2.4.1 圆的标准方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以“概念巩固-技能应用-综合拓展”为分层路径，通过北京地域化考题实现圆的标准方程从基础记忆到逻辑推理的递进，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的定义、标准方程及点与圆位置关系|含教材知识梳理填空与判断，单选题直接考查方程书写（如圆心半径求方程），夯实概念理解| |中档层|圆的对称、平移及与直线位置关系|填空题涉及圆的几何变换（如对称圆方程），单选题融合坐标运算（如反射光线平分圆），发展几何直观| |综合层|圆的方程求解及最值问题|解答题综合三点求圆、对称圆及距离最值（如|OP|最小值），强化逻辑推理与数学应用能力|

2.4.1圆的标准方程同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长 称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 和 如图所示 M (3)圆的标准方程：圆心为Aa,b,半径长为r的圆的标准方程是 当a=b=0 时，方程为x+y=r2,表示以为圆心，半径为r的圆. 2.点与圆的位置关系及判断方法 圆C:x-aP+y-bP=rr>0其圆心为Ca,b半径为r点Px,yr设 d=Pc=x-a+y。-b2. 位置关系 几何法（利用距离判断） 代数法（利用方程判断） 点在圆外 d x。-a2+yo-b2 点在圆上 d=r x,-a+y。-b2 点在圆内 d r x。-a2+y。-b2 3.判断正误 1)方程(x-a}+y-b=m一定表示圆.（ 试卷第1页，共3页 (2)圆(x+1+(y+2=4的圆心坐标是(1,2》半径是4.（ (3)若圆的标准方程为(x+m尸+(y+nP=a(a≠0)则圆的半径一定是a.（ 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(24-25高二上北京·期中)圆心为-1，-2，且半径为√2的圆的方程是() A.x-12+y-22=2 B.x-1P+y-2P=2 C.x+1P+y+22=R2 D.(x+1P+y+22=2 2.(24-25高二上北京昌平.期末)以A(2,3),B(4,9)为直径的两个端点的圆的方程为 () A.(x-12+(y-32=V10 B.(x-3P+(y-6P=10 C.(x-12+(y-3P=10 D.(x-32+(y-6}=10 3.（24-25高二上：北京大兴：期中)圆X+y+2}=1关于x轴对称的圆的方程为（） A.x2+(y+22=1 B.(x+2P+y=1 C.(x+2P+(y-22=1 D.x2+(y-2}=1 4.(25-26高二上北京期中)若圆C经过点A2,5引，B4,3,且圆心在直线 :3x-y-3=0上，则圆C的方程为() A.(x-22+(y-32=4 B.（x-2P+(y-32=8 C.(x-32+(y-62=2 D.(x-32+(y-62=10 5.(25-26高三上北京房山开学考试)把圆x2+y2=1向右平移1个单位长度，再向上平 移1个单位长度，得到圆的方程为() A.x+12+y+12=1 B.x-1P+y+12=1 试卷第2页，共3页 c.x-12+y-1=1 D.x+12+y-12=1 6.(24-25高二上·海南·阶段检测)△ABC的三个顶点的坐标分别为A1,0,B3,0, C3,4,则△ABC的外接圆方程是() A.x-22+y-22=20 B.x+22+y+2P=20 C.x-22+y-22=5 D.x+22+y+22=5 7.(25-26高二上·北京丰台·期中)圆心为-2,2且经过原点的圆的方程是() A.x-2P+y+22=4 B.x+2+y-22=4 C.x-22+y+22=8 D.x+22+y-22=8 8.(24-25高二上：北京期中)经过圆x+1?+y=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直 线的方程是() A.X-y+1=0 B.X-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x+y-1=0 9.(21-2高二上北京阶段检测)圆c:x-1?+y2=2的圆心到直线y=x-3的距离为 () A.1 B.2 C.2 D.2V2 10.(2025北京西城一模)在平面直角坐标系xOy中，若从点A0,t发出的光线经过点 B1,0?且被x轴反射后将圆C:x-4P+y-3P=1平分，则实数t=（） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 1.(25-26高=上北京房山：期中)已知圆c:x-1+y+2P=9则圆c的面积为一 12.(2425高二上北京通州期中)过点-3,1的直线平分圆M:(x-1+(y+3P=5' 试卷第3页，共3页 则这条直线的倾斜角为 13.(25-26高三上·北京平谷·阶段检测)写出一个关于直线x-y+1=0对称的圆的方程 14.(2026北京朝阳一模)已知点P-93,1?点Am,nm‘m>0'n>0)为圆0 X+y=1上的动点，若2A0P∈仍，5，则m的一个取值为 2’6 三、解答题 15.(25-26高二上·北京延庆·期末)根据下列条件，求圆的标准方程。 (1)圆心在A-2,-1,且过点B-2,2: (2)以C2,1,D4,3为直径的两个端点的圆： (3)圆心在直线：3x+y-9=0上，且过E2,1和点F0,3 16.(24-25高二上·北京大兴期中)已知圆C过A4,1,B0,1,M2,3三点，直线 :y=x+2 (1)求圆C的方程： (2)求圆C关于直线对称的圆C的方程： (3)若P为直线l上的动点，Q为圆C上的动点，O为坐标原点，求OP|+|PQ的最小值 试卷第4页，共3页 2.4.1圆的标准方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 ______和_____，如图所示.    (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是____________.当时，方程为，表示以______为圆心，半径为的圆. 【答案】 定点 定长 圆心 半径 原点O 2．点与圆的位置关系及判断方法 圆，其圆心为，半径为，点，设． 位置关系 几何法（利用距离判断） 代数法（利用方程判断） 点在圆外 ______ ______ 点在圆上 ______ 点在圆内 ______ ______ 【答案】 3．判断正误 （1）方程一定表示圆．( ) （2）圆的圆心坐标是，半径是4．( ) （3）若圆的标准方程为，则圆的半径一定是a．( ) 【答案】 × × × 【详解】（1）当时，表示的是点，错误； （2）该圆的圆心坐标是，半径是2，错误； （3）半径为，错误. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期中）圆心为，且半径为的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心与半径直接可得圆的方程. 【详解】由已知圆心为，且半径为， 则圆的方程是. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 3．（24-25高二上·北京大兴·期中）圆关于轴对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定出已知圆的圆心关于轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程可知. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为关于轴对称的点为， 所以对称圆的方程为， 故选：D. 4．（25-26高二上·北京·期中）若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与线段垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则线段的垂直平分线所在直线方程为，即， 则圆心为直线与线段的垂直平分线的交点， 联立方程组：，解得，则圆心为，半径， 所以圆的方程为：. 故选：A 5．（25-26高三上·北京房山·开学考试）把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出平移后的圆心，得到圆的方程. 【详解】圆的圆心为原点， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 故得到. 故选：C 6．（24-25高二上·海南·阶段检测）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 7．（25-26高二上·北京丰台·期中）圆心为且经过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合选项逐个判断即可. 【详解】，圆心坐标为，不符合， ，圆心坐标为，代入原点坐标得不成立，不符合， ，圆心坐标为，不符合， ，圆心坐标为，代入原点坐标成立，符合， 故选：D 8．（24-25高二上·北京·期中）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系确定斜率，结合圆心坐标并应用点斜式写出直线方程. 【详解】由直线与直线垂直，故所求直线斜率为1， 又经过圆的圆心，故所求直线为， 所以所求直线方程为. 故选：A 9．（21-22高二上·北京·阶段检测）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件得到圆心为，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为， 故选：B. 10．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、、圆心三点共线，结合可求得的值. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得. 故选：A. 二、填空题 11．（25-26高二上·北京房山·期中）已知圆，则圆的面积为_____. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程得出半径进而得出圆的面积. 【详解】因为圆，所以圆的半径为，则圆的面积为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·北京通州·期中）过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________. 【答案】 【分析】根据题意和圆的对称性可知所求直线过圆心，因此可得直线的斜率，再由斜率确定倾斜角. 【详解】因为过点的直线平分圆， 所以圆心在所求直线上， 因此直线的斜率，所以， 因为，所以， 故答案为：. 13．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）写出一个关于直线对称的圆的方程__________. 【答案】（答案不唯一，形如，） 【分析】在直线上任取一点为圆心，为半径写出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为，，圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称， 所以， 所以圆的方程为，， 不妨取，， 则关于直线对称的一个圆的方程为：. 故答案为：（答案不唯一，形如，） 14．（2026·北京朝阳·一模）已知点，点（，）为圆：上的动点，若，则的一个取值为______. 【答案】 (区间内的值都对) 【详解】设，已知点，则， 点（，）为圆：上的动点， 当时，，此时， 由，得. 三、解答题 15．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 16．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)求圆关于直线对称的圆的方程； (3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； （2）设， 由对称关系可知，解得，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； （3）因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $