3.3.2抛物线的简单几何性质 第2课时 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础+提升”分层设计，以直线与抛物线位置关系为核心，从单一知识点应用到综合问题解决，构建循序渐进的知识巩固路径，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|位置关系判断、弦长计算、中点弦问题|选择题结合多选题夯实基础，解答题聚焦方程联立与韦达定理应用，适配新授课目标| |能力提升练|最值问题、轨迹方程、存在性证明|综合题融入几何直观与代数推理，如抛物线与圆交汇问题，提升数学思维与创新意识|

第2课时　直线与抛物线的位置关系 基础练习 题型一　直线与抛物线的位置关系 1.(2026河北沧衡名校联盟期中)已知直线l:y=kx+1和抛物线C:y2=4x,则“k=1”是“直线l与抛物线C恰有一个公共点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 2.(多选题)(2026重庆巴蜀中学期中)过点(1,0)且与抛物线C:x2=4y只有一个交点的直线的方程可能是(　　) A.x=1　　 B.y=0　　 C.x-y-1=0　　D.x+y-1=0 3.(多选题)(2026浙江杭州第二中学期中)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,Q为抛物线上一个动点,P(2,1),则下列结论正确的是(　　) A.F的坐标为(1,0) B.|AB|的最小值为2 C.若Q(1,2),则过Q且与抛物线相切的直线的方程为y=x+1 D.|PQ|+|QF|的最小值为3 4.(2026江西抚州期中)若抛物线E:y2=2px(p>0)与直线x=my-p相切,则实数m的值为　　　　.  5.(2025浙江杭州淳安汾口中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,点P到点(,0)的距离与到直线x=-的距离相等,记动点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)若直线l与C相切于点M,点M的纵坐标为2,求直线l的方程. 题型二　弦长及中点弦问题 6.(2026吉林长春期中)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=,则该抛物线的方程是(　　) A.y2=x　　B.y2=2x　　 C.y2=4x　　D.y2=6x 7.(2026河北邢台质检联盟期中)已知过点P(-1,-2)且斜率为k的直线l与抛物线C:y2=-8x交于A,B两点,且P为线段AB的中点,则k=(　　) A.2　　B.-2　　C.4　　D.-4 8.(2025陕西安康中学月考)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交C于M,N两点,过点M作该抛物线准线的垂线,垂足为P,若△PMF是正三角形,则|MN|=(　　) A.　　B.　　 C.　　D.2 9.(2026吉林长春实验中学期中)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为30°的直线m与抛物线C的一个交点为M(M位于y轴的右侧),过点M作MN⊥l,垂足为N,连接NF,交抛物线C于点Q(Q在线段NF上),则=(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 10.(2026江西赣州期中)已知直线l与抛物线y2=2x交于两点A,B,与x轴、y轴分别交于点P,Q,且A为线段PQ的中点.若|QA||PB|=,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.  11.(2025广东中山一中段考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1. (1)求抛物线C的方程; (2)已知直线l:y=x-1交抛物线C于A,B两点,求弦长|AB|. 12.(2026湖南长沙长郡中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F是椭圆E:+y2=1的一个顶点.直线l与C交于M,N两点,且点Q(2,2)为线段MN的中点. (1)求抛物线C的标准方程; (2)若O为坐标原点,求△OMN的面积. 13.(2026福建南平松溪一中、政和一中等协作体期中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(p,y0)在抛物线C上,且|FM|=3. (1)求抛物线C的方程; (2)若经过点N(5,-1)的直线l与抛物线C交于两点A,B,且⊥,求|AB|. 