3.3.1 抛物线及其标准方程 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层递进设计，覆盖抛物线定义、标准方程及实际应用，培养数学抽象与运算能力，适配新授课知识内化与思维进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线标准方程、焦点准线坐标|直接考查方程形式（选择1-2）、焦点准线计算（填空9），强化概念记忆| |能力提升|定义应用、几何性质综合|结合定义求距离（选择3、6）、多曲线交汇（选择4、填空11），发展逻辑推理| |综合应用|实际问题建模、跨知识整合|拱桥支柱计算（填空12）、轨迹方程推导（解答15），体现数学建模与应用意识|

课时作业25 抛物线及其标准方程 一、选择题 1.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　) A．　　　B．－　　　C．8　　　D．－8 2.抛物线y2＝－16x的焦点坐标为(　　) A．(－4,0)　　　　　　　 B．(4,0) C．(0,4) D．(0，－4) 3.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．6 C．8 D．12 4.若抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点与椭圆＋＝1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为(　　) A．y＝－1 B．y＝1 C．y＝－2 D．y＝2 5.已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝2ax B．y2＝4ax C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax 6.已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为(　　) A．5 B．4 C．3 D. 7.若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　) A．x＋4＝0 B．x－4＝0 C．y2＝8x D．y2＝16x 8.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(x,4)在C上,|AF|=5,则p的值可能是(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 二、填空题 9.抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________． 10.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________． 11.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________. 12.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为 米． 三、解答题 13.．根据下列条件写出抛物线的标准方程． (1)焦点到准线的距离是5； (2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3. 14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 15.若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程． 课时作业25 抛物线及其标准方程 (答案） 一、选择题 1.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　) A．　　　B．－　　　C．8　　　D．－8 解析：由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－．故选B. 2.抛物线y2＝－16x的焦点坐标为(　　) A．(－4,0)　　　　　　　 B．(4,0) C．(0,4) D．(0，－4) 解析：y2＝－16x，∴p＝－8，∴＝－4，开口方向向左， ∴焦点坐标为(－4,0)．故选A. 3.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．6 C．8 D．12 解析：选B　由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6. 4.若抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点与椭圆＋＝1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为(　　) A．y＝－1 B．y＝1 C．y＝－2 D．y＝2 解析：选C　∵椭圆＋＝1的上焦点坐标为(0,2)，∴抛物线的焦点坐标为(0,2)，∴抛物线的准线方程为y＝－2，故选C. 5.已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝2ax B．y2＝4ax C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax 解析：选B　因为抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B. 6.已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为(　　) A．5 B．4 C．3 D. 解析：选B　∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1,0)，准线方程为x＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6， ∴线段MN中点的横坐标为3， ∴线段MN的中点到准线的距离为3＋1＝4. 7.若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　) A．x＋4＝0 B．x－4＝0 C．y2＝8x D．y2＝16x 解析：选D　依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x，故选D. 8.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(x,4)在C上,|AF|=5,则p的值可能是(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:由点A(x,4)在抛物线y2=2px上,可得A点横坐标x=,因为|AF|=5,由抛物线定义得=5,解得p=2或p=8.故选AC 二、填空题 9.抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________． 解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为. 答案： 10.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________． 解析：圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1. 答案：(1,0)　x＝－1 11.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________. 解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝. 答案： 12.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为 米． 解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p×(－4)，2p＝25． 即抛物线方程为x2＝－25y． ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6． 由图知，AB是最长的支柱之一． 设点B的坐标为(2，yB)，解得yB＝－，点A的坐标为(2，－4)，∴|AB|＝yB－(－4)＝－＋4＝3.84， ∴最长支柱的长为3.84米． 答案：3.84 三、解答题 13.．根据下列条件写出抛物线的标准方程． (1)焦点到准线的距离是5； (2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3. 解：(1)由题意知p＝5，则2p＝10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y. (2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．由|AF|＝3，得＋2＝3，所以p＝2.所以抛物线的标准方程为x2＝－4y. 14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 解：法一：如图所示， 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5，又|MN|＝3＋，所以3＋＝5， 即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2. 法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， 故 ,解得 ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2. 15.若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程． 解:由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等． 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝， 所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)． 学科网（北京）股份有限公司 $