课时作业23 双曲线及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线定义与标准方程，通过基础巩固-中档应用-综合提升三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|焦距、标准方程形式、定义直接应用|选择题1-5考查基本量计算，如焦距求解，夯实概念理解| |中档|焦点位置判断、方程参数求解、几何性质应用|选择题6-8结合焦点三角形，填空题9-11通过坐标关系求方程，提升推理能力| |提升|定义综合应用、轨迹方程、三角形面积计算|解答题14-15结合正弦定理与余弦定理，培养数学建模与问题解决能力|

课时作业23 双曲线及其标准方程 一、选择题 1.双曲线－y2＝1的焦距为(　　) A．4　　　　　　　　 B．8 C． D．2 2.若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于(　　) A．2　　　　 B．4 C．8　　　　 D．12 3．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2,2) 4.下列选项中的曲线与－＝1共焦点的双曲线是(　　) A.－＝2　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　) A．5 B．3 C．7 D．3或7 6.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 7.(多选题)已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时， 曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 8.已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 二、填空题 9.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________. 10.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为 ． 11.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________． 12.设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．cos∠F1PF2＝________. 三、解答题 13.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 14．在△ABC中，已知|AB|＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程． 15.已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积． 课时作业23 双曲线及其标准方程 （答案） 一、选择题 1.双曲线－y2＝1的焦距为(　　) A．4　　　　　　　　 B．8 C． D．2 解析：a2＝15，b2＝1，c2＝a2＋b2＝16，∴c＝4,2c＝8．故选B. 2.若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于(　　) A．2　　　　 B．4 C．8　　　　 D．12 解析：双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8， 由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|， 所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4．故选B. 3．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2,2) 解析：由题意，方程可化为－＝3， ∴解得：m＜－2．故选C. 4.下列选项中的曲线与－＝1共焦点的双曲线是(　　) A.－＝2　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：选D　与－＝1共焦点的双曲线系方程为 －＝1(－12＜λ＜24)，对比四个选项， 只有D符合条件(此时λ＝－2)． 5.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　) A．5 B．3 C．7 D．3或7 解析：选D　由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝±2a，即5－|PF2|＝±2，所以|PF2|＝3或|PF2|＝7.故选D. 6.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B　由双曲线的方程可知a＝1，c＝.设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则 ∴ ∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4. 7.(多选题)已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时， 曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 解析：选BCD　A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴1<t<；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t>4. 8.已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：选B　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝，即a2＋b2＝5.① 设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0,2)， 可知得 即点P的坐标为(，4)， 代入双曲线方程，得－＝1.② 联立①②，得a2＝1，b2＝4， 即双曲线的标准方程为x2－＝1.故选B. 二、填空题 9.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________. 解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16. 答案：16 10.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为 ． 解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n．(m＞0，n＞0)，在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，由双曲线的定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16＝4a2，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝1，∴双曲线的标准方程为－y2＝1． 答案：－y2＝1　 11.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________． 解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 12.设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．cos∠F1PF2＝________. 解析：由题意知|F1F2|＝2＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.cos∠F1PF2＝＝＝－. 答案：22　－ 三、解答题 13.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上， 所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上， 所以解得 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4))． 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 14．在△ABC中，已知|AB|＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程． 解：以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)． 设△ABC的外接圆半径为R. 由正弦定理得sin∠CAB＝，sin∠CBA＝，sin C＝. ∵2sin∠CAB＋sin C＝2sin∠CBA，∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|， ∴|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支． ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6. ∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)． 15.已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积． 解：由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5． 由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得 |PF1|－|PF2|＝－6， ∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100， 由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16． 学科网（北京）股份有限公司 $