2.4.1　圆的标准方程 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到拓展创新，梯度合理，助力圆的标准方程知识巩固与数学抽象、逻辑推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的标准方程概念、圆心半径辨析、点与圆位置关系|以选择、填空为主，直接考查定义与基本运算，如圆心坐标判断、点在圆内外判定| |综合运用|圆与坐标轴相切、对称圆、过两点的圆方程|融合几何性质与代数运算，如结合直线象限位置求圆心坐标，多知识点交叉应用| |拓展提高|动直线交点的定圆问题、跑道实际情境建模|通过动态问题与实际场景，培养数学建模与创新意识，如直线交点恒在定圆上的推导|

2.4.1　圆的标准方程 一、基础巩固 1.圆(x-2)2+(y+3)2=11的圆心坐标是(　　) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 2.点与圆x2+y2=的位置关系是(　　) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不确定 3.圆心在x轴上,半径为2,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　) A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4 C.(x+2)2+y2=4 D.(x-2)2+y2=4 4.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x-y=0对称 D.关于直线x+y=0对称 5.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知点A(-4,2),B(-4,-2),C(-2,2),则△ABC外接圆的标准方程是(　　) A.x2+(y-3)2=5 B.(x+3)2+y2=5 C.x2+(y+3)2=5 D.(x-3)2+y2=5 7.(多选)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(　　) A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20 C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20 8.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是　　　　　　　　.  9.已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=　　　　.若点P在圆C外,则实数a的取值范围为　　　　.  10.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为　　　　.  11.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M(6,9)在圆N上,求a的值; (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围. 二、综合运用 12.(多选)若圆C与x轴和y轴均相切,且过点(1,2),则圆C的半径长为(　　) 13.已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与两坐标轴都相切,则圆C的标准方程为　　　　;与圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为　　　　.  14.已知点A(1,-2),B(-1,4),求 (1)过点A,B且周长最小的圆的方程; (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程. 三、拓展提高 15.已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0.当m在实数范围内变化时,l1与l2的交点P恒在一个定圆上,则定圆的方程是　　　　.  16.已知某400 m标准跑道的内圈如图所示,其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m). (1)求每条直道的长度; (2)建立平面直角坐标系Oxy,写出该跑道内圈的上半部分对应的函数解析式. 2.4.1　圆的标准方程 一、基础巩固 1.圆(x-2)2+(y+3)2=11的圆心坐标是(　　) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 答案　C 解析　由圆的标准方程(x-2)2+(y+3)2=11,得圆心为(2,-3),选C. 2.点与圆x2+y2=的位置关系是(　　) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不确定 答案　A 解析　由sin2+cos2=1>, 故点在圆外. 3.圆心在x轴上,半径为2,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　) A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4 C.(x+2)2+y2=4 D.(x-2)2+y2=4 答案　A 解析　设圆心(a,0),则=2,即a=1,选A. 4.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x-y=0对称 D.关于直线x+y=0对称 答案　D 解析　易得圆心C(-a,a),即圆心在直线y=-x上,所以该圆关于直线x+y=0对称,故选D. 5.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　圆的圆心为(-a,-b).∵直线经过一、二、四象限,∴a<0,b>0,即-a>0,-b<0, ∴圆心在第四象限. 6.已知点A(-4,2),B(-4,-2),C(-2,2),则△ABC外接圆的标准方程是(　　) A.x2+(y-3)2=5 B.(x+3)2+y2=5 C.x2+(y+3)2=5 D.(x-3)2+y2=5 答案　B 解析　如图所示,易得外接圆的圆心为M(-3,0), ∴半径r2=|MC|2=5, ∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=5. 7.(多选)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(　　) A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20 C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20 答案　AD 解析　令x=0,则y=4; 令y=0,则x=2. 所以直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0). |AB|==2,以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20. 以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20. 8.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是　　　　　　　　.  答案　(x+1)2+(y-2)2=5 解析　将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2), 从而所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 9.已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=　　　　.若点P在圆C外,则实数a的取值范围为　　　　.  答案　-2或-6　(-∞,-6)∪(-2,+∞) 解析　由题意,得+(y-1)2=1, 若点P在圆C上时,+(1-1)2=1, 解得a=-2或a=-6. 若点P在圆C外时,+(1-1)2>1, 解得a<-6或a>-2. 10.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为　　　　.  答案　-4 解析　∵点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点, ∴x2-4y=1-y2-4y=-(y+2)2+5. ∵y∈[-1,1], ∴当y=1时,-(y+2)2+5有最小值-4. 11.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M(6,9)在圆N上,求a的值; (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围. 解　(1)∵点M(6,9)在圆N上, ∴(6-5)2+(9-6)2=a2,∴a2=10. 又a>0,∴a=. (2)由已知,得圆心N(5,6). ∵|PN|==, |QN|==3, ∴|PN|>|QN|,故点P在圆外,点Q在圆内, ∴a的取值范围是(3,). 二、综合运用 12.(多选)若圆C与x轴和y轴均相切,且过点(1,2),则圆C的半径长为(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 答案　AD 解析　根据题意,若圆C与x轴和y轴均相切,则圆心C在直线y=x或y=-x上, 当圆心C在y=x上时,设圆心C的坐标为(a,a), 此时圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2, 将(1,2)代入可得(1-a)2+(2-a)2=a2, 即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5, 此时圆的半径长为1或5; 当圆心C在y=-x上时, 设圆心C的坐标为(a,-a), 此时圆的标准方程为(x-a)2+(y+a)2=a2, 将(1,2)代入可得(1-a)2+(2+a)2=a2, 即a2+2a+5=0,方程无解, 综上所述,圆的半径长为1或5. 13.已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与两坐标轴都相切,则圆C的标准方程为　　　　;与圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为　　　　.  答案　(x+2)2+(y-2)2=4　x2+y2=4 解析　由题意可得所求的圆在第二象限,圆心为(-2,2),半径为2, 所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4. 设(-2,2)关于直线x-y+2=0的对称点为(a,b). 则有解得 故所求圆的圆心为(0,0),半径为2, 所以所求圆的标准方程为x2+y2=4. 14.已知点A(1,-2),B(-1,4),求 (1)过点A,B且周长最小的圆的方程; (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程. 解　(1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小. 即AB中点(0,1)为圆心,半径r=|AB|=, 则圆的方程为x2+(y-1)2=10. (2)法一　AB的斜率为k=-3, 则AB的垂直平分线的方程是y-1=x, 即x-3y+3=0.由圆心在直线2x-y-4=0上,得两直线交点为圆心,即圆心坐标是C(3,2). r=|AC|==2. 故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 法二　待定系数法 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 则解得 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 三、拓展提高 15.已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0.当m在实数范围内变化时,l1与l2的交点P恒在一个定圆上,则定圆的方程是　　　　.  答案　(x-1)2+= 解析　当m=0时,l1:y=0,l2:x=2, 易知P(2,0). 当m≠0时,l1过定点O(0,0),斜率=m,直线l2的方程可化为m(y-1)+x-2=0, 因此l2过定点A(2,1), 斜率=-,则·=-1, ∴直线l1与l2互相垂直,故PO⊥PA,连接OA,则直线l1与直线l2的交点P必在以线段AO为直径的圆上, 且圆心为线段AO的中点C, 半径r=|OA|==, ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+=. 易知(2,0)在此圆上. 16.已知某400 m标准跑道的内圈如图所示,其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m). (1)求每条直道的长度; (2)建立平面直角坐标系Oxy,写出该跑道内圈的上半部分对应的函数解析式. 解　(1)依题意知,一个半圆弧的长为36π m, 所以每条直道的长度为(400-2×36π)÷2=(200-36π)m. (2)如图,设两个半圆的圆心分别为A,B,AB的中点为O,以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 则A(18π-100,0),B(100-18π,0), 所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1 296, 圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1 296, 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为 y= 学科网（北京）股份有限公司 $