3.3.1抛物线及其标准方程课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学抛物线同步练分A级基础（8题）和B级提升（5题），梯度从概念理解到综合应用，培养抽象能力与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|抛物线概念（开口、焦点、准线）、标准方程求解、简单几何应用|多选题辨析概念，结合正方体轨迹判断，融入高考真题，强化基础运算| |B级|轨迹方程、最值问题、抛物线与圆综合、证明题|空间几何中轨迹推导，利用定义求最值，含探究性证明，发展推理能力与模型观念|

3.3.1　抛物线及其标准方程 A级 必备知识基础练 1.(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是(　　) A.开口向上,焦点为(0,2) B.开口向右,准线方程为x=- C.开口向右,焦点为 D.开口向上,准线方程为y=-2 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是(　　) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 3.(2026全国1,5)已知抛物线C1:y2=2p1x(p1>0)和C2:x2=2p2y(p2>0)均经过点(4,8),则C1的焦点与C2的焦点之间的距离为(　　) A.12 B.4 C.6 D. 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若=4,则|QF|等于(　　) A. B. C.3 D.2 5.(2024上海,7)若抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9,则P到x轴的距离为　　　　　.  6.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:-y2=1的焦距为　　　;若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为　　　.  7.已知点A(5,2),F为抛物线y2=4x的焦点,点P在抛物线上移动,则|PA|+|PF|的最小值为　　　　.  8.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点; (2)过点M(-6,6); (3)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. B级 关键能力提升练 9.已知P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是点M,点A(,4),则|PA|+|PM|的最小值是(　　) A.5 B. C.4 D. 10.抛物线y2=16x的焦点到圆C:x2+(y-3)2=1上的点的距离的最小值为(　　) A.0 B.4 C.5 D.6 11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且AM=AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离与到点M的距离相等,在平面直角坐标系Axy中,动点P的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　.  12.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点. (1)若点P到直线x=-1的距离为d,点A(-1,1),求|PA|+d的最小值; (2)若点B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. 13.已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,且经过点(2,-1). (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程; (2)过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于M,N两点,直线y=-1分别交直线OM,ON于A,B两点,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 参考答案 1.AD　抛物线方程化成标准方程形式为x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2. 2.D　由题意,知直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线. 3.D　∵抛物线C1:y2=2p1x(p1>0)经过点(4,8), ∴将x=4,y=8代入C1的方程得82=2p1×4,即64=8p1,解得p1=8,∴C1的焦点坐标为F1(,0),即F1(4,0). ∵抛物线C2:x2=2p2y(p2>0)经过点(4,8), ∴将x=4,y=8代入C2的方程得42=2p2×8,即16=16p2,解得p2=1,∴C2的焦点坐标为F2(0,),即F2(0,). 根据两点间距离公式,F1与F2之间的距离为|F1F2|=. 4.C　过点Q作QQ'⊥l于点Q',如图.∵=4, ∴|PQ|∶|PF|=3∶4, 又焦点F到准线l的距离为4, ∴|QF|=|QQ'|=3. 5.4　由题意可知,准线方程是x=-1. 设点P的坐标是(x0,y0). 由点P到准线的距离为9知x0+1=9,则x0=8.代入抛物线方程可得=4×8=32,解得y0=±4,故点P到x轴的距离为|y0|=4. 6.4　4　在双曲线C:-y2=1中,a2=3,b2=1, ∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4. ∵双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合, ∴在抛物线y2=2px(p>0)中,=c,即p=4. 7.6　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, 过点P作直线x=-1的垂线,垂足为点E, 由抛物线的定义,得|PF|=|PE|,则|PA|+|PF|=|PA|+|PE|, 当点A,P,E三点共线时,即当AP与直线x=-1垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,且最小值为5+1=6. 8.解(1)双曲线方程可化为=1,左顶点为(-3,0), 由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3, 所以p=6,所以抛物线的方程为y2=-12x. (2)由于点M(-6,6)在第二象限, 所以过点M的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在x轴上,设其方程为y2=-2px(p>0),将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=-2p×(-6),所以p=3,所以抛物线的方程为y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)的坐标代入可得,36=2p×6,所以p=3, 所以抛物线的方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y. (3)①因为直线l与x轴的交点为(2,0), 所以抛物线的焦点可以是F(2,0), 所以=2,所以p=4, 所以抛物线的标准方程是y2=8x. ②因为直线l与y轴的交点为(0,-3), 所以抛物线的焦点可以是F(0,-3), 所以=3,所以p=6, 所以抛物线的标准方程是x2=-12y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y. 9.B　依题意可知焦点F(,0),准线x=-,延长PM交准线于点H,则|PF|=|PH|,|PM|=|PH|-=|PF|-,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-,我们只要求出|PF|+|PA|的最小值即可.由三角形任意两边之和大于第三边可知,|PF|+|PA|≥|FA|=5,当且仅当点P为AF与抛物线的交点且点P位于点A,F之间时,等号成立.则|PM|+|PA|的最小值为5-.故选B. 10.B　抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),圆C:x2+(y-3)2=1的圆心C(0,3),半径为r=1,|FC|==5,则抛物线y2=16x的焦点F到圆C上的点的距离的最小值为|FC|-r=5-1=4.故选B. 11.y2=2x+8　如图,作PN⊥AD,N为垂足,则PN⊥平面A1D1DA. 作NH⊥A1D1,H为垂足,可得PH⊥A1D1,则点P到直线A1D1的距离为点P到点H的距离. 以AA1为z轴,建立空间直角坐标系,设P(x,y,0),由题意可得M(1,0,0),H(0,y,3). ∵|PM|=|PH|,∴, 整理,得y2=2x+8. 12.解 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d, 于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值. 由平面几何知识,知当F,P,A三点共线且P位于A,F中间时,|PA|+|PF|取得最小值, 最小值为|AF|=,即|PA|+d的最小值为. (2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2, 因为2>2,所以点B在抛物线的右侧. 过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示). 由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4, 所以|PB|+|PF|的最小值为4. 13.(1)解因为点(2,-1)在抛物线C上,所以22=-2p×(-1),解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=-4y,其准线方程为y=1. (2)证明易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),联立得x2+4kx-4=0,Δ=16k2+16>0, 设点M(x1,-),N(x2,-),则x1+x2=-4k,x1x2=-4. 直线OM的方程为y=x,令y=-1,得x=, 所以A(,-1),同理得B(,-1). 设以线段AB为直径的圆与y轴的交点为S(0,s), 则=(,-1-s),=(,-1-s), 因为,所以=0, 即+(-1-s)2=0, 所以(s+1)2=-=4,解得s=1或s=-3. 故以线段AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0,-3). 8 学科网（北京）股份有限公司 $