及其逆定理进行证明和计算。 ①掌握勾股定理的多种证明方法；②能够利用勾股定理求解直角三角形的边长；③能够利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3．理解并利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 ①理解勾股数的概念，能够识别和应用勾股数解决实际问题；②能够利用勾股定理解决最短路径问题；③能够在实际问题中灵活运用勾股定理及其逆定理。 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果用，分别表示直角三角形的两直角边和斜边长为，那么。 知识点02 勾股定理证明 赵爽弦图：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形。 图中，所以。　 知识点03 勾股定理逆定理 1）定义：如果三角形的三条边长满足，那么这个三角形是直角三角形。 2）判定一个三角形是否是直角三角形 ①确定最大边（如）. ②验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点04 勾股数 1）定义：满足的三个正整数，称为勾股数. 2）勾股数满足两个条件：①满足 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 最短路径问题基本模型： 基本原理：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 题型一 用勾股定理解三角形 【例1】如图，要从电线杆离地面的点C处向地面拉一条的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离约为 m（结果精确到）． 【变式1-1】在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 【变式1-2】若一个直角三角形的一条直角边长为7，其斜边长比另一条直角边长1，求该直角三角形的斜边长． 【变式1-3】一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，其示意图如下图所示．小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度，小狗的高，小狗与小方的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A．12 B．13 C．5 D．25 【变式2-1】如图，在中，，分别以，为边在外侧作正方形和正方形，其面积分别为4和5，再以为直角边在外侧作，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 【变式2-3】如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 题型三 勾股定理与折叠问题 【例3】如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 【变式3-1】如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】11．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-3】如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 题型四 判断三边能否构成直角三角形 【例4】下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【变式4-1】将直角三角形的三边扩大2倍，得到的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【变式4-2】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，是边上的高，． (1)求的长； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 题型五 勾股逆定理 【例5】如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式5-1】如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式5-2】图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【变式5-3】如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．海港C受台风影响吗？为什么？ 题型六 勾股数问题 【例6】下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，， 【变式6-1】若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（   ） A．a， B． C． D． 【变式6-2】若，，是一组勾股数，则的数为（　　） A．2 B．3 C．6 D．7 【变式6-3】若是一组勾股数，则的值为 ． 题型七 勾股定理的应用 【例7】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【变式7-1】在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【变式7-2】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 【变式7-3】如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【变式7-4】某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜，示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为 ． 【变式7-5】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙，则顶端距离地面，求小巷的宽度． 【变式7-6】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【变式7-7】新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．如图，在中，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A．8，15，17 B．10,24,26 C．，1 D．6，7，8 3．如图，在中，，分别以为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 5．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 二、填空题 6．如图，一棵大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是 7．小彬用打印机制作了一个底面周长为、高为的圆柱状粮仓模型．如图，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 8．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）． 9．如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 10．观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 三、解答题 11．在中，，，的对边，，分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由． (1)，，． (2)，，． 12．如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 13．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 14．如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？ 15．如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．由下列条件不能判定为直角三角形的是(　　) A． B． C． D． 2．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 3．一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 4．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 7．如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为 ． 8．满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 组这样的“完美勾股数”． 9．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 10．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 三、解答题 11．邱老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a b 4 6 8 10 c (1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数的代数式表示： _________， _________， _________； (2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想． 12．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 13．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 14．如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知． (1)求公路的长度． (2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 15．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$