课时作业22+直线与椭圆的位置关系 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层覆盖直线与椭圆位置关系全知识点，梯度从基础判断到综合应用，适配新授课巩固与能力提升，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|位置关系判断、相切条件|选择题1-6考公共点个数、斜率计算，强化概念理解与基本运算| |中档|中点弦问题、参数范围|选择题7-8及填空题9-12用点差法求弦方程，提升推理能力| |拔高|综合应用与几何性质|解答题13-15结合弦长、离心率、面积计算，体现方程思想与应用意识|

课时作业22 直线与椭圆的位置关系 一、选择题 1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．1或2 C．2 D．0 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A. B. C. D. 4．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为(　　) A．6 B．15 C．20 D．12 5．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 6.如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7.椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A． B． C． D． 8.椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9.已知椭圆与直线有公共点，则实数的取值范围是____________. 10．已知椭圆＋＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________. 11．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法： ①焦距为n－m； ②短轴长为； ③离心率e＝. 其中正确说法的序号为________． 12．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________． 三、解答题 13．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 14.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程． 15．已知椭圆. （1）求椭圆C的离心率e； （2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积. 课时作业22 直线与椭圆的位置关系 （答案） 一、选择题 1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．1或2 C．2 D．0 解析：选C　因为直线过定点(3，－1)且＋＜1， 所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点． 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 解析：选C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　易求直线AB的方程为y＝(x＋)． 由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝× ＝. 4．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为(　　) A．6 B．15 C．20 D．12 解析：选D　由题意知，S△ABF＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12. 5．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 解析：选C　设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝1. 由 得＋＝0， ∴＝－×＝1，∴＝， 故椭圆的离心率e＝＝＝.故选C. 6.如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2）， 联立 ，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0， ∵过点M（-2，0）的直线l与椭圆有公共点， ∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0， 整理，得k2≤ 解得 ∴直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 7.椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A． B． C． D． 解析：设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2）， 则有①，②， ①﹣②式可得： 又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4， ∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0 即得kEF= ∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：D． 8.椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ） A． B． C． D． 解析：设弦的两端点为，，代入椭圆得， 两式相减得， 即， 即，即， 即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A. 二、填空题 9.已知椭圆与直线有公共点，则实数的取值范围是____________. 解析：由，得． 因为直线与椭圆有公共点，所以， 即，解得． 答案： 10．已知椭圆＋＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：易求得a＝5，b＝4，所以|AB|＝＝＝. 答案： 11．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法： ①焦距为n－m； ②短轴长为； ③离心率e＝. 其中正确说法的序号为________． 解析：由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，∴2b＝2＝2，e＝，故①③正确，②不正确． 答案：①③ 12．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________． 解析：由题意知，右焦点的坐标为(1,0)， 直线的方程为y＝2(x－1)，将其与＋＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以|AB|＝·|x1－x2|＝×＝.设原点到直线的距离为d，则d＝＝. 所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝. 答案： 三、解答题 13．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 解：把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*) 则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0， 解得－＜m＜. 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 根据弦长公式，得 ·＝，解得m＝0. 因此，所求直线的方程为y＝x. 14.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)， 由＝2，解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3，b2＝2， 所以椭圆方程为＋＝1. 15．已知椭圆. （1）求椭圆C的离心率e； （2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积. 解析：（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为， ； （2）设斜率为的直线的方程为，且、， ，椭圆的方程为， 由，.消去得，又有. ，解得：满足，直线的方程为. 故到直线的距离，. 学科网（北京）股份有限公司 $