3.2.1 双曲线及其标准方程课后练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过A级基础巩固与B级能力提升的分层设计，实现从双曲线定义、方程到综合应用的渐进式知识巩固，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|双曲线定义、标准方程、焦点位置判断、距离差计算|以选择填空为主，如第1题直接考查定义，第3题结合焦距求方程，夯实基础| |B级|数形结合、实际应用、综合几何推理|含多选题（第8题）、情境题（第10题救灾路线），第9题将代数方程转化为双曲线问题，提升推理与模型意识|

3.2.1　双曲线及其标准方程 A级 必备知识基础练 1.(2026河北保定期中)若点P在双曲线=1上,则点P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为(　　) A.4 B.2 C.2 D.10 2.若方程E:=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为(　　) A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,2) D.(1,+∞) 3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上.若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为2,则该双曲线的方程为(　　) A.-y2=1 B.=1 C.x2-=1 D.=1 4.已知双曲线=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 5.(多选题)(2026广东清远期中)方程=1表示的曲线为C,下列说法正确的有(　　) A.曲线C不可能是圆 B.若1<k<4,则曲线C为椭圆 C.若曲线C为双曲线,则k<1或k>4 D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k< 6.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为　　　　　　　.  7.已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为　　　　　.  B级 关键能力提升练 8.(多选题)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点.若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有(　　) A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|+|PF2|= C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2= 9.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程||=4的解为　　　　　　.  10.某地发生里氏8.0级地震,为了援救灾民,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,要把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,若PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°.试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近.请说明这一界线是一条什么曲线并求出其方程. 参考答案 1.B　设双曲线=1的实半轴长为a,则a=,所以点P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为2a=2.故选B. 2.A　∵方程E:=1表示焦点在y轴上的双曲线,∴解得1<m<2.∴实数m的取值范围为(1,2).故选A. 3.C　由题意得解得则该双曲线的方程为x2-=1. 4.A　设双曲线的右焦点为F2,连接ON,图略,ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=|PF2|.∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或|PF2|=6.∴|ON|=7或|ON|=3. 5.CD　对于A,若曲线C是圆,则4-k=k-1>0,解得k=,故A错误;对于B,若曲线C为椭圆,则解得1<k<4且k≠,故B错误;对于C,若曲线C为双曲线,则(4-k)(k-1)<0,解得k<1或k>4,故C正确;对于D,若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则解得1<k<,故D正确.故选CD. 6.=1　设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则由QF1⊥QF2,得=-1,∴=-1,∴c=5. 设双曲线的方程为=1(a>0,b>0), ∵双曲线过点(4,-3),∴=1. 又c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9, ∴双曲线的标准方程为=1. 7.16　因为P是双曲线左支上的点, 所以|PF2|-|PF1|=6, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0,所以∠F1PF2=90°,所以|PF1||PF2|=×32=16. 8.BC　因为双曲线C:=1,所以c==5.又因为·2c|yP|=20,所以|yP|=4,故A错误;将y=4代入=1,得x=±,即|xP|=,由对称性,不妨取点P的坐标为(,4),可知|PF2|=.由双曲线的定义可知|PF1|=|PF2|+2a=+8=,所以|PF1|+|PF2|=,故B正确;由选项C可知,在△PF1F2中,|PF1|=>2c=10>|PF2|=,且cos∠PF2F1==-<0,则∠PF2F1为钝角,所以由对称性可得△PF1F2为钝角三角形,故C正确;由余弦定理得cos∠F1PF2=,则∠F1PF2≠,故D错误. 9.x=±　∵||=4, ∴||=4,其几何意义是动点(x,2)到定点(-4,0)和(4,0)的距离之差的绝对值为4, ∴动点即为双曲线=1与直线y=2的交点. ∵点(x,2)在该双曲线上,∴=1,解得x=±. 10.解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样远近,依题意知,界线是第三类点的轨迹. 设M为界线上的任一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50, ∴界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分, 如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 设所求双曲线方程的标准形式为=1(a>0,b>0), ∵a=25, 2c=|AB|==50, ∴c=25,b2=c2-a2=3 750,故双曲线的标准方程为=1,注意到点C的坐标为(25,60),故y的最大值为60,此时x=35,故界线的曲线方程为=1(25≤x≤35,y≥0). 5 学科网（北京）股份有限公司 $