3.1.2椭圆的简单几何性质同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过概念辨析、运算推理及实际情境问题，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|椭圆离心率、焦点坐标等单一概念|单选题（1-3题）直接考查定义与基本运算，夯实概念理解| |能力提升|离心率与椭圆形状关系、参数讨论等综合辨析|多选题（8-9题）结合分类讨论，填空题（10-13题）强化运算推理，发展逻辑思维| |综合应用|轨迹方程、实际问题建模等复杂应用|解答题（14-16题）联系旗杆、地块开发等情境，培养数学建模与问题解决能力，体现数学语言表达现实世界|

3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 2．椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 4．类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（   ） A．1 B． C． D． 5．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 6．下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 7．椭圆的离心率为，则（    ） A．8 B．2或8 C．4或8 D．8或12 二、多选题 8．已知曲线，是曲线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线表示的图形是圆 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，且离心率，则或 C．当且 时，的面积为 D．当时，存在点使得 9．定义“相似椭圆”：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆为相似椭圆.已知椭圆，为相似椭圆，且，则（    ） A． B．两椭圆的长轴长之比为 C．两椭圆的短轴长之比为 D．两椭圆的焦距之比为 三、填空题 10．椭圆的焦距为，则__________． 11．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 12．已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 13．已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为_____________． 四、解答题 14．某操场的正前方有两根高度均为6m、相距10m的旗杆（都与地面垂直）.有一条26m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面（水平面）的接触点到两根旗杆的距离各是多少.    15．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：. 16．如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.    (1)求椭圆上的点到直线的最短距离； (2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 《3.1.2 椭圆的简单几何性质（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D D A B ACD 题号 9 答案 ABD 1．C 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：C 2．B 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【详解】由椭圆方程为，可得，，且； ； 又，. ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 3．D 【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中x、y的取值范围、求椭圆的长轴、短轴 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 4．D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设，结合辅助角公式运算求解即可. 【详解】设曲线上的点为，且， 可得， 其中， 所以曲线上的点到原点的距离平方最大值为. 故选：D. 5．D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】计算出各选项中椭圆的离心率后，比较离心率大小，借助离心率越小椭圆越接近于圆判断即可得. 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 6．A 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【详解】对A，其离心率为， 对B，其离心率为， 对C，其离心率为， 对D，其离心率为， 根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意. 7．B 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】分焦点在轴与轴两种情况讨论，分别确定，，再由离心率公式得到方程，解得即可. 【详解】当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 所以或, 故选：B． 8．ACD 【知识点】向量垂直的坐标表示、由椭圆的离心率求参数的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】结合题意求出方程判断A，利用离心率的定义建立方程并结合题意判断B，利用余弦定理结合椭圆的定义得到，再利用三角形面积公式判断C，设出点的坐标，结合题意得到，进而建立方程组，求出具体的点，最后得到点的存在性判断D即可. 【详解】对于A，当时，曲线方程变为， 则，可得曲线表示的图形是圆，故A正确， 对于B，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 而离心率，可得，解得，故B错误， 对于C，由题设可得，则， 当时，则， 化简得， 而由椭圆的定义得，得到，解得， 由三角形面积公式得，故C正确， 对于D，设椭圆上一点为，而，， 则，， 若存在点使得，则存在点使得， 此时，解得， 可得，则存在点使得，故D正确. 故选：ACD 9．ABD 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】根据题意求出与，与的关系，在逐一判断即可. 【详解】由题意可得，即， 所以， 所以， 所以，故A正确； 对于B，两椭圆的长轴长之比为，故B正确； 对于C，两椭圆的短轴长之比为，故C错误； 对于D，两椭圆的焦距之比为，故D正确. 故选：ABD. 10． 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆焦距求出半焦距，结合椭圆中的基本关系计算的值. 【详解】由，焦点在轴上，其中短半轴的平方； 由椭圆焦距为，可得，解得， 又，则，结合已知， 故. 11． 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 12． 【知识点】椭圆中x、y的取值范围 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. 13．/ 【知识点】求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题设求出椭圆的两个顶点得到，再结合和离心率定义即可求解. 【详解】对直线，令，， 所以直线经过椭圆的两个顶点， 故，所以该椭圆的离心率为． 故答案为： 14． 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆的其他应用 【分析】根据椭圆的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系： 因为， 所以点是以为焦点的椭圆上，设方程为， 显然， 所以方程为， 因为旗杆的高度为6m， 所以有， 所以绳子与地面（水平面）的接触点到两根旗杆的距离各是.    15．(1) (2)证明：当，不妨取，满足曲线的方程， 则的方程为，可得， 此时可得，又，故； 当不垂直于时，设，则直线的方程为，    联立，得， 所以，则， 故， 又， 故， 即，所以， 综上所述：. 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆的其他应用 【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求曲线的方程，注意. （2）设、直线为，联立曲线，应用韦达定理求的坐标，进而用表示、，即可证结论. 【详解】（1）由题意可设，且， 则， 所以曲线的方程为. （2）略 16．(1)百米 (2)百米 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆的其他应用 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆的基本量即可得到答案； （2）将题意转化为求圆上一点到定点距离的最小值即可求解. 【详解】（1）以椭圆中心为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    设椭圆标准方程为， 由题意得，离心率，，所以， 又因为，解得， 所以，椭圆上的点到直线的最短距离百米 （2）设线段的中点为，由知， 由圆的定义知，点在以为圆心，3为半径的圆上. 则点运动轨迹为， 所以线段的中点到椭圆中心的距离的最小值为百米 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $