课时作业24+双曲线的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线几何性质，通过基础辨析、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|渐近线方程、实轴长等单一概念|选择题1-3、填空题9-10，直接考查定义辨析，发展数学抽象能力| |中档|离心率计算、焦点坐标等综合应用|选择题4-7、填空题11-12，结合椭圆性质、渐近线与焦点关系，培养运算能力| |综合|方程求解、几何关系证明等拓展探究|解答题13-15及多选题8，涉及共轭双曲线、点到直线距离等，提升逻辑推理与数学建模能力|

课时作业24 双曲线的简单几何性质 一、选择题 1.若0<k<a，则双曲线－＝1与－＝1有(　　) A．相同的实轴　　　　　 B．相同的虚轴 C．相同的焦点 D．相同的渐近线 2.x2－＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±x 3.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 4.如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B. C. D．2 5.若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　) A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160 C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24 6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． 7.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 8．(多选题)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为 二、填空题 9.已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________． 10.设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________，渐近线方程为________． 11.已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________． 12.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ． 三、解答题 13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．求这两条曲线的方程． 14．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程． 15．设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 课时作业24 双曲线的简单几何性质 （答案) 一、选择题 1.若0<k<a，则双曲线－＝1与－＝1有(　　) A．相同的实轴　　　　　 B．相同的虚轴 C．相同的焦点 D．相同的渐近线 解析：∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0． ∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2．故选C. 2.x2－＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±x 解析：双曲线x2－＝1焦点在x轴上且a2＝1，b2＝4， ∴a＝1，b＝2，y＝±x＝±2x．故选A. 3.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 解析：选C　双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C. 4.如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B. C. D．2 解析：选A　由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线的离心率e＝. 5.若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　) A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160 C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24 解析：选D　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D. 6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：由双曲线的渐近线方程是y＝±x知＝， 所以b＝a，所以c2＝a2＋b2＝a2＋a2＝a2， 所以e2＝＝，所以e＝．故选B． 7.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：选B　∵双曲线一个顶点的坐标为(0,2)， ∴a＝2， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 根据题意，得2a＋2b＝×2c， 即a＋b＝c. 又∵a2＋b2＝c2，且a＝2， ∴ 解得b＝2， ∴双曲线的标准方程为－＝1， 故选B. 8．(多选题)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为 解析：选ACD　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选A、C、D. 二、填空题 9.已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________． 解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1， 所以e＝＝2. 答案：2 10.设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________，渐近线方程为________． 解析：设双曲线C的方程为－x2＝λ.将点(2,2)的坐标代入， 得λ＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1. 令－x2＝0，得y＝±2x，即渐近线方程为y＝±2x. 答案：－＝1　y＝±2x 11.已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________． 解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝. 答案： 12.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ． 解析：双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线x－y＝0， ∴1＝＝．∴a＝2， 又＝，∴b＝，∴双曲线方程为－y2＝1． 答案：－y2＝1 三、解答题 13．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．求这两条曲线的方程． 解:由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m，n，则 解得a＝7，m＝3．所以b＝6，n＝2． 所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1． 14．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程． 解：由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0)． ∵点A(2，－3)在双曲线E上，∴－＝t， ∴t＝－，∴双曲线E的标准方程为－＝1. 又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线， ∴双曲线M的标准方程为－＝1. 15．设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝. 又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. 学科网（北京）股份有限公司 $