2.4.1 圆的标准方程课后同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念应用到综合问题解决，覆盖圆的标准方程核心知识点，适配新授课巩固与能力提升，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的标准方程基本形式及直接应用|单选、多选结合，如直径求圆方程、点与圆位置关系，强化概念理解| |提升层|多点确定圆、圆心位置关系、最值问题|结合期中/期末真题，如三点求圆方程、代数式最值，发展推理与运算能力| |综合层|综合直线与圆位置关系、多步骤推理|解答题与竞赛题结合，如中垂线求圆方程、曲线面积，培养数学思维与创新意识|

2.4.1 圆的标准方程课后同步练习 1．（2026高二·全国·专题练习）已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 2．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 5．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 6．（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出圆的标准方程，利用三角换元转化为三角函数求最大值即可. 【详解】由，可得， 设，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D. 7．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 8．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 9．（25-26高二上·新疆巴州·期末）（多选）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 10．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 11．（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为________. 【答案】 【分析】作出图形，分析可知圆心在直线上，设圆心为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】由题意可知，直线的方程为，即， 由题意可知的角平分线所在直线的方程为，如下图所示：    设内切圆圆心为，则圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 整理可得，因为，解得， 故圆心为，圆的半径为， 所以内切圆的标准方程为. 故答案为：. 12．（2026高三下·上海·竞赛）曲线围成的面积为_________． 【答案】/ 【分析】利用曲线的对称性以及圆面积公式、扇形的面积公式分析计算即可. 【详解】由曲线围成的图形如图所示：    要计算曲线围成的面积，只需计算第一象限内围成的面积，然后乘以4即可， 当曲线方程化为， 这是一个以为圆心，为半径的圆， 该圆刚好经过原点以及坐标轴上的和． 第一象限内的面积是这个圆在内的部分，由圆的面积为， 它超出第一象限的部分，是被轴（弦长为2）和轴（弦长为2）切下的两个弓形， 由于弦长等于2，半径为，满足，这意味着圆心角为， 单个月牙弓形面积， 所以第一象限内的面积， 因此曲线围成的总面积为：． 13．（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 14．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标、线段的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）求出圆心坐标、圆的半径可得答案. 【详解】（1）由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； （2）由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. 15．（25-26高二上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，三条直线分别为：，：，：． (1)直接写出直线，的斜率，； (2)设与交于点，与交于点，与交于点． （ⅰ）求，，三点坐标及线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）求过，，三点的圆的方程． 【答案】(1)， (2)（ⅰ），，，线段的垂直平分线的方程为； （ⅱ） 【分析】（1）根据直线方程写出斜率即可； （2）（ⅰ）联立方程可求交点坐标，结合垂直关系和中点可求线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）根据圆的特征可求圆心和半径，写出方程即可. 【详解】（1）:的斜率为，：的斜率为. （2）（ⅰ）联立，可得; 联立，可得; 联立，可得; 线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （ⅱ）由图可知,过，，三点的圆即是以线段为直径的圆，   ，圆心为，所以过，，三点的圆的方程为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1 圆的标准方程课后同步练习 1．（2026高二·全国·专题练习）已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 6．（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 8．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·新疆巴州·期末）（多选）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 11．（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）在中，为坐标原点，、，则内切圆的标准方程为________. 12．（2026高三下·上海·竞赛）曲线围成的面积为_________． 13．（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 14．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 15．（25-26高二上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，三条直线分别为：，：，：． (1)直接写出直线，的斜率，； (2)设与交于点，与交于点，与交于点． （ⅰ）求，，三点坐标及线段的垂直平分线的方程； （ⅱ）求过，，三点的圆的方程． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $