3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现抛物线几何性质从概念理解到综合应用的递进，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象、推理及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|通径、焦点、准线等单一性质|选择、填空为主，如通径长计算（题1）、点到准线距离（题2）| |综合运用|抛物线与圆、双曲线综合|含图像判断（题12）、实际问题求解（题14）| |拓展提高|焦点弦性质探究与证明|多选性质判断（题15）、综合证明（题16）|

3.3.2　抛物线的简单几何性质 一、基础巩固 1.抛物线x=8y2的通径长为(　　) A.8 B.4 C. D. 2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 3.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 4.(多选)点M(1,1)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为2,则a的值可以为(　　) A. B.- C. D.- 5.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为(　　) A.x=- B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4 6.已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p等于(　　) A. B. C. D. 7.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是(　　) A.(2,±2) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2) 8.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(,-2)的抛物线的方程为　　　　.  9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条,写出一个满足条件的抛物线的方程　　　　　　　　.  10.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　.  11.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,O为原点,若|OA|=|OB|,△AOB的垂心恰为抛物线的焦点F,求直线AB的方程. 二、综合运用 12.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为(　　) 13.已知F是抛物线y2=16x的焦点,M是抛物线上一点,FM的延长线交y轴于点N,若3=2,则|FN|=　　　　.  14.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3. (1)求抛物线的标准方程; (2)若焦点在直线y=的上方,通径为CD,求△OCD的面积S. 三、拓展提高 15.(多选)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是(　　) A.|MN|=|AB| B.FN⊥AB C.Q是线段MN的一个三等分点 D.∠QFM=∠QMF 16.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0),求抛物线的方程. 参考答案 一、基础巩固 1.抛物线x=8y2的通径长为(　　) A.8 B.4 C. D. 答案　C 解析　抛物线x=8y2,即y2=x,可得2p=,因此通径长为. 2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设抛物线的焦点为F,原点为O,P(x0,y0), 由条件及抛物线的定义,知|PF|=|PO|, 又F,所以x0=,所以=, 所以y0=±. 3.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 答案　C 解析　抛物线x2=4y的准线为y=-1, 因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点, 所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点到准线的距离分别是y1+1,y2+1. 所以|P1P2|=y1+y2+2=8. 4.(多选)点M(1,1)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为2,则a的值可以为(　　) A. B.- C. D.- 答案　AB 解析　抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为y=-,因为点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,所以=2,解得a=或a=-. 5.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为(　　) A.x=- B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4 答案　B 解析　抛物线y2=2px(p>0)的焦点F, 将点P的横坐标代入抛物线得y2=16p, 可得y=±4,不妨令P(8,4), 则S△OFP=××4=p=2, 解得p=2, 则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1. 6.已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F, 因为四边形ABCD是矩形,所以由抛物线与圆的对称性知|AF|=|AD|=p, 则+p2=1,解得p=. 7.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是(　　) A.(2,±2) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2) 答案　B 解析　由题意知F(1,0),设A, 则=,=, 由·=-4得y0=±2, ∴点A的坐标为(1,±2). 8.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(,-2)的抛物线的方程为　　　　.  答案　y2=4x或x2=-y 解析　M在第四象限,分别设y2=2px和x2=-2py(p>0), 将(,-2)代入得12=2p·或3=-2p·(-2), 解得p=2或, ∴抛物线方程为y2=4x或x2=-y. 9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条,写出一个满足条件的抛物线的方程　　　　　　　　.  答案　y2=x(不唯一) 解析　过焦点的最短弦为通径,其长度为2p. 根据抛物线的对称性,只需2p<2,即p<1. 故答案可以为y2=x. 10.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　.  答案　6 解析　抛物线的焦点坐标为F,准线方程为y=-. 将y=-代入-=1得|x|=. 要使△ABF为等边三角形,则tan ===,解得p2=36,p=6. 11.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,O为原点,若|OA|=|OB|,△AOB的垂心恰为抛物线的焦点F,求直线AB的方程. 解　由抛物线的对称性可知,A,B两点关于x轴对称. 设点A的坐标为(x1,y1), 则点B的坐标为(x1,-y1). 抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为F, 由F是△AOB的垂心可知,可知AF⊥OB, 因此kAF·kOB=-1, 即·=-1. ① 由点A在抛物线上得=2px1. ② 将②代入①得x1=, 故直线AB的方程为x=p. 二、综合运用 12.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为(　　) 答案　D 解析　将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为+=1与y2=-x. 因为a>b>0,所以>>0, 所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴负半轴上,且开口向左,故选D. 13.已知F是抛物线y2=16x的焦点,M是抛物线上一点,FM的延长线交y轴于点N,若3=2,则|FN|=　　　　.  答案　16 解析　易知焦点F的坐标为(4,0),准线l的方程为x=-4,如图, 抛物线准线与x轴的交点为A,作MB⊥l于点B,NC⊥l于点C, AF∥MB∥NC,则=, 由3=2,得=, 又|CN|=4,|OF|=4, 所以=,|BM|=,|MF|=|BM|=,=, 所以|FN|=16. 14.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3. (1)求抛物线的标准方程; (2)若焦点在直线y=的上方,通径为CD,求△OCD的面积S. 解　(1)设所求抛物线的标准方程为 x2=2py(p>0), 设A(x0,y0),由题意知M.因为|AF|=3,所以y0+=3, 因为|AM|=,所以+=17, 所以=8,代入方程=2py0得, 8=2p,解得p=2或p=4. 所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. (2)由(1)知x2=8y符合题意. 通径|CD|=8,原点到通径的距离为2, 所以S△OCD=×8×2=8. 三、拓展提高 15.(多选)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是(　　) A.|MN|=|AB| B.FN⊥AB C.Q是线段MN的一个三等分点 D.∠QFM=∠QMF 答案　ABD 解析　如图, 由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|. 又|MN|=, 则|MN|==|AB|,A正确. 由|MN|=|AB|,|AM|=|MB|, 得|MN|=|AM|, 所以∠MAN=∠MNA. 而∠MNA=∠CAN, 所以∠MAN=∠CAN, 所以△ANC≌△ANF, 可知∠ACN=∠AFN=90°, 所以FN⊥AB,B正确. 在Rt△MNF中,|QN|=|QF|, 可知∠QNF=∠QFN, 所以∠QFM=∠QMF,D正确. 由∠QFM=∠QMF,可知|QF|=|QM|, 所以|NQ|=|QM|,即Q是MN的中点, 故C不正确. 16.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0),求抛物线的方程. 解　设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线方程为x=-. 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵|AF|+|BF|=8,∴x1++x2+=8, 即x1+x2=8-p. ∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上,∴|QA|=|QB|, 即=, 又=2px1,=2px2, ∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ∵AB与x轴不垂直, ∴x1≠x2. 故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0, 即p=4. 从而抛物线方程为y2=8x. 1 学科网（北京）股份有限公司 $