3.2.2双曲线的简单几何性质课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 练习围绕“双曲线的简单几何性质”，分A级（10题）和B级（4题），分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，培养数学抽象、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|标准方程、渐近线、离心率、焦点|选择填空为主，结合高考真题，强化基础运算与概念理解| |B级|渐近线夹角、椭圆双曲线综合、直线与双曲线位置关系|多选题与综合解答，提升逻辑推理与综合应用能力|

3.2.2　双曲线的简单几何性质 A级 必备知识基础练 1.(2026全国2,4)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)过点(1,0)和(,3),则双曲线C的渐近线方程是(　　) A.y=±3x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x 2.(2025全国1)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 3.如图,双曲线C:=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 4.已知双曲线C的离心率为,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,P为双曲线C上一点,|PF1|=3|PF2|.若△PF1F2的面积为4,则双曲线C的实轴长为(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 5.已知圆锥曲线mx2+ny2=1的焦点在y轴上,且离心率为2,则=　　　　.  6.(2024北京,13)已知双曲线-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　　.  7.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为双曲线C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　　.  8.(2024新高考Ⅰ,12)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交曲线C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则双曲线C的离心率为　　　　　.  9.(2026广西高二期中)求符合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在x轴上,焦距为6,实轴长为2; (2)过点(),离心率为. 10.双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积. B级 关键能力提升练 11.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为(　　) A.-y2=1 B.=1 C.=1 D.=1 12.已知椭圆C和双曲线E具有相同的焦点,离心率分别为e1,e2,椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,则(　　) A.e1e2=1 B.e1e2= C.e1=3e2 D.e1+e2= 13.已知直线y=x-2与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,线段AB的垂直平分线过点(4,0),则双曲线C的离心率为　　　　　.  14.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2. (1)求点C的轨迹方程; (2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长. 参考答案 1.B　把点(1,0)和(,3)代入双曲线方程可得 所以双曲线方程为x2-=1, 故该双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选B. 2.D　(方法1)由题知,2b=×2a,∴b=a,∴c==2a,∴e==2.故选D. (方法2)由题可得,,则e==2.故选D. 3.C　设F2为右焦点,连接P2F2(图略),由双曲线的对称性,知|P1F1|=|P2F2|,所以|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6. 4.C　由题意知,点P在双曲线C的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=3a,|PF2|=a.又e=,∴|F1F2|=2c=2a.则在△PF1F2中,cos∠F1PF2==-,∴sin∠F1PF2=,故·a·3a·=4,得a=2(负值舍去),∴实轴长为2a=4.故选C. 5.-　圆锥曲线的离心率为2,则该圆锥曲线是双曲线,将方程化成焦点在y轴上的标准形式为=1, 由离心率e=2,有e2==4,得=-. 6.±　由-y2=1,得双曲线的渐近线方程为y=±x. ∵直线过点(3,0),且与双曲线只有一个交点, ∴直线与双曲线的渐近线平行, ∴直线的斜率为±. 7.44　由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5, ∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16,点P,Q在双曲线的右支上, 由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6, ∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28, ∴△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. 8.　 由双曲线的对称性不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点. 由题意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8, ∴a=4.易知AF2⊥F1F2, ∴在Rt△AF2F1中,有|F1F2|==12. 设双曲线C的焦距为2c(c>0),则2c=|F1F2|=12, ∴c=6.∴双曲线C的离心率e=. 9.解(1)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), ∵ ∴双曲线的标准方程为x2-=1. (2)当双曲线的焦点在x轴上时,设其方程为=1(a>0,b>0), ∵解得 ∴双曲线的标准方程为x2-=1; 当双曲线的焦点在y轴上时,设其方程为=1(a>0,b>0),∵解得 ∴双曲线的标准方程为y2-=1. 综上所述,双曲线的标准方程为x2-=1或y2-=1. 10.解 由题意得,双曲线=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±x. 不妨设直线FB的方程为y=(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9, 解得x=,y=-,所以B(,-). 所以S△AFB=|AF||yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×. 11.ABD　依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知A,B,D均可能. 12.B　不妨设椭圆C和双曲线E的焦点在x轴上,由于椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段,设双曲线的实轴长为2a,则椭圆的长轴长为6a,则椭圆的左、右顶点分别为(-3a,0),(3a,0),双曲线的左、右顶点分别为(-a,0),(a,0),焦点为(-2a,0),(2a,0),所以e1=,e2==2,所以e1e2=,故A错误,B正确;e2=3e1,故C错误;e1+e2=,故D错误.故选B. 13.　直线y=x-2与线段AB的垂直平分线垂直, 则线段AB的垂直平分线的斜率为-1, 又线段AB的垂直平分线过点(4,0), ∴线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-4),即x+y-4=0. 联立解得 即AB的中点坐标为(3,1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2, ∵AB的中点坐标为(3,1),AB的斜率为1, ∴x1+x2=6,y1+y2=2,=1. 则两式作差可得, 则×1=, ∴双曲线C的离心率e=. 14.解 (1)∵点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2. |AB|=2>2, ∴点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=,∴点C的轨迹方程是x2-=1. (2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2. ∴联立得x2+4x-6=0, 设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6, ∴|DE|==4. 故线段DE的长为4. 5 学科网（北京）股份有限公司 $