14.(2025陕西延安期中)已知P是抛物线y2=16x上的动点,过点P作x轴的垂线段,垂足为M,记垂线段PM的中点为Q(当点P经过抛物线与x轴的交点时,规定P与Q重合). (1)求点Q的轨迹方程; (2)过点F(1,0)作直线l与点Q的轨迹交于A,B两点,若△AOB的面积为(O为坐标原点),求直线l的方程. 能力提升练 题型　直线与抛物线的综合应用 1.(2025黑龙江黑河北安一中月考)已知抛物线y2=4x,则抛物线上一点P到直线x-y+5=0的距离的最小值为(　　) A.2　　B.4　　C.　　D.5 2.(2026陕西渭南质检)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线与C相交于M,N两点,则2|MF|+|NF|的最小值为(　　) A.　　B.4　　C.　　D.3 3.(多选题)(2026广东广州华南师大附中期中)如图,已知O为坐标原点,抛物线W:y2=2px(p>0)与圆M:(x-6)2+(y-4)2=64相交于A,B两点,线段AB恰为圆M的直径,且直线AB过抛物线W的焦点F,动直线l过点F且与抛物线交于C,D两点,则以下结论正确的是(　　) A.p=4　　 B.|CF|+9|DF|≥36 C.△CFM的周长可以为14　　 D.当S△COF=3S△DOF时,|CD|=12 4.(多选题)(2025浙江台金七校联盟期中)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称,过点C的直线l与抛物线E交于A,B两点(点A和点C在点B的两侧),则下列命题正确的是(　　) A.|BF|<4 B.若BF为△ACF的中线,则|AF|=|BF| C.存在直线l,使得|AC|=|AF| D.对于任意直线l,都有|AF|+|BF|>2|CF| 5.(多选题)(2026江苏常州田家炳高级中学期中)已知坐标原点为O,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若直线x-my-1=0过点F且与C交于A,B两点,线段AB的中垂线与C的准线交于点P,且线段AB的中点为Q,则(　　) A.p=2 B.∠AOB可能为锐角 C.直线OQ的斜率的最大值为 D.若|PQ|=λ|AB|,则λ≥ 6.(2025北京师范大学附属中学月考)已知F是抛物线E:y2=4x的焦点,过点F且斜率为k的直线l与抛物线E交于A,B两点,M是线段AB的中点. (1)当k=1时,求|AB|与M的坐标; (2)已知O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=1,求直线l的方程. 7.(2026河南周口郸城一高段考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,y0)(y0>0)在抛物线C上,且|PF|=5. (1)求抛物线C的方程; (2)过点Q(1,-4)的直线与抛物线C交于A,B两点(均不与点P重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,那么k1k2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 8.(2025黑龙江哈尔滨期中)已知动圆Q经过点F(1,0)且与直线x=-1相切,记圆心Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设过点F且斜率为正的直线l交曲线C于A,B两点(点A在点B的上方),AB的中点为M. ①过M,B作直线x=-1的垂线,垂足分别为M1,B1,试证明:AM1∥FB1; ②设线段AB的垂直平分线交x轴于点P,若△FPM的面积为4,求直线l的方程. 9.(2026上海复旦大学附属中学期中)在平面直角坐标系Oxy中,抛物线Γ1是由抛物线y=x2按d=(0,m)平移得到的,Γ1过点A(1,0)且与x轴相交于另一点B.曲线Γ2是以AB为直径的圆.将Γ1在x轴上方的部分、Γ2在x轴下方的部分以及点A,B构成的曲线记为曲线Ω. (1)直接写出抛物线Γ1和圆Γ2的方程; (2)如图,设直线y=k(x-1)与曲线Ω有不同于点A的两个公共点P,Q,且∠QBA=∠PBA,求k的值; (3)若过曲线Ω上的动点M(x1,y1)(0<x1<1)的直线l与曲线Ω恰有两个公共点M,N,且直线l与x轴的交点在点A的右侧,求·的最大值,并求取得最大值时点M,N的坐标. 10.(2026北京清华附中期中)如图,抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4;抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6.Γ1和Γ2交于P,Q两点,分别过P,Q作直线与两准线垂直,垂足为M,N,T,S,过F的动直线与封闭曲线APBQ交于C,D两点,有下列说法:①|AB|=5;②四边形MNST的面积为100;③·=0;④|CD|的取值范围为.其中正确的是(　　) A.①②④　　B.①③④　　C.②③　　D.①③ 答案 第2课时　直线与抛物线的位置关系 基础练习 1.A　先分析充分性:当k=1时,直线l:y=x+1,将y=x+1与y2=4x联立,消去y,整理得x2-2x+1=0,此时Δ=(-2)2-4×1×1=0,即直线l:y=x+1与抛物线C恰有一个公共点,因此充分性成立. 再分析必要性:将y=kx+1与y2=4x联立,消去y,整理得k2x2+(2k-4)x+1=0, 分k≠0和k=0两种情况讨论. 当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4×k2×1=0, 解得k=1; 当k=0时,方程即为-4x+1=0,此时直线l与抛物线C恰有一个公共点. 综上可知,当直线l与抛物线C恰有一个公共点时,k=1或k=0,故必要性不成立. 故“k=1”是“直线l与抛物线C恰有一个公共点”的充分不必要条件. 2.ABC　抛物线C:x2=4y的对称轴为直线x=0. 当所求直线与抛物线的对称轴平行时,其方程为x=1,此时直线与抛物线只有一个交点,成立; 当所求直线与抛物线的对称轴不平行时,可知直线斜率存在,设直线方程为y=k(x-1), 联立消去y,得x2-4kx+4k=0, 由直线与抛物线只有一个交点,可知Δ=(-4k)2-4×4k=16k2-16k=0,解得k=0或k=1, 所以直线方程为y=0或y=x-1,即y=0或x-y-1=0. 综上所述,所求直线方程为x=1或y=0或x-y-1=0. 3.ACD　对于A,由抛物线方程y2=4x得焦点F的坐标为(1,0),故A正确; 对于B,当直线AB的斜率不存在时,可得直线AB的方程为x=1, 联立解得y=±2, 则A(1,2),B(1,-2)或A(1,-2),B(1,2),则|AB|=4, 由通径的性质知|AB|≥4,故B错误; 对于C,易知切线的斜率存在且不为0,设切线方程为y-2=k(x-1)(k≠0), 联立消去x,可得ky2-4y+8-4k=0, 此时Δ=(-4)2-4×k×(8-4k)=0,解得k=1(二重根),则切线方程为y-2=x-1,即y=x+1,故C正确; 对于D,如图,过Q作QM垂直于准线x=-1, 结合抛物线的定义可得|PQ|+|QF|=|PQ|+|QM|≥|PM|, 当且仅当P,Q,M三点共线时取等号,此时M(-1,1),可得|PM|=3, 则|PQ|+|QF|的最小值为3,故D正确. 4.答案　± 解析　联立消去x,可得y2-2pmy+2p2=0,由直线与抛物线相切可得Δ=(-2pm)2-4×2p2=4p2(m2-2)=0,由p>0可知m2=2,即m=±. 5.解析　(1)因为点P到定点(,0)的距离与到定直线x=-的距离相等,且定点(,0)不在定直线x=-上,所以P点的轨迹为抛物线,且开口向右, 设其方程为y2=2px(p>0),则p=2, 因此P点的轨迹方程为y2=4x,即C的方程为y2=4x. (2)设M(x0,2),将(x0,2)代入C的方程y2=4x,解得x0=,设直线l的方程为x=m(y-2)+, (点拨:在用代数法解决直线与抛物线的位置关系问题时,设直线方程为x=my+n的优点:一是避免了对斜率是否存在的讨论,二是方便消元) 联立消去x,得y2-4my+8m-4=0, 由直线l与C相切,可得Δ=48m2-32m+16=0,即16(m-1)2=0,解得m=(二重根),则直线l的方程为x=(y-2)+,即x-y+1=0. 6.B　由题可得F,则直线MN的方程为y=-2,即y=-2x+p, 与抛物线方程联立,消去y可得4x2-6px+p2=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,x1x2=,故|MN|=·=p=(速解),相交弦过焦点时,可用焦半径公式求解弦长,即|MN|=|MF|+|NF|=x1++x2+=x1+x2+p=p 解得p=1,则该抛物线的方程是y2=2x. 7.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-4, 由A,B在抛物线上,得 两式作差得(y1-y2)(y1+y2)=-8(x1-x2), 故k===2. 8.B　设M(x1,y1),N(x2,y2),M位于第一象限,直线MN的倾斜角为θ,θ∈(0,π), 根据△PMF是正三角形,PM∥x轴,得θ=∠PMF=60°,因此直线MN的斜率为. 因为F(1,0),所以直线MN:y=(x-1), 由得3x2-10x+3=0, 则x1+x2=,所以|MN|=x1+x2+p=+2=. 9.B　易得抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,直线m的方程为y=x+1,如图所示: 联立整理可得x2-x-4=0,解得x=2或x=-,由题知xM=2,代入y=x+1得yM=3,即M(2,3),所以|MF|=|MN|=3+1=4, 由直线m的倾斜角为30°,可得∠FMN=60°,所以△FMN为正三角形,则|NF|=4, 易得直线FN的方程为y=-x+1, 联立整理可得x2+x-4=0,解得x=-2或x=,由题知xQ=,代入y=-x+1,得yQ=,即Q, 所以|FQ|=+1=,|NQ|=|NF|-|FQ|=4-=, 所以==. 10.答案　y=-2x+2或y=2x-2 解析　由题意可知,直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的方程为y=kx+b(k≠0,b≠0),则P,Q(0,b), 由A为线段PQ的中点,得A-,,又A在抛物线y2=2x上,∴=2×,即kb=-4.① 不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,令Δ>0,则kb<, 由根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=,∴x2=,y2=, 即B. ∵|QA||PB|=,且Q,A,P,B四点共线,与同向,∴·=+=,② 由①②可得或 ∴直线l的方程为y=-2x+2或y=2x-2. 11.解析　(1)由抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得=1,∴p=2. ∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y,得x2-6x+1=0, 则Δ=36-4=32>0,x1+x2=6,x1x2=1. 易得抛物线y2=4x的焦点为(1,0),直线l经过抛物线C的焦点,∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 12.解析　(1)由题知,椭圆右顶点的坐标为(2,0),抛物线的开口向右, 所以F(2,0),故=2,即p=4, 所以抛物线C的标准方程为y2=8x. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 因为M,N都在抛物线上, 所以 两式相减可得-=8(x1-x2),即(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),即·(y1+y2)=8, 由题知y1+y2=4,则4kMN=8,故kMN=2, 所以直线l的方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0. 联立消去y,得x2-4x+1=0,则Δ>0,x1+x2=4,x1x2=1, 所以|MN|=·=×=2, 又因为点O到直线l的距离d==, 所以△OMN的面积S△OMN=×2×=2. 13.解析　(1)由点M(p,y0)在抛物线C上,|FM|=3,且抛物线的开口向右,可得p+=3,得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)当l的斜率不存在时,其方程为x=5, 不妨设A在B的上方,则A(5,2),B(5,-2), 则=(5,2),=(5,-2), 此时·≠0,不符合题意. 当l的斜率存在时,设其方程为y+1=k(x-5),即y=k(x-5)-1, 与抛物线方程联立,消去y,可得k2x2-[2k(5k+1)+4]x+(5k+1)2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ>0, 且x1+x2=,x1x2=, 又⊥,所以x1x2+y1y2=0, 又y1=k(x1-5)-1,y2=k(x2-5)-1, 所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2-k(5k+1)·(x1+x2)+(5k+1)2=0, 即(1+k2)·-k(5k+1)·+(5k+1)2=0,即(1+k2)·(5k+1)2-k(5k+1)[2k(5k+1)+4]+k2(5k+1)2=0, 化简可得(5k+1)(k+1)=0, 即k=-或k=-1, 当k=-时,直线l的方程为y=-x,此时l过坐标原点,不符合题意,舍去; 当k=-1时,直线l的方程为y=-x+4, 且x1+x2=12,x1x2=16, 由弦长公式得|AB|=·=×=4. 14.解析　(1)设Q的坐标为(x,y),则P的坐标为(x,2y), 又P点在抛物线y2=16x上,故(2y)2=16x,即y2=4x,即点Q的轨迹方程为y2=4x. (2)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去x得y2-4my-4=0,则Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4, 则S△AOB=|OF||y1-y2|===,解得m=±, 所以直线l的方程为x=±y+1,即y=±(x-1). 能力提升练 1.A　解法一:易知直线x-y+5=0与抛物线相离,则当平行于直线x-y+5=0的直线与抛物线相切,且P为切点时,P点到直线x-y+5=0的距离最小, 设切线方程为x-y+m=0,m≠5, 由消去x,可得y2-4y+4m=0, 所以Δ=16-16m=0,解得m=1, 因此即P(1,2),所以点P到直线x-y+5=0的距离d==2. 解法二:设P(y∈R)为抛物线上的任一点, 则点P到直线x-y+5=0的距离d==[(y-2)2+16], 因此当y=2,即P(1,2)时,点P到直线x-y+5=0的距离最小,最小值为2. 2.A　由抛物线C的方程为x2=4y,知焦点为F(0,1), 由题知过点F的直线的斜率存在,设其方程为y=kx+1,另设M(x1,y1),N(x2,y2), 联立消去y,整理得x2-4kx-4=0,则Δ>0,x1+x2=4k,x1x2=-4, 因此y1y2=·=1, 又|MF|=y1+=y1+1,|NF|=y2+=y2+1, 故2|MF|+|NF|=2(y1+1)+(y2+1)=2y1+y2+≥2+=, 当且仅当y1=,y2=2时等号成立,因此2|MF|+|NF|的最小值为. 3.AC　圆M:(x-6)2+(y-4)2=64的圆心为M(6,4),半径为8. 对于A,过A,B,M作抛物线准线x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,如图, 由于圆的直径AB过焦点F,所以M(6,4)到准线的距离|MM1|====8, 又|MM1|=6+,所以6+=8,解得p=4,故A正确; 对于B,由A知抛物线W:y2=8x,设直线CD的方程为x=my+2,C(x1,y1),D(x2,y2), 由可得y2-8my-16=0, 则Δ>0,y1+y2=8m,y1y2=-16,则x1x2=·=4,即x2=, 则|CF|+9|DF|=x1+2+9(x2+2)=x1++20≥2+20=32,当且仅当x1=6时等号成立,故B错误; 对于C,由M(6,4),F(2,0),可得|MF|=4,设△CFM的周长为L,C在D的上方,如图: 过点C向抛物线的准线作垂线,垂足为C1, 则L=|CF|+|FM|+|CM|=|CF|+4+|CM|=4+|CC1|+|CM|≥4+|MM1|=4+8,当且仅当M,C,M1三点共线时取等号, 因为4+8<14,所以△CFM的周长可以为14,故C正确; 对于D,如图: 因为====3,所以x1=3x2+4, 又因为x1x2=4,所以(3x2+4)x2=4,解得x2=或x2=-2(舍), 所以x1=6,则|CD|=x1+x2+p=6++4=,故D错误. 4.AD　抛物线E:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因此C(-2,0). 过A,B作准线x=-2的垂线,垂足分别为A1,B1, 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得x1>x2. 对于A,由抛物线的定义知|BF|=x2+2,|AF|=x1+2, 易知直线l的斜率存在且不为0,结合对称性不妨设其方程为y=k(x+2),k>0, 由消去x可得ky2-8y+16k=0,则y1y2=16,从而x1x2=·=4,则x1=, 因为x1>x2,所以>x2,所以0<x2<2, 所以|BF|=x2+2<4, (另解:设l的方程为y=k(x+2),假设l与E相切,则Δ=64-64k2=0,解得k=±1,结合对称性不妨取k=1,可得切点为(2,4),结合图形易知点B在切点左侧,故x2<2<x1,所以|BF|=x2+2<4)因此A正确; 对于B,若BF为△ACF的中线,则B为AC的中点,又BB1∥AA1,所以BB1为△CAA1的中位线, 则|AA1|=2|BB1|,即|AF|=2|BF|,因此B错误; 对于C,若存在直线l,使得|AC|=|AF|,即|AC|=|AA1|, 则cos∠A1AC==,即∠A1AC=45°, 所以直线l的斜率为1,方程为y=x+2, 与抛物线方程联立,消去x,可得y2-8y+16=0,因为Δ=(-8)2-4×1×16=0,所以此时直线l与抛物线E相切,与题干矛盾,因此C错误; 对于D,因为|AF|+|BF|=x1+x2+4>2+4=8,2|CF|=8,所以|AF|+|BF|>2|CF|恒成立,因此D正确. 5.ACD　易知直线x-my-1=0与x轴交于点(1,0),又该直线过点F,且F,所以=1,故p=2,故A正确. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由A知抛物线方程为y2=4x,与方程x-my-1=0联立,消去x,得y2-4my-4=0, 故Δ>0,y1+y2=4m,y1y2=-4, 则·=x1x2+y1y2=+y1y2=1-4=-3<0,故∠AOB是钝角,故B错误. 设Q(x0,y0),由Q为AB的中点,可得y0==2m,则x0=my0+1=2m2+1, 由题易知m∈R,当m>0时,kOQ===≤=, 当且仅当2m=,即m=时取等号; 当m<0时,kOQ===≥-=-, 当且仅当2m=,即m=-时取等号; 当m=0时,kOQ===0, 综上可知C正确. 由上述分析及题意可知,线段AB的中垂线方程为y-2m=-m(x-2m2-1), 令x=-1,得y=2m3+4m,即P(-1,2m3+4m), 故|PQ|==2(1+m2),又|AB|=x1+x2+2=my1+1+my2+1+2=4m2+4, 故由|PQ|=λ|AB|,得λ=≥,故D正确. 6.解析　(1)抛物线E:y2=4x的焦点为F(1,0), 当k=1时,直线l:y=x-1, 联立消去y得x2-6x+1=0,则Δ=32>0, 设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 所以x1+x2=6,x1x2=1, 由焦点弦的长度公式得|AB|=x1+x2+2=8. 易得x0===3,y0=x0-1=3-1=2,所以中点M的坐标为(3,2). (2)易得直线l:y=k(x-1), 联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则Δ=16(k2+1)>0, 设点A(x'1,y'1),B(x'2,y'2), 所以x'1+x'2=,x'1x'2=1, 因为x'1y'2+x'2y'1=2kx'1x'2-k(x'1+x'2)=-,所以k1+k2=+==-=1,解得k=-4, 因此l的方程为y=-4x+4. 7.解析　(1)由抛物线的定义可知|PF|=xP+,所以4+=5,则p=2, 因此抛物线C的方程为y2=4x. (2)由(1)得C:y2=4x.由P(4,y0)(y0>0)在抛物线上,得=16,故y0=4,即P(4,4), 显然,过点Q(1,-4)且与抛物线相交于A,B两点的直线的斜率不为0,设直线AB的方程为x=m(y+4)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠4,x2≠4. 由消去x,得y2-4my-16m-4=0, 则Δ=16m2-4(-16m-4)=16(m2+4m+1)>0,解得m>-2或m<--2, 由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-16m-4, 故x1+x2=m(y1+y2+8)+2=4m2+8m+2, x1x2=(my1+4m+1)(my2+4m+1)=m2y1y2+m(4m+1)(y1+y2)+(4m+1)2=16m2+8m+1, 又k1=,k2=, 所以k1k2=· = = ==, 故k1k2为定值. 8.解析　(1)依题意可得,圆心Q到定点F(1,0)的距离等于到定直线x=-1的距离,且定点F(1,0)不在定直线x=-1上, 所以圆心Q的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线, 设其方程为y2=2px(p>0),则p=2,所以曲线C的方程为y2=4x. (2)①证明:设直线AB的方程为x=my+1(m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),x1>x2, 则AB的中点为M,由(1)可知抛物线C的准线方程为x=-1,则M1,B1(-1,y2), 所以==-. 联立消去x可得y2-4my-4=0,因此y1+y2=4m,y1y2=-4, 所以=====-, 从而=,所以AM1∥FB1. ②由①可得=2m,将y=2m代入x=my+1(m>0),可得中点M的横坐标为2m2+1,所以M(2m2+1,2m), 又线段AB的垂直平分线的斜率为-m, 所以线段AB的垂直平分线方程为y-2m=-m(x-2m2-1), 令y=0,可得x=2m2+3,所以P(2m2+3,0),所以|PF|=|2m2+3-1|=2m2+2, 所以S△FPM=|PF|·|2m|=(2m2+2)m, 又△FPM的面积为4,所以(2m2+2)m=4,所以(m-1)(m2+m+2)=0,解得m=1, 所以直线l的方程为x=y+1,即x-y-1=0. 9.解析　(1)抛物线y=x2按d=(0,m)平移后得到曲线y=x2+m, 由题知点A(1,0)在曲线y=x2+m上,将(1,0)代入y=x2+m,得0=1+m,解得m=-1,所以Γ1:y=x2-1, 则B(-1,0),所以圆Γ2的圆心为(0,0),半径为1,所以Γ2:x2+y2=1. (2)由题可知直线y=k(x-1)过点A,且与抛物线Γ1和圆Γ2各有一个不同于点A的公共点,分别为Q,P, 联立消去y得x2-kx+k-1=0, 则xAxQ=k-1,所以Q(k-1,k2-2k), 由k2-2k>0,得k>2或k<0. 联立 同理可得P, 由<0,得k>0. 综上可得k>2. 又点B(-1,0),∠QBA=∠PBA,所以kQB+kPB=+=0, 解得k=1±,又k>2,所以k=1+. (3)结合图象可知分两种情况: ①如图1,M,N都在y轴下方的四分之一圆上(不含其与坐标轴的交点), 此时·=||·||·cos∠MON=cos∠MON<1. 　 ②如图2,M(x1,y1)在y轴下方的四分之一圆上(不含其与坐标轴的交点),N在第一象限内的抛物线上,设N(x2,y2),则y2=-1. 当直线MN为曲线Ω在M和N处的切线时,·最大. 设曲线Ω在N处的切线斜率为k',由 得x2-k'x+k'x2-=0, 则Δ=(-k')2-4(k'x2-)=(k'-2x2)2=0,所以k'=2x2, 所以切线方程为y=2x2(x-x2)+-1,即y=2x2x--1, 切线与圆Γ2也相切,所以圆心(0,0)到切线的距离d==1,所以x2=, 此时切线方程为y=2x-3,切线与x轴的交点为,在A(1,0)的右侧,符合题意, 又MN⊥OM,所以·==1, 由y2=-1得y2=1,所以N(,1), 由 得即M. 综上,·的最大值为1, 此时M,N(,1). 10.B　不妨以抛物线Γ1的顶点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 因为抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4,所以|AF|=2,则抛物线Γ1的标准方程为y2=8x. 因为抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6,所以|BF|=3,则|AB|=2+3=5,故①正确. 结合图象的平移变换可知抛物线Γ2的方程为y2=-12(x-5),因为Γ1和Γ2交于P,Q两点,所以联立解得故P(3,2),Q(3,-2), 从而可得M(-2,2),N(8,2),S(8,-2),T(-2,-2), 则四边形MNST的面积为10×4=40,故②错误. 又F(2,0),故=(-4,-2),=(6,-2),易知·=0,故③正确. 由抛物线的对称性,不妨设点D位于封闭曲线APBQ在x轴上方的部分,C在直线l1上的射影为C1,D在直线l2上的射影为D1,连接CC1,DD1, 当点D在抛物线Γ2的曲线段BP上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,由抛物线的定义可知,|CD|=|CF|+|DF|=|CC1|+|DD1|, 故当C,D分别与A,B重合时,|CD|最小,最小值为5, 当D与P重合,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时, 因为P(3,2),F(2,0),所以直线CD的方程为y=(x-2),即y=2(x-2), 联立消去y并整理,得3x2-13x+12=0,不妨设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=, 所以|CD|=x1+x2+4=,所以|CD|∈; 当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时, 不妨设直线CD的方程为x=ty+2, 联立消去x并整理,得y2-8ty-16=0,不妨设C(x3,y3),D(x4,y4),则y3+y4=8t, 所以|CD|=x3+x4+4=t(y3+y4)+8=8t2+8≥8, 当t=0,即CD⊥AB时,等号成立, 由抛物线的对称性可知|CD|∈; 当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ2的曲线段QB上时, 由抛物线的对称性可知|CD|∈. 综上,|CD|∈,故④正确. 故说法正确的有①③④. 7 学科网（北京）股份有限公司 